1.点$M(-4,-1)$关于$y$轴对称的点的坐标为()

A.$(-4,1)$
B.$(4,1)$
C.$(4,-1)$
D.$(-4,-1)$

C

【分析】
要解决这个问题，首先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数。接下来只需要对已知点M的横、纵坐标按规律调整，即可得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知点M的坐标为$(-4,-1)$，其横坐标为$-4$，$-4$的相反数是$4$，纵坐标$-1$保持不变，因此点M关于y轴对称的点的坐标为$(4,-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 相反数的概念
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化规则，就能快速准确得到答案。
【难度系数】
0.9

2.已知点$A(m-1,3)$与点$B(2,n+1)$关于$x$轴对称，则$m+n$的值为()

A.$-1$
B.$-7$
C.$1$
D.$7$

A

【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个性质分别列方程求出m、n的值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵点$A(m-1,3)$与点$B(2,n+1)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可列方程：
$m-1=2$，$n+1=-3$
解得：$m=3$，$n=-4$
∴$m+n=3+(-4)=-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，属于基础题型，熟练掌握不同对称方式下点的坐标变化规律是解决此类题目的核心。
【难度系数】
0.8

3. 已知点$P(a,3)$和点$Q(4,b)$关于$x$轴对称，则$(a+b)^{2025}$的值为()

A.$1$
B.$-1$
C.$7^{2025}$
D.$-7^{2025}$

A

【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征：两个点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以先根据这个特征求出a、b的取值，再代入代数式$(a+b)^{2025}$计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵点$P(a,3)$和点$Q(4,b)$关于x轴对称
根据关于x轴对称的点的坐标规律可得：
横坐标相等：$a=4$
纵坐标互为相反数：$b=-3$
将a、b的值代入代数式计算：
$a+b=4+(-3)=1$
∴$(a+b)^{2025}=1^{2025}=1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对称点的坐标性质应用，解题的核心是熟记不同对称方式下点的坐标变化规律，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8

4.若$|a-2|+(b-5)^2=0$，则点$P(a,b)$关于x轴对称的点的坐标为。

(2,-5)

【分析】
解题时首先观察已知等式的构成：绝对值与平方的和为0。第一步回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此可以求出a、b的值，得到点P的坐标；第二步回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，代入即可求出对称点的坐标。
【解析】
解：
∵$\vert a-2\vert≥0$，$(b-5)^2≥0$，且$\vert a-2\vert+(b-5)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$a-2=0$，$b-5=0$
解得$a=2$，$b=5$
∴点P的坐标为$(2,5)$
∵关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数
∴点$P(2,5)$关于x轴对称的点的坐标为$(2,-5)$
【答案】
$(2,-5)$
【知识点】
非负数的性质；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将非负数的性质与平面直角坐标系中对称点的规律结合考察，牢记相关性质和规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.若点$A(m+2,3)$与点$B(4,n+5)$关于$x$轴对称，则$m+n=$。

-6

【分析】
解题前先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：若两点关于x轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律，分别列出关于m、n的一元一次方程，求解得到m和n的值后，代入m+n计算即可得到结果。
【解析】
因为点$A(m+2,3)$与点$B(4,n+5)$关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：
1. 横坐标相等：$m+2=4$，解得$m=4-2=2$；
2. 纵坐标互为相反数：$n+5=-3$，解得$n=-3-5=-8$。
将$m=2$，$n=-8$代入$m+n$得：$m+n=2+(-8)=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6.在同一坐标系中，一学生误将点A的横、纵坐标的顺序颠倒，写成$A(a,b)$，另一学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写成$B(-b,-a)$，则A，B两点原来的位置关系是。

关于x轴对称

【分析】
解题时需先还原A、B两点的真实坐标，再根据坐标特征判断位置关系：第一步先处理A的坐标错误，已知A的横纵坐标被颠倒后为(a,b)，将横纵坐标交换即可得到A的真实坐标；第二步处理B的坐标错误，已知写出的B(-b,-a)是真实B关于y轴对称的点，结合关于y轴对称的点的坐标规律，反推得到B的真实坐标；第三步对比两点真实坐标的特征，即可判断位置关系。
【解析】
1. 还原点A的真实坐标：
由于点A的横、纵坐标被颠倒后写成$A(a,b)$，因此真实的点A横坐标为$b$，纵坐标为$a$，即真实坐标为$\boldsymbol{(b,a)}$。
2. 还原点B的真实坐标：
已知写出的$B(-b,-a)$是真实点B关于y轴对称的点，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”的规律，可得真实点B的横坐标为$-(-b)=b$，纵坐标与对称点纵坐标相同，为$-a$，即真实坐标为$\boldsymbol{(b,-a)}$。
3. 判断位置关系：
对比真实的A$(b,a)$和B$(b,-a)$，两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，符合“关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数”的特征，因此两点关于x轴对称。
【答案】
关于x轴对称
【知识点】
点的坐标含义，轴对称点的坐标特征
【点评】
本题重点考查对平面直角坐标系中点的坐标的理解及轴对称点坐标规律的应用，解题关键是准确逆向推导还原两点的真实坐标，属于坐标变换类的基础常考题型，熟练掌握坐标变换规律可快速求解。
【难度系数】
0.7

7.如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点分别为$A(-4,5),B(-2,1),C(-1,3)$。

(1)作出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)写出$△ A_1B_1C_1$各顶点的坐标；
(3)求$△ ABC$的面积。

解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求。
(2)由图可知,A₁(4,5),B₁(2,1),C₁(1,3)。
(3)△ABC的面积为 $3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=4$。

【分析】
（1）要作△ABC关于y轴对称的图形，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，先分别求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁。
（2）根据关于y轴对称的点的坐标规律，或者直接读取所作图形的顶点坐标，就能得到A₁、B₁、C₁的坐标。
（3）网格中求不规则三角形的面积，适合用割补法：将△ABC放在一个能完全覆盖它的矩形中，用矩形的面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积。
【解析】
（1）①求对称点坐标：点A(-4,5)关于y轴对称的点A₁坐标为(4,5)，点B(-2,1)关于y轴对称的点B₁坐标为(2,1)，点C(-1,3)关于y轴对称的点C₁坐标为(1,3)；
②在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
（2）结合对称点坐标规律和所作图形，可直接读出△A₁B₁C₁各顶点的坐标。
（3）用割补法计算：
首先计算包围△ABC的最小矩形面积：矩形横向长度为$|-1-(-4)|=3$，纵向高度为$|5-1|=4$，面积为$3×4=12$；
再计算矩形内三个直角三角形的面积：
两条直角边为2和4的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×4=4$；
两条直角边为1和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$；
两条直角边为2和3的三角形面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此△ABC的面积为$12-4-1-3=4$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) $A_1(4,5),B_1(2,1),C_1(1,3)$
(3) $4$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；轴对称作图；割补法求面积
【点评】
本题综合考查了轴对称变换作图、对称点坐标求解以及网格中不规则图形面积的计算，割补法是求解网格内图形面积的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

8.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示。

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)在x轴上画出点P，使PA+PC最小。

解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(0,-2),B₁(-2,-4),C₁(-4,-1)。
(2)5。
(3)如图,点P即为所求。

【分析】
(1) 要作△ABC关于y轴对称的三角形，首先回忆关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。先找到△ABC三个顶点的坐标，按规律得到对称点坐标后，描点连线即可完成作图。
(2) 网格中求不规则三角形面积，采用割补法：将三角形放入规则矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积，避免直接用底乘高计算的麻烦。
(3) 要在x轴上找P使PA+PC最小，属于两定点一动点的最短路径问题，利用轴对称性质作其中一个定点关于x轴的对称点，连接对称点和另一个定点，与x轴的交点即为P，依据是两点之间线段最短，此时PA+PC的长度等于对称点到另一定点的线段长，为最小值。
【解析】
(1) 首先确定原△ABC三个顶点坐标：$A(0,-2)$，$B(2,-4)$，$C(4,-1)$。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点坐标：$A_1(0,-2)$，$B_1(-2,-4)$，$C_1(-4,-1)$。
在坐标系中描出三个对称点，依次连接得到△A₁B₁C₁。
(2) 用割补法计算面积：
取包含△ABC的矩形，矩形长为4，宽为3，矩形面积为$4×3=12$。
减去周围3个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×4×1=2$，$\frac{1}{2}×2×3=3$。
因此$S_{△ ABC}=12-2-2-3=5$。
(3) 作点A关于x轴的对称点$A'$，连接$A'C$，线段$A'C$与x轴的交点即为所求点P，此时$PA=PA'$，$PA+PC=PA'+PC$，根据两点之间线段最短，此时PA+PC最小。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(0,-2),B₁(-2,-4),C₁(-4,-1)。
(2)5。
(3)如图,点P即为所求。
【知识点】
轴对称坐标变换，割补法求面积，最短路径问题
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，涵盖了轴对称作图、网格图形面积计算、最短路径构造三个常考考点，解题的核心是熟练掌握轴对称的性质，理解割补法的计算逻辑和最短路径的构造原理。
【难度系数】
0.7