1.当从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为$30°$时，船离灯塔的水平距离是()

A.$42\sqrt{3}$ m
B.$14\sqrt{3}$ m
C.$21$ m
D.$42$ m

A

根据题意构造直角三角形，灯塔高度42m是仰角30°的对边，船到灯塔的水平距离是该角的邻边。设水平距离为$ x \, \mathrm{m} $，由正切函数的定义可得：$\tan30° = \frac{42}{x}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$ x = \frac{42}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 42\sqrt{3} \, \mathrm{m} $。

2.如图，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球表面的最远点是点Q.若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP以及P，Q两点间的地面距离分别是()

A.$\frac{R}{\sinα},\frac{πα R}{180}$
B.$\frac{R}{\sinα}-R,\frac{(90-α)π R}{180}$
C.$\frac{R}{\sinα}-R,\frac{(90+α)π R}{180}$
D.$\frac{R}{\cosα}-R,\frac{(90-α)π R}{180}$

B

连接OQ，由题意知AQ是⊙O的切线，故OQ⊥AQ，△OAQ为直角三角形，∠OQA=90°。
1. 求AP的长度：
在Rt△OAQ中，∠QAP=α，OQ=R，由三角函数定义得$\sinα=\frac{OQ}{OA}$，因此$OA=\frac{OQ}{\sinα}=\frac{R}{\sinα}$。
又因为OP是地球半径，OP=R，所以$AP=OA-OP=\frac{R}{\sinα}-R$。
2. 求P、Q两点间的地面距离（即弧PQ的长度）：
在Rt△OAQ中，∠AOQ=90°-α，即弧PQ对应的圆心角为$90°-α$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得弧PQ的长度为$\frac{(90-α)π R}{180}$。
综上，结果对应选项B。

3.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).若AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于()

A.$a· \sin x + b· \sin x$
B.$a· \cos x + b· \cos x$
C.$a· \sin x + b· \cos x$
D.$a· \cos x + b· \sin x$

D

过点A作AE⊥OC于点E，过点B作BF⊥AE于点F。
1. 由矩形性质得：BC=AD=b，∠ABC=90°。
2. 在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠BCO=x，可得OB=BC·sinx = b·sinx。
3. 由BF//OC，内错角相等得∠FBC=∠BCO=x，结合∠ABC=90°，推出∠ABF=90°-x。
4. 在Rt△ABF中，AF=AB·sin∠ABF = a·sin(90°-x)=a·cosx。
5. 易证四边形OFE B是矩形，故FE=OB = b·sinx。
6. 点A到OC的距离AE=AF+FE = a·cosx + b·sinx。

4.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一栋楼AB的高度，具体过程如下:如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得楼顶部A的俯角为$45°$，底部B的俯角为$63°$，则楼的高度约为m(参考数据:$\tan 63°\approx2$).

解：过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。
由题意得，CE为水平线段，∠ECB=63°，∠ECA=45°，BE=102 m。
在Rt△BCE中，∠BEC=90°，
∵ $\tan∠ ECB=\frac{BE}{CE}$，
∴ $CE=\frac{BE}{\tan63°}\approx\frac{102}{2}=51\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
∵ $\tan∠ ECA=\frac{AE}{CE}$，
∴ $AE=CE·\tan45°=51×1=51\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=BE-AE=102-51=51\ \mathrm{m}$。
答：楼的高度约为51 m。

5. 提升题＞如图,为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度,在距离百货大楼30 m的A处用仪器测得∠DAC=30°,向百货大楼的方向走10 m,到达B处时,测得∠EBC=48°,仪器高度忽略不计,求广告牌ED的高度(结果保留小数点后一位).
(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732,\sin 48°\approx0.743,\cos 48°\approx0.669,\tan 48°\approx1.111$).

解：
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，AC=30 m，
∵ $\tan∠ DAC = \frac{CD}{AC}$，
∴ $CD = AC · \tan30° = 30 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 10 × 1.732 = 17.32\ \mathrm{m}$。
由题意得，$BC = AC - AB = 30 - 10 = 20\ \mathrm{m}$。
在Rt△BEC中，∠C=90°，∠EBC=48°，
∵ $\tan∠ EBC = \frac{EC}{BC}$，
∴ $EC = BC · \tan48° \approx 20 × 1.11 = 22.2\ \mathrm{m}$。
∴ $ED = EC - CD \approx 22.2 - 17.32 = 4.9\ \mathrm{m}$。
答：广告牌ED的高度约为4.9 m。