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任务二
综合运用
阅读材料，完成下列探究。
已知四边形ABCD是平行四边形。
探究1：如图(1)，若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形。
探究2：若AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。
探究3：如图(2)，在图(1)的基础上，连接BE，DF，分别交FC，EA于点G，H。求证：四边形EHFG是平行四边形。
综合运用
阅读材料，完成下列探究。
已知四边形ABCD是平行四边形。
探究1：如图(1)，若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形。
探究2：若AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。
探究3：如图(2)，在图(1)的基础上，连接BE，DF，分别交FC，EA于点G，H。求证：四边形EHFG是平行四边形。
答案
探究1 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
又
∵DE=BF，
∴AB−BF=CD−DE，即AF=CE。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究2 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AB//CD。
∴∠BAE=∠DEA。
∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DCF。
∴∠DEA=∠DCF。
∴AE//CF。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究3 证明：由探究1，得四边形AFCE是平行四边形，
∴AE//CF。
∵AB=CD，
∴BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DF//BE。
又
∵AE//CF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
又
∵DE=BF，
∴AB−BF=CD−DE，即AF=CE。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究2 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AB//CD。
∴∠BAE=∠DEA。
∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DCF。
∴∠DEA=∠DCF。
∴AE//CF。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究3 证明：由探究1，得四边形AFCE是平行四边形，
∴AE//CF。
∵AB=CD，
∴BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DF//BE。
又
∵AE//CF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
解析
【分析】
探究1：要证四边形AFCE是平行四边形，首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合已知DE=BF，通过线段作差得到AF与CE相等，且AF与CE天然平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
探究2：要证四边形AFCE是平行四边形，先借助平行四边形对角相等、对边平行的性质，结合角平分线的定义，推导得到AE与CF平行，再结合CE与AF平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可完成证明。
探究3：首先直接使用探究1的结论得到AE//CF，再通过DE与BF平行且相等证明四边形BEDF是平行四边形，得到DF//BE，即四边形EHFG的两组对边分别平行，即可判定它是平行四边形。
【解析】
探究1 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
又
∵DE=BF，
∴AB−BF=CD−DE，即AF=CE。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究2 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AB//CD。
∴∠BAE=∠DEA。
∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DCF。
∴∠DEA=∠DCF。
∴AE//CF。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究3 证明：由探究1，得四边形AFCE是平行四边形，
∴AE//CF。
∵AB=CD，
∴BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DF//BE。
又
∵AE//CF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
【答案】
三个探究的证明见上述解析内容。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于递进式的平行四边形探究题，逐层深入考查平行四边形性质与判定的综合运用，解题时可直接复用前序探究的结论简化推理过程，熟练掌握平行四边形的相关定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
探究1：要证四边形AFCE是平行四边形，首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合已知DE=BF，通过线段作差得到AF与CE相等，且AF与CE天然平行，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
探究2：要证四边形AFCE是平行四边形，先借助平行四边形对角相等、对边平行的性质，结合角平分线的定义，推导得到AE与CF平行，再结合CE与AF平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可完成证明。
探究3：首先直接使用探究1的结论得到AE//CF，再通过DE与BF平行且相等证明四边形BEDF是平行四边形，得到DF//BE，即四边形EHFG的两组对边分别平行，即可判定它是平行四边形。
【解析】
探究1 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
又
∵DE=BF，
∴AB−BF=CD−DE，即AF=CE。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究2 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AB//CD。
∴∠BAE=∠DEA。
∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DCF。
∴∠DEA=∠DCF。
∴AE//CF。
∴四边形AFCE是平行四边形。
探究3 证明：由探究1，得四边形AFCE是平行四边形，
∴AE//CF。
∵AB=CD，
∴BF=DE。
又
∵AB//CD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∴DF//BE。
又
∵AE//CF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
【答案】
三个探究的证明见上述解析内容。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于递进式的平行四边形探究题，逐层深入考查平行四边形性质与判定的综合运用，解题时可直接复用前序探究的结论简化推理过程，熟练掌握平行四边形的相关定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$□ ABCD$中，在对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有①②③三种方案：
①只需要满足$BE=DF$；
②只需要满足$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$；
③只需要满足AE，CF分别平分$∠ BAD$，$∠ BCD$。
其中，正确的方案是 （
A.①②③
B.①③
C.①②
D.②③
①只需要满足$BE=DF$；
②只需要满足$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$；
③只需要满足AE，CF分别平分$∠ BAD$，$∠ BCD$。
其中，正确的方案是 （
A
）A.①②③
B.①③
C.①②
D.②③
答案
1. A
解析
【分析】
要判断三个方案是否能使四边形AECF为平行四边形，优先结合平行四边形的判定定理分析：已知四边形ABCD是平行四边形，可先得出其固有性质：对角线AC、BD交于点O时，OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB//CD，∠BAD=∠BCD，再结合每个方案的条件，推导是否满足平行四边形的判定要求即可。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB//CD，∠BAD=∠BCD。
①若$BE=DF$：
则$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$，
又
∵$OA=OC$，
∴四边形AECF的对角线互相平分，是平行四边形，故①正确。
②若$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$：
∴$∠AEB=∠CFD=90°$，$AE// CF$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ABE=∠CDF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CFD\\ ∠ ABE=∠ CDF\\ AB=CD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（AAS），
∴$AE=CF$，
又
∵$AE// CF$，
∴四边形AECF一组对边平行且相等，是平行四边形，故②正确。
③若AE，CF分别平分$∠ BAD$，$∠ BCD$：
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD$，
∵$∠BAD=∠BCD$，
∴$∠BAE=∠DCF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DCF\\ AB=CD\\ ∠ ABE=∠ CDF\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（ASA），
∴$BE=DF$，
同①可得$OE=OF$，又$OA=OC$，
∴四边形AECF是平行四边形，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型综合题，需要结合平行四边形本身的性质，通过全等三角形推导边的等量关系验证结论，解题时灵活选用平行四边形的判定定理可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
要判断三个方案是否能使四边形AECF为平行四边形，优先结合平行四边形的判定定理分析：已知四边形ABCD是平行四边形，可先得出其固有性质：对角线AC、BD交于点O时，OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB//CD，∠BAD=∠BCD，再结合每个方案的条件，推导是否满足平行四边形的判定要求即可。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB//CD，∠BAD=∠BCD。
①若$BE=DF$：
则$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$，
又
∵$OA=OC$，
∴四边形AECF的对角线互相平分，是平行四边形，故①正确。
②若$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$：
∴$∠AEB=∠CFD=90°$，$AE// CF$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ABE=∠CDF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CFD\\ ∠ ABE=∠ CDF\\ AB=CD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（AAS），
∴$AE=CF$，
又
∵$AE// CF$，
∴四边形AECF一组对边平行且相等，是平行四边形，故②正确。
③若AE，CF分别平分$∠ BAD$，$∠ BCD$：
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD$，
∵$∠BAD=∠BCD$，
∴$∠BAE=∠DCF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DCF\\ AB=CD\\ ∠ ABE=∠ CDF\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（ASA），
∴$BE=DF$，
同①可得$OE=OF$，又$OA=OC$，
∴四边形AECF是平行四边形，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型综合题，需要结合平行四边形本身的性质，通过全等三角形推导边的等量关系验证结论，解题时灵活选用平行四边形的判定定理可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$□ ABCD$中，E，F分别为AB，CD的中点，G，H分别为DE，BF的中点。试判断四边形EHFG的形状，并证明。
答案
四边形EHFG是平行四边形。证明略。
解析
【分析】
要判断四边形EHFG的形状，优先考虑是否为平行四边形，可按以下思路推导：1. 先利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等；2. 结合E、F是AB、CD中点的条件，证明BE和DF平行且相等，推出四边形DEBF是平行四边形，得到DE和BF平行且相等；3. 再利用G、H是DE、BF中点的条件，推导GE和HF的位置与数量关系，最终结合平行四边形的判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF，又BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE//BF，DE=BF，
∵G是DE的中点，H是BF的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$DE，HF=$\frac{1}{2}$BF，
∴GE=HF，又GE//HF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
【答案】
四边形EHFG是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的典型综合应用题，需要逐层推导，先借助已知平行四边形的边的关系证明过渡的平行四边形DEBF，再结合中点条件得到待证四边形的对边关系，核心是熟练掌握平行四边形的相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要判断四边形EHFG的形状，优先考虑是否为平行四边形，可按以下思路推导：1. 先利用平行四边形ABCD的性质，得到AB与CD平行且相等；2. 结合E、F是AB、CD中点的条件，证明BE和DF平行且相等，推出四边形DEBF是平行四边形，得到DE和BF平行且相等；3. 再利用G、H是DE、BF中点的条件，推导GE和HF的位置与数量关系，最终结合平行四边形的判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF，又BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE//BF，DE=BF，
∵G是DE的中点，H是BF的中点，
∴GE=$\frac{1}{2}$DE，HF=$\frac{1}{2}$BF，
∴GE=HF，又GE//HF，
∴四边形EHFG是平行四边形。
【答案】
四边形EHFG是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；中点的定义
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的典型综合应用题，需要逐层推导，先借助已知平行四边形的边的关系证明过渡的平行四边形DEBF，再结合中点条件得到待证四边形的对边关系，核心是熟练掌握平行四边形的相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
