1. 在$△ ABC$中，若$∠ B=30°$，$AB=\sqrt{3}$，$AC=1$，则$∠ C=$。

解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为D。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=√3，
∴ AD = AB·sinB = √3 × sin30° = √3 × 1/2 = √3/2。
分两种情况讨论：
① 当点D落在线段BC上时，∠C为锐角，
在Rt△ADC中，$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ ∠C = 60°；
② 当点D落在BC的延长线上时，∠C为钝角，
在Rt△ADC中，$\sin∠ACD = \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ ∠ACD = 60°，
∴ ∠ACB = 180° - 60° = 120°。
综上，∠C=60°或120°。

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{2}$，$AC=1$，则$AB=$，$\sin B=$.

$AB=\boldsymbol{\sqrt{3}}$，$\sin B=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$。

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$
根据锐角正弦的定义：
$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
最终

3. 在$Rt△ ABC$中,若$∠ C=90°,AB=6$, $∠ B=45°$,则$AC$的长为________。

$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$

解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin B = \dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore AC = AB· \sin B$，
又$\because AB=6$，$∠ B=45°$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore AC = 6×\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{3}$，$∠ A=60°$，则$AB$的长为________。

$\boldsymbol{2}$

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由正弦的定义可得：$\sin A = \frac{BC}{AB}$，
已知$∠ A=60°$，$BC=\sqrt{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
代入得：
$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{\sin60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$

5. 如图，△ABC 内接于⊙O，BD是直径.若BC=8，sin A=$\frac{4}{5}$，则弦CD=.

$\boldsymbol{6}$

解：
∵ ∠A和∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠A = ∠D，
∴ sinD = sinA = $\frac{4}{5}$。
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD = 90°。
在Rt△BCD中，$\sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{4}{5}$，
∵ BC=8，
∴ $\frac{8}{BD} = \frac{4}{5}$，解得BD=10。
由勾股定理得：
$CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。

6. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$. 根据下列条件解直角三角形.
(1)$∠ A=60°$，$b=10$；
(2)$a=\sqrt{2}$，$c=2$.

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because \tan A = \frac{a}{b}$，
$\therefore a = b·\tan60° = 10×\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$。
$\because \cos A = \frac{b}{c}$，
$\therefore c = \frac{b}{\cos60°} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=\sqrt{2}$，$c=2$，
由勾股定理得：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4-2} = \sqrt{2}$。
$\because \sin A = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore ∠ A = 45°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 45°$。

7. 提升题 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是边AB的中点,$BE⊥ CD$,垂足为E.已知$AC=15$,$\cos A=\frac{3}{5}$.
(1)求$△ BCD$的周长;
(2)求$\sin∠ DBE$的值.

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\because \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$AC=15$，
$\therefore AB=\frac{AC}{\cos A}=15÷\frac{3}{5}=25$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$。
$\because D$是斜边$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线性质，
$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{25}{2}$。
$\therefore △ BCD$的周长为：
$CD+BD+BC=\frac{25}{2}+\frac{25}{2}+20=45$。
(2) 由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×15×20=150$，
$\because D$是$AB$中点，
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=75$。
又$\because S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· CD· BE$，
代入$CD=\frac{25}{2}$得：
$\frac{1}{2}×\frac{25}{2}× BE=75$，解得$BE=12$。
在$Rt△ BDE$中，$BD=\frac{25}{2}$，$BE=12$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=\frac{7}{2}$。
$\therefore \sin∠ DBE=\frac{DE}{BD}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{25}{2}}=\frac{7}{25}$。
答：(1) $△ BCD$的周长为$45$；(2) $\sin∠ DBE$的值为$\frac{7}{25}$。