1. 用不等式表示“$x$与$3$的差不小于$x$的$3$倍”，正确的是（ ）
A. $x＞3$
B. $x - 3＞3x$
C. $x - 3\geqslant3x$
D. $x - 3\leqslant3x$

C

2. 若直角三角形的两条直角边长分别为$5$和$4$，则第三边长是（ ）
A. $3$
B. $\sqrt{41}$
C. $2\sqrt{5}$
D. $1$

B

3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. $m^{2}-n^{2}=(m - n)^{2}$
B. $a^{2}-4b^{2}=(a + 2b)^{2}$
C. $4 - 4a^{2}=4(1 + a)(1 - a)$
D. $x^{2}-4y^{2}=(x + 4y)(x - 4y)$

C

4. 因式分解：$4x^{2}-2x=$______.

$2x(2x - 1)$

5. 若$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$（其中$a\neq0$，$b\neq0$，且$a + b\neq0$），则$\frac{a + ab}{a + b}=$______.

$2$

6. 在平面直角坐标系中，已知$A(-2,3)$，$B(-3,1)$.若将线段$AB$平移后点$A$的对应点$A'$的坐标是$(-1,-1)$，则点$B$的对应点$B'$的坐标是______.

$(-2,-3)$

7. 先化简，再求值：$\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}$，其中$a=\sqrt{3}-1$.

【解析】：本题可先对原式进行化简，再将$a=\sqrt{3}-1$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：对原式进行化简**
对$\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a^{2}-a}{a^{2}-1}$中的$a^2 - 1$利用平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$进行因式分解，可得$a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$。
对$a^2 - a$提取公因式$a$，可得$a^2 - a = a(a - 1)$。
此时原式可化为$\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)}$，因为$a - 1\neq0$（若$a - 1 = 0$，则原式分母为$0$，无意义），所以可约去$\frac{a(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)}$分子分母的$a - 1$，得到$\frac{a - 1}{a + 1}-\frac{a}{a + 1}$。
同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得$\frac{a - 1 - a}{a + 1}=\frac{-1}{a + 1}=-\frac{1}{a + 1}$。
- **步骤二：代入求值**
将$a = \sqrt{3}-1$代入$-\frac{1}{a + 1}$，可得$-\frac{1}{\sqrt{3}-1 + 1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】：化简结果为$-\frac{1}{a + 1}$，值为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，$AC$的垂直平分线交$AB$于点$P$，垂足为$Q$，连接$PC$.
（1）求$\angle ACP$的度数.
（2）若$CB = 5$，求$AP$的长，并直接写出$PQ$与$PB$的大小关系.

【解析】：
- （1）
因为$PQ$是$AC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$PA = PC$。
由等边对等角可知$\angle ACP=\angle A$，已知$\angle A = 36^{\circ}$，所以$\angle ACP = 36^{\circ}$。
（2）
因为$AB = AC$，$\angle A=36^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180 - 36}{2}=72^{\circ}$。
由（1）知$\angle ACP = 36^{\circ}$，所以$\angle PCB=\angle ACB-\angle ACP=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$。
再根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle BPC=\angle A+\angle ACP = 36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}$。
因为$\angle B=\angle BPC = 72^{\circ}$，所以$CB = PC$，又因为$PC = PA$，已知$CB = 5$，所以$AP = 5$。
因为$\angle BPC = 72^{\circ}$，$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle PCB = 36^{\circ}$，$\angle PQC = 90^{\circ}$（$PQ\perp AC$），$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle AQP = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle PQC$和$Rt\triangle PQB$中（过$P$作$PD\perp BC$于$D$，可证$PQ = PD$，再根据角平分线性质逆定理，$\angle PCB = 36^{\circ}$，$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle BPD = 36^{\circ}$，可得$PQ\lt PB$）。
【答案】：
- （1）$\angle ACP = 36^{\circ}$。
（2）$AP = 5$，$PQ\lt PB$。