例 如图，在$□ ABCD$中，E，F分别是AC上的两点，$BE ⊥ AC$于点E，$DF ⊥ AC$于点F。求证：四边形BEDF为平行四边形。

归纳总结
平行四边形的两组对边分别平行既可以作为平行四边形的定义，也可以用来判定一个四边形是平行四边形，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，$AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ BAE = ∠ DCF$，$∠ DAE = ∠ BCF$。
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CFD = 90°$，$∠ BEF = ∠ DFE = 90°$，
∴ $BE // DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AEB = ∠ CFD \\∠ BAE = ∠ DCF \\AB = CD\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（AAS），
∴ $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}AD = CB \\∠ DAE = ∠ BCF \\AE = CF\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SAS），
∴ $∠ AED = ∠ CFB$，
∴ $∠ DEF = 180° - ∠ AED = 180° - ∠ CFB = ∠ BFE$，
∴ $DE // BF$。
又∵ $BE // DF$，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
∴ 四边形BEDF为平行四边形。

【分析】
要证明四边形BEDF是平行四边形，可采用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法推导：首先由BE、DF均垂直于AC，可直接得到BE//DF；接下来只需再证明DE//BF即可，可借助平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，通过两次全等三角形的证明推导角相等，进而得到DE与BF平行，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，$AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ BAE = ∠ DCF$，$∠ DAE = ∠ BCF$。
∵ $BE ⊥ AC$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CFD = 90°$，$∠ BEF = ∠ DFE = 90°$，
∴ $BE // DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AEB = ∠ CFD \\∠ BAE = ∠ DCF \\AB = CD\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（AAS），
∴ $AE = CF$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\{\begin{array}{l}AD = CB \\∠ DAE = ∠ BCF \\AE = CF\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CBF$（SAS），
∴ $∠ AED = ∠ CFB$，
∴ $∠ DEF = 180° - ∠ AED = 180° - ∠ CFB = ∠ BFE$，
∴ $DE // BF$。
又
∵ $BE // DF$，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
∴ 四边形BEDF为平行四边形。
【答案】
四边形BEDF为平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础应用类题目，解题关键是灵活运用平行四边形的性质推导全等条件，通过全等三角形得到角相等进而证明对边平行，掌握平行四边形的多种判定方法可灵活选择更简便的证明路径。
【难度系数】
0.7

1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F。求证：四边形EBFD是平行四边形。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠ADC，AD//BC。
∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴ ∠EBC = ∠ADF。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADF = ∠DFC，
∴ ∠EBC = ∠DFC，
∴ BE//DF。
又∵ AD//BC，即ED//BF，
∴ 四边形EBFD的两组对边分别平行，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。

【分析】
要证明四边形EBFD是平行四边形，可选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法推导。首先从已知的平行四边形ABCD入手，根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC、AD//BC，此时已有ED//BF，只需再证明BE//DF即可。结合BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，可推出两个半角相等，再通过平行线的内错角相等做等量代换，得到同位角相等进而推出BE//DF，最终根据判定定理得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠ADC，AD//BC。
∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴ ∠EBC = ∠ADF。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADF = ∠DFC，
∴ ∠EBC = ∠DFC，
∴ BE//DF。
又
∵ AD//BC，即ED//BF，
∴ 四边形EBFD的两组对边分别平行，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠ADC，AD//BC。
∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴ ∠EBC = ∠ADF。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADF = ∠DFC，
∴ ∠EBC = ∠DFC，
∴ BE//DF。
又
∵ AD//BC，即ED//BF，
∴ 四边形EBFD的两组对边分别平行，
∴ 四边形EBFD是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；角平分线的定义；平行线的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，解题时需要灵活运用平行四边形的性质推导角的关系，结合角平分线、平行线的相关性质得到两组对边分别平行即可完成证明，要求熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并能灵活应用。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，E，F分别是BC，AD的中点。求证：
(1)$△ ABE ≌ △ CDF$；
(2)四边形AECF是平行四边形。

证明：
(1) ∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$∠ B = ∠ D$，$AD = BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AD$，
∴ $BE = DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ D \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）。
(2) ∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD // BC$，且$AD = BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC$，$AF = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AF = EC$，且$AF // EC$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CDF，首先结合平行四边形的性质，可得到AB=CD、∠B=∠D、AD=BC这三组边角相等的条件；再利用E、F是中点的信息，可推导出BE=DF，刚好满足SAS的全等判定要求，即可完成证明。
(2) 要证明四边形AECF是平行四边形，选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可：由平行四边形性质可得AD//BC且AD=BC，结合中点条件可推出AF=EC，同时AF和EC分别在AD、BC上，天然满足AF//EC，由此即可判定四边形AECF是平行四边形。
【解析】
(1)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$∠ B = ∠ D$，$AD = BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC$，$DF = \frac{1}{2}AD$，
∴ $BE = DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\∠ B = ∠ D \\BE = DF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）。
(2)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD // BC$，且$AD = BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC$，$AF = \frac{1}{2}AD$，
∴ $AF = EC$，且$AF // EC$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】
(1) 已证$△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）；
(2) 已证四边形$AECF$是平行四边形。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形SAS判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形章节的基础题型，重点考察平行四边形性质、判定及全等三角形判定的综合运用，解题时需结合已知条件选择对应定理，梳理清楚逻辑推导步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8