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9.在平面直角坐标系中,已知点$P(3a-3,1+a)$。
(1)若点$P$在$x$轴上,则点$P$的坐标是
(2)若点$P$的纵坐标比横坐标大$4$,则点$P$的坐标是
(3)若点$Q$的坐标为$(-2,4)$,直线$PQ // x$轴,则点$P$的坐标是
(4)若点$P$到$x$轴、$y$轴的距离相等,则点$P$的坐标是
(1)若点$P$在$x$轴上,则点$P$的坐标是
(-6,0)
;(2)若点$P$的纵坐标比横坐标大$4$,则点$P$的坐标是
(-3,1)
;(3)若点$Q$的坐标为$(-2,4)$,直线$PQ // x$轴,则点$P$的坐标是
(6,4)
;(4)若点$P$到$x$轴、$y$轴的距离相等,则点$P$的坐标是
(3,3)或(-1.5,1.5)
。答案
解:(1)由题意得 1+a=0,解得a=-1。
所以 3a-3=3×(-1)-3=-6,
故 P(-6,0)。
(2)由题意得 1+a-(3a-3)=4,解得a=0。
所以 3a-3=-3,1+a=1,
故 P(-3,1)。
(3)因为 PQ//x轴,
所以点 P,Q 的纵坐标相同,
所以 1+a=4,解得a=3,所以 3a-3=6,
故 P(6,4)。
(4)由题意得 |3a-3|=|a+1|,
则 3a-3=±(a+1),
故 3a-3=a+1 或 3a-3=-a-1。
解得 a=2 或 a=0.5。
所以 3a-3=a+1=3 或 a+1=1.5,3a-3=-1.5,
故 P(3,3)或(-1.5,1.5)。
所以 3a-3=3×(-1)-3=-6,
故 P(-6,0)。
(2)由题意得 1+a-(3a-3)=4,解得a=0。
所以 3a-3=-3,1+a=1,
故 P(-3,1)。
(3)因为 PQ//x轴,
所以点 P,Q 的纵坐标相同,
所以 1+a=4,解得a=3,所以 3a-3=6,
故 P(6,4)。
(4)由题意得 |3a-3|=|a+1|,
则 3a-3=±(a+1),
故 3a-3=a+1 或 3a-3=-a-1。
解得 a=2 或 a=0.5。
所以 3a-3=a+1=3 或 a+1=1.5,3a-3=-1.5,
故 P(3,3)或(-1.5,1.5)。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题思路如下：
(1) x轴上的点纵坐标为0，据此列方程求出a的值，再代入计算横坐标即可得到P点坐标；
(2) 根据“纵坐标比横坐标大4”的数量关系，列一元一次方程求解a，再计算横纵坐标；
(3) 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此P点纵坐标等于Q点纵坐标4，列方程求a后代入计算横坐标；
(4) 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，二者相等即横纵坐标的绝对值相等，分两种情况列方程求解a，再分别计算对应的点坐标即可。
【解析】
(1) 若点P在x轴上，则纵坐标为0，可得：
$1+a=0$，解得$a=-1$。
代入横坐标得$3a-3=3×(-1)-3=-6$，故$P(-6,0)$。
(2) 由题意纵坐标比横坐标大4，可得：
$(1+a)-(3a-3)=4$，
整理得$-2a+4=4$，解得$a=0$。
则$3a-3=-3$，$1+a=1$，故$P(-3,1)$。
(3) 因为直线$PQ// x$轴，所以P、Q两点纵坐标相等，可得：
$1+a=4$，解得$a=3$。
代入横坐标得$3a-3=3×3-3=6$，故$P(6,4)$。
(4) 点P到x轴、y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等，可得：
$|3a-3|=|1+a|$，
分两种情况讨论：
① $3a-3=1+a$，解得$a=2$，此时$3a-3=3$，$1+a=3$，P点坐标为$(3,3)$；
② $3a-3=-(1+a)$，整理得$4a=2$，解得$a=0.5$，此时$3a-3=-1.5$，$1+a=1.5$，P点坐标为$(-1.5,1.5)$。
综上，点P的坐标为$(3,3)$或$(-1.5,1.5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-6,0)}$；(2) $\boldsymbol{(-3,1)}$；(3) $\boldsymbol{(6,4)}$；(4) $\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(-1.5,1.5)}$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；平行于坐标轴的直线点的坐标特点；绝对值方程求解
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中点的坐标性质设题，解题核心是根据不同的坐标性质列出对应的方程求解参数，需要注意绝对值方程存在两种情况，求解时不要漏解，整体计算难度不大，侧重对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题思路如下：
(1) x轴上的点纵坐标为0，据此列方程求出a的值，再代入计算横坐标即可得到P点坐标；
(2) 根据“纵坐标比横坐标大4”的数量关系，列一元一次方程求解a，再计算横纵坐标；
(3) 平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此P点纵坐标等于Q点纵坐标4，列方程求a后代入计算横坐标；
(4) 点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，二者相等即横纵坐标的绝对值相等，分两种情况列方程求解a，再分别计算对应的点坐标即可。
【解析】
(1) 若点P在x轴上，则纵坐标为0，可得：
$1+a=0$，解得$a=-1$。
代入横坐标得$3a-3=3×(-1)-3=-6$，故$P(-6,0)$。
(2) 由题意纵坐标比横坐标大4，可得：
$(1+a)-(3a-3)=4$，
整理得$-2a+4=4$，解得$a=0$。
则$3a-3=-3$，$1+a=1$，故$P(-3,1)$。
(3) 因为直线$PQ// x$轴，所以P、Q两点纵坐标相等，可得：
$1+a=4$，解得$a=3$。
代入横坐标得$3a-3=3×3-3=6$，故$P(6,4)$。
(4) 点P到x轴、y轴的距离相等，即横、纵坐标的绝对值相等，可得：
$|3a-3|=|1+a|$，
分两种情况讨论：
① $3a-3=1+a$，解得$a=2$，此时$3a-3=3$，$1+a=3$，P点坐标为$(3,3)$；
② $3a-3=-(1+a)$，整理得$4a=2$，解得$a=0.5$，此时$3a-3=-1.5$，$1+a=1.5$，P点坐标为$(-1.5,1.5)$。
综上，点P的坐标为$(3,3)$或$(-1.5,1.5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-6,0)}$；(2) $\boldsymbol{(-3,1)}$；(3) $\boldsymbol{(6,4)}$；(4) $\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(-1.5,1.5)}$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；平行于坐标轴的直线点的坐标特点；绝对值方程求解
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中点的坐标性质设题，解题核心是根据不同的坐标性质列出对应的方程求解参数，需要注意绝对值方程存在两种情况，求解时不要漏解，整体计算难度不大，侧重对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0),且平行于y轴。
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴对称的图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁关于直线l对称的图形是△A₂B₂C₂,写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中0＜a＜3,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是P₂,求PP₂的长。
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴对称的图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁关于直线l对称的图形是△A₂B₂C₂,写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中0＜a＜3,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是P₂,求PP₂的长。
答案
解:(1)△A₂B₂C₂ 的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2)。
(2)如图,当0＜a＜3时,
因为点 P 与点 P₁ 关于 y 轴对称,P(-a,0),
所以 P₁(a,0)。
设 P₂(x,0),因为点 P₁ 与点 P₂ 关于直线 l:x=3 对称,
所以 $\frac{x+a}{2}=3$,即 x=6-a,
所以 P₂(6-a,0),
则 PP₂=6-a-(-a)=6-a+a=6。
解析
【分析】
(1) 要得到△A₂B₂C₂的顶点坐标，需分两步进行对称变换：第一步先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标，关于y轴对称的点横坐标变为相反数、纵坐标不变；第二步再求△A₁B₁C₁关于直线l（即x=3）对称的△A₂B₂C₂的坐标，关于直线x=m对称的两点纵坐标相同，横坐标的平均数等于m，按此规律计算各点坐标即可。
(2) 先根据y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再根据关于直线x=3对称的坐标规律求出P₂的坐标，最后利用x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值计算PP₂的长度，运算中字母a会自然抵消，得到固定结果。
【解析】
(1) ① 求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
关于y轴对称的点横坐标取相反数，纵坐标不变，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，可得A₁(2,0)、B₁(1,0)、C₁(1,2)。
② 求△A₁B₁C₁关于直线l:x=3对称的△A₂B₂C₂的坐标：
关于直线x=3对称的点纵坐标不变，两点横坐标的中点为3：
对A₁(2,0)：设A₂(x₁,0)，则$\frac{2+x₁}{2}=3$，解得x₁=4，即A₂(4,0)；
对B₁(1,0)：设B₂(x₂,0)，则$\frac{1+x₂}{2}=3$，解得x₂=5，即B₂(5,0)；
对C₁(1,2)：设C₂(x₃,2)，则$\frac{1+x₃}{2}=3$，解得x₃=5，即C₂(5,2)。
(2) ① 点P(-a,0)关于y轴对称，横坐标变相反数、纵坐标不变，故P₁(a,0)；
② 设P₂(x,0)，P₁与P₂关于直线x=3对称，因此$\frac{x+a}{2}=3$，解得x=6-a，即P₂(6-a,0)；
③ P和P₂都在x轴上，因此$PP₂=(6-a)-(-a)=6-a+a=6$。
【答案】
(1)△A₂B₂C₂ 的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2)。
(2)如图,当0＜a＜3时,
因为点 P 与点 P₁ 关于 y 轴对称,P(-a,0),
所以 P₁(a,0)。
设 P₂(x,0),因为点 P₁ 与点 P₂ 关于直线 l:x=3 对称,
所以 $\frac{x+a}{2}=3$,即 x=6-a,
所以 P₂(6-a,0),
则 PP₂=6-a-(-a)=6-a+a=6。
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. y轴对称的坐标规律
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是掌握不同对称方式下的坐标变化规律，需要分步处理两次对称变换，第二问含字母的运算体现了整体消元的思路，属于基础规律应用类题目。
【难度系数】
0.75
(1) 要得到△A₂B₂C₂的顶点坐标，需分两步进行对称变换：第一步先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标，关于y轴对称的点横坐标变为相反数、纵坐标不变；第二步再求△A₁B₁C₁关于直线l（即x=3）对称的△A₂B₂C₂的坐标，关于直线x=m对称的两点纵坐标相同，横坐标的平均数等于m，按此规律计算各点坐标即可。
(2) 先根据y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再根据关于直线x=3对称的坐标规律求出P₂的坐标，最后利用x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值计算PP₂的长度，运算中字母a会自然抵消，得到固定结果。
【解析】
(1) ① 求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
关于y轴对称的点横坐标取相反数，纵坐标不变，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，可得A₁(2,0)、B₁(1,0)、C₁(1,2)。
② 求△A₁B₁C₁关于直线l:x=3对称的△A₂B₂C₂的坐标：
关于直线x=3对称的点纵坐标不变，两点横坐标的中点为3：
对A₁(2,0)：设A₂(x₁,0)，则$\frac{2+x₁}{2}=3$，解得x₁=4，即A₂(4,0)；
对B₁(1,0)：设B₂(x₂,0)，则$\frac{1+x₂}{2}=3$，解得x₂=5，即B₂(5,0)；
对C₁(1,2)：设C₂(x₃,2)，则$\frac{1+x₃}{2}=3$，解得x₃=5，即C₂(5,2)。
(2) ① 点P(-a,0)关于y轴对称，横坐标变相反数、纵坐标不变，故P₁(a,0)；
② 设P₂(x,0)，P₁与P₂关于直线x=3对称，因此$\frac{x+a}{2}=3$，解得x=6-a，即P₂(6-a,0)；
③ P和P₂都在x轴上，因此$PP₂=(6-a)-(-a)=6-a+a=6$。
【答案】
(1)△A₂B₂C₂ 的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2)。
(2)如图,当0＜a＜3时,
因为点 P 与点 P₁ 关于 y 轴对称,P(-a,0),
所以 P₁(a,0)。
设 P₂(x,0),因为点 P₁ 与点 P₂ 关于直线 l:x=3 对称,
所以 $\frac{x+a}{2}=3$,即 x=6-a,
所以 P₂(6-a,0),
则 PP₂=6-a-(-a)=6-a+a=6。
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. y轴对称的坐标规律
3. 坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是掌握不同对称方式下的坐标变化规律，需要分步处理两次对称变换，第二问含字母的运算体现了整体消元的思路，属于基础规律应用类题目。
【难度系数】
0.75
