1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$AB=8$，$AC=2$，则$\sin B$的值为()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{15}$
D.$\frac{\sqrt{17}}{4}$

A

在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角正弦的定义：锐角B的正弦值等于它的对边与斜边的比值，即$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$。将$AC=2$，$AB=8$代入，得$\sin B=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。

2. 在$△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{3}{5}$，$AC=6$，则$BC$的长为()

A.8
B.10
C.12
D.14

A

在Rt△ABC中，∠C=90°，根据余弦的定义可得$\cos A = \frac{AC}{AB}$。将$\cos A=\frac{3}{5}$，$AC=6$代入，得$\frac{3}{5}=\frac{6}{AB}$，解得$AB=10$。再由勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，计算得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。

3.如图,在△ABC中,若CA=CB,cos C=$\frac{1}{4}$,则sin B的值为.

$\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{4}}$

解：
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∵ $\cos C = \frac{CD}{AC} = \frac{1}{4}$，
∴ 设$CD = k$，则$AC = 4k$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(4k)^2 - k^2} = \sqrt{15}k$。
∵ $CA = CB$，
∴ $CB = 4k$，
∴ $BD = CB - CD = 4k - k = 3k$。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{15}k)^2 + (3k)^2} = 2\sqrt{6}k$，
∴ $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{15}k}{2\sqrt{6}k} = \frac{\sqrt{10}}{4}$。
最终

4.如图,在△ABC中,若∠B=30°,cos C=$\frac{3}{5}$,AC=10,则BC的长为.

$\boldsymbol{6+8\sqrt{3}}$

解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，AC=10，cos C=$\frac{3}{5}$，
∴ $CD = AC· \cos C = 10× \frac{3}{5} = 6$，
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠ADB=90°，
∵ $\tan B = \frac{AD}{BD}$，
∴ $BD = \frac{AD}{\tan30°} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 8\sqrt{3}$，
∴ $BC = BD + CD = 8\sqrt{3} + 6$。
最终

5.如图,在$△ ABC$中,$AB=5,AC=6,BC=7$,求$\cos B$的值.

解：
过点A作AD⊥BC于点D。
设BD = x，则CD = 7 - x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 25 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 36 - (7 - x)^2$
因此有：
$25 - x^2 = 36 - (7 - x)^2$
展开并整理得：
$25 - x^2 = -13 + 14x - x^2$
$14x = 38$
解得$x = \frac{19}{7}$，即$BD = \frac{19}{7}$。
在Rt△ABD中，
$\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{\frac{19}{7}}{5} = \frac{19}{35}$。
答：$\cos B$的值为$\frac{19}{35}$。

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$AE ⊥ BC$于点$E$，$EF ⊥ AB$于点$F$。若$CE=2$，$\sin∠ AEF=\dfrac{3}{5}$，求$BE$的长。

解：
∵ $AE ⊥ BC$，$EF ⊥ AB$，
∴ $∠ AFE = ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ AEF + ∠ EAF = 90°$，$∠ B + ∠ EAF = 90°$，
∴ $∠ B = ∠ AEF$，
∴ $\sin B = \sin∠ AEF = \dfrac{3}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB = 90°$，$\sin B = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{3}{5}$，
设$AE = 3k$，$AB = 5k$，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$
又∵ $AB = BC$，$BC = BE + CE$，$CE = 2$，
∴ $5k = 4k + 2$，
解得$k = 2$，
∴ $BE = 4k = 8$。
答：$BE$的长为$\boldsymbol{8}$。

7. 提升题＞如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$在$AB$的延长线上.若$AB=2BD$，$\tan∠ BCD=\dfrac{2}{3}$，求$\dfrac{AC}{BC}$的值. （第7题）

解：过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M。
∵ ∠ACB=90°，
∴ AC//DM，
∴ △ACB ∽ △DMB，
∴ $\frac{AC}{DM}=\frac{BC}{BM}=\frac{AB}{BD}$。
∵ $AB=2BD$，
∴ $\frac{AC}{DM}=\frac{BC}{BM}=2$，即 $AC=2DM$，$BC=2BM$。
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，$\tan∠ BCD=\frac{DM}{CM}=\frac{2}{3}$，
设$DM=2k$，则$CM=3k$。
∵ $CM=BC+BM$，且$BC=2BM$，
∴ $CM=3BM=3k$，
解得$BM=k$，$BC=2k$。
又∵ $AC=2DM=4k$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{4k}{2k}=2$。
答：$\frac{AC}{BC}$的值为2。