任务导学
任务一 掌握平行四边形的判定定理2
知识回顾：
判定四边形ABCD是平行四边形的方法有哪些？
（1）定义判定法：。
几何语言表示为：
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）判定定理1判定法：。
几何语言表示为：
∵，，
∴四边形ABCD是平行四边形。

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AB//CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
这道题考查平行四边形的基础判定方法，解题时需回忆已学的平行四边形判定相关概念：首先定义是判定平行四边形最基础的依据，核心是两组对边的平行关系；其次判定定理1是从边的数量关系出发的判定方法，核心是两组对边的相等关系，对应几何语言结合图形写出对应条件即可。
【解析】
（1）定义判定法是平行四边形最基础的判定方法，内容为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，结合图形对应几何语言为：
已知AB和CD是一组对边，AD和BC是另一组对边，当两组对边分别平行时，可判定为平行四边形。
（2）判定定理1是从边的相等关系出发的判定方法，内容为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，结合图形对应几何语言为：
已知两组对边分别相等时，可判定为平行四边形。
【答案】
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB//CD，BC//AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的定义；平行四边形判定定理1
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查平行四边形基础判定方法及对应几何语言的规范书写，熟练掌握这类基础概念是解决后续平行四边形相关证明、计算类题目的核心前提。
【难度系数】
0.9

类比探究:
已知: 如图(1), 在四边形ABCD中, AB//CD, AB=CD。
求证: 四边形ABCD是平行四边形。
思路一: 条件中已有AB//CD, 只需证明BC//AD即可。
证明: 如图(2), 连接AC。
思路二: 条件中已有AB=CD, 只需证明BC=AD即可。
证明: 如图(3), 连接AC。


已给出两种思路, 请选择其中一种, 完成证明。
新知生成: 一组对边且的四边形是平行四边形。
几何语言表示为: ∵,
∴四边形ABCD是平行四边形。

证明略
新知生成：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
几何语言表示为:
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
我们可选择思路一完成证明：题目已知AB//CD且AB=CD，要证四边形ABCD是平行四边形，思路一要求证另一组对边BC//AD。我们可以通过连接对角线AC构造全等三角形，先利用平行线的性质得到一组内错角相等，再结合已知的边相等和公共边，用SAS证明两个三角形全等，得到另一组内错角相等，进而推出BC//AD，最后根据平行四边形的定义即可得证。也可选择思路二，同样构造全等三角形得到BC=AD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形完成证明。通过证明可总结出对应的平行四边形判定定理。
【解析】
选择思路一证明：
连接AC，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等），
在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ BAC=∠ DCA\\ AC=CA\end{array} $
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠ACB=∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∴BC//AD（内错角相等，两直线平行），
又
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
新知生成：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
几何语言表示为：
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明见解析；
新知生成：平行，相等；AB//CD，AB=CD
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于平行四边形判定定理的基础推导题，通过构造全等三角形实现边、角关系的转化，既巩固了全等三角形和平行线的相关知识，也能帮助我们理解并掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理的由来。
【难度系数】
0.7

1. 下列条件中不能判定一个四边形是平行四边形的是 （）

A.两组对边分别相等
B.一组对边平行且相等
C.两组对边分别平行
D.一组对边平行，另一组对边相等

1. D

【分析】
解题时首先要回忆平行四边形的判定定理及定义，再将四个选项逐一与判定规则对应，对于描述模糊的选项，可以通过举反例的方式验证其是否能唯一判定平行四边形，最终选出不能判定的选项。
【解析】
先回顾平行四边形的常见判定规则：
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
接下来逐一分析选项：
A选项：两组对边分别相等，符合判定规则②，可以判定是平行四边形，不符合题意；
B选项：一组对边平行且相等，符合判定规则③，可以判定是平行四边形，不符合题意；
C选项：两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，可以判定是平行四边形，不符合题意；
D选项：一组对边平行，另一组对边相等，无法判定是平行四边形，反例：等腰梯形的上下底互相平行，两腰相等，但等腰梯形不是平行四边形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；等腰梯形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对平行四边形判定定理的掌握程度，对于容易混淆的错误表述，要学会通过举反例的方法验证，避免因概念记忆模糊丢分。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，F是AD的中点，延长BC到点E，使$CE=\frac{1}{2}BC$，连接DE，CF。求证：四边形CEDF是平行四边形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD // BC$，且 $AD = BC$。
∵ F是AD的中点，
∴ $DF = \frac{1}{2}AD$。
又∵ $CE = \frac{1}{2}BC$，$AD = BC$，
∴ $DF = CE$。
又∵ $AD // BC$，点E在BC的延长线上，
∴ $DF // CE$。
∴ 四边形CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

【分析】
要证明四边形CEDF是平行四边形，可优先选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法推导。首先利用已知平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC平行且相等的关系；再结合F是AD中点、$CE=\frac{1}{2}BC$的条件，分别推导DF和CE的数量关系、位置关系，满足判定定理的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD // BC$，且 $AD = BC$。
∵ F是AD的中点，
∴ $DF = \frac{1}{2}AD$。
又
∵ $CE = \frac{1}{2}BC$，$AD = BC$，
∴ $DF = CE$。
又
∵ $AD // BC$，点E在BC的延长线上，
∴ $DF // CE$。
∴ 四边形CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形CEDF是平行四边形，证明过程见解析。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题的核心是熟练掌握平行四边形的性质与判定定理，结合已知条件快速找到待证四边形对边的平行、相等关系即可求解。
【难度系数】
0.8