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1.公园的一处台阶高出地面1.3 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示.下列说法正确的是( 
)
A.斜坡AB的坡度是$\tan 10°$
B.$AC=1.3\tan 10°$ m
C.斜坡AB的坡度是$10°$
D.$AB=\dfrac{1.3}{\tan 10°}$ m
)A.斜坡AB的坡度是$\tan 10°$
B.$AC=1.3\tan 10°$ m
C.斜坡AB的坡度是$10°$
D.$AB=\dfrac{1.3}{\tan 10°}$ m
答案
A
解析
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1.3\ \mathrm{m}$，$∠ A=10°$：
1. 根据坡度定义：斜坡的坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，因此斜坡$AB$的坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\tan10°$，可知A正确，坡度是比值而非角度，C错误。
2. 由$\tan10°=\dfrac{BC}{AC}$，可得$AC=\dfrac{BC}{\tan10°}=\dfrac{1.3}{\tan10°}\ \mathrm{m}$，B错误。
3. 由$\sin10°=\dfrac{BC}{AB}$，可得$AB=\dfrac{BC}{\sin10°}=\dfrac{1.3}{\sin10°}\ \mathrm{m}$，D错误。
综上，正确选项为A。
1. 根据坡度定义：斜坡的坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，因此斜坡$AB$的坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\tan10°$，可知A正确，坡度是比值而非角度，C错误。
2. 由$\tan10°=\dfrac{BC}{AC}$，可得$AC=\dfrac{BC}{\tan10°}=\dfrac{1.3}{\tan10°}\ \mathrm{m}$，B错误。
3. 由$\sin10°=\dfrac{BC}{AB}$，可得$AB=\dfrac{BC}{\sin10°}=\dfrac{1.3}{\sin10°}\ \mathrm{m}$，D错误。
综上，正确选项为A。
2.若一斜坡的坡度$i=1:2$，高度为2 m，
则这一斜坡的坡长为 m.
则这一斜坡的坡长为 m.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
解析
解：
由坡度的定义可知，坡度$i = \frac{\mathrm{斜坡的垂直高度}}{\mathrm{斜坡的水平宽度}} = 1:2$。
已知斜坡高度为2 m，设斜坡的水平宽度为$x\ \mathrm{m}$，则：
$\frac{2}{x} = \frac{1}{2}$
解得$x=4$。
根据勾股定理，斜坡的坡长为：
$\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
由坡度的定义可知，坡度$i = \frac{\mathrm{斜坡的垂直高度}}{\mathrm{斜坡的水平宽度}} = 1:2$。
已知斜坡高度为2 m，设斜坡的水平宽度为$x\ \mathrm{m}$，则：
$\frac{2}{x} = \frac{1}{2}$
解得$x=4$。
根据勾股定理，斜坡的坡长为：
$\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
3.若一斜坡坡角为$30°$,则该斜坡的坡度为________.
答案
$\boldsymbol{1:\sqrt{3}}$（或$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
解析
解：
斜坡的坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值。
已知坡角为$30°$，因此坡度$i = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} = 1:\sqrt{3}$。
斜坡的坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值。
已知坡角为$30°$，因此坡度$i = \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} = 1:\sqrt{3}$。
4.如图,若一艘轮船在小岛A的北偏东$60°$方向距小岛80 n mile的B处,沿正西方向航行4 h后到达小岛的北偏西$45°$的C处,则该船行驶的平均速度为n mile/h.
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意得，AB=80 n mile，∠BAD=60°，∠CAD=45°。
在Rt△ABD中，
$AD = AB·\cos60° = 80×\frac{1}{2} = 40\ (\mathrm{n mile})$，
$BD = AB·\sin60° = 80×\frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}\ (\mathrm{n mile})$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴ $CD = AD = 40\ (\mathrm{n mile})$。
∴ $BC = BD + CD = (40\sqrt{3} + 40)\ \mathrm{n mile}$。
∴ 该船行驶的平均速度为 $\frac{40\sqrt{3} + 40}{4} = 10 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{n mile/h})$。
答：该船行驶的平均速度为$(10+10\sqrt{3})$ n mile/h。
由题意得，AB=80 n mile，∠BAD=60°，∠CAD=45°。
在Rt△ABD中，
$AD = AB·\cos60° = 80×\frac{1}{2} = 40\ (\mathrm{n mile})$，
$BD = AB·\sin60° = 80×\frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}\ (\mathrm{n mile})$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴ $CD = AD = 40\ (\mathrm{n mile})$。
∴ $BC = BD + CD = (40\sqrt{3} + 40)\ \mathrm{n mile}$。
∴ 该船行驶的平均速度为 $\frac{40\sqrt{3} + 40}{4} = 10 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{n mile/h})$。
答：该船行驶的平均速度为$(10+10\sqrt{3})$ n mile/h。
5.如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东72°方向、距离灯塔100 n mile的点A处，它沿正南方向行驶一段时间后，到达位于灯塔P南偏东40°方向上的点B处。此时B处与灯塔P的距离约为n mile（结果取整数，参考数据：$\sin72°\approx0.95$，$\cos72°\approx0.31$，$\tan72°\approx3.08$，$\sin40°\approx0.64$，$\cos40°\approx0.77$，$\tan40°\approx0.84$）。
答案
解：
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB与点P处的南北方向线平行，
因此∠A=72°，∠B=40°。
在Rt△PAC中，PA=100 n mile，
PC = PA·sinA = 100×sin72° ≈ 100×0.95 = 95 (n mile)。
在Rt△PBC中，$\sin B = \frac{PC}{PB}$，
因此 $PB = \frac{PC}{\sin40°} \approx \frac{95}{0.64} \approx 149$ (n mile)。
答：此时B处与灯塔P的距离约为149 n mile。
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB与点P处的南北方向线平行，
因此∠A=72°，∠B=40°。
在Rt△PAC中，PA=100 n mile，
PC = PA·sinA = 100×sin72° ≈ 100×0.95 = 95 (n mile)。
在Rt△PBC中，$\sin B = \frac{PC}{PB}$，
因此 $PB = \frac{PC}{\sin40°} \approx \frac{95}{0.64} \approx 149$ (n mile)。
答：此时B处与灯塔P的距离约为149 n mile。
6. 提升题 如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b相交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测量,景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上,景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m.
(1)求∠ACB的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号).
(1)求∠ACB的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号).
答案
解：(1) 由题意可知，道路$a ⊥ b$，点$A$、$B$处的正北方向均垂直于道路$a$，
因此$∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，$∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
$\because ∠ CAM$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CAM - ∠ CBM = 60° - 30° = 30°$。
(2) $\because ∠ ACB = ∠ CBM = 30°$，
$\therefore AB = AC = 800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ M = 90°$，$∠ CAM = 60°$，
$\therefore CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，$∠ M = 90°$，$∠ BDM = 45°$，
$\therefore DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = DM - CM = 1200 - 400\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：(1) $∠ ACB$的度数为$30°$；(2) 景点$C$与景点$D$之间的距离为$(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
因此$∠ CBM = 90° - 60° = 30°$，$∠ CAM = 90° - 30° = 60°$。
$\because ∠ CAM$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ CAM - ∠ CBM = 60° - 30° = 30°$。
(2) $\because ∠ ACB = ∠ CBM = 30°$，
$\therefore AB = AC = 800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ M = 90°$，$∠ CAM = 60°$，
$\therefore CM = AC · \sin60° = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AM = AC · \cos60° = 800 × \frac{1}{2} = 400\ \mathrm{m}$，
$\therefore BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200\ \mathrm{m}$。
由题意得，在$\mathrm{Rt}△ BDM$中，$∠ M = 90°$，$∠ BDM = 45°$，
$\therefore DM = BM = 1200\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = DM - CM = 1200 - 400\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：(1) $∠ ACB$的度数为$30°$；(2) 景点$C$与景点$D$之间的距离为$(1200 - 400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
