1.若正多边形的一个外角为$36°$,则此正多边形的边数是.

$\boldsymbol{10}$

解：∵任意多边形的外角和都等于$360°$，且正多边形的各个外角都相等，
∴该正多边形的边数为$360°÷36°=10$。

2.有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是。

$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$

解：
要使圆形纸片完全盖住边长为4的正方形且半径最小，该圆是此正方形的外接圆。
边长为4的正方形，其对角线长为 $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$。
正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长，因此所求最小半径为 $\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
最终

3. 根据右图填空.
(1)若O是正三角形ABC的 ，则它是正三角形ABC的 圆与 圆的圆心.
(2)OB叫作正三角形ABC的 ，它是正三角形ABC的 圆的半径.
(3)OD叫作正三角形ABC的 ，它是正三角形ABC的 圆的半径.
(4)∠BOC是正三角形ABC的 角，∠BOC = ；∠BOD = .

解：
(1) 中心；外接；内切
(2) 半径；外接
(3) 边心距；内切
(4) 中心；$120°$；$60°$

4.完成下表中有关正多边形的计算.
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | $60°$ | | | $2\sqrt{3}$ | | | |
| 4 | | | | | $1$ | | |
| 6 | | | | | $\sqrt{3}$ | | |

解：
1. 边数为3的正三角形计算：
中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
已知边长为$2\sqrt{3}$，则边长的一半为$\sqrt{3}$，中心角的一半为$60°$：
由$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{R}$，得半径$R=2$
由$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{r}$，得边心距$r=1$
周长：$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
面积：$\frac{1}{2}× 周长 × 边心距 = \frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
2. 边数为4的正方形计算：
内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
已知边心距为1，得边长为$2×1=2$，半径$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
周长：$4×2=8$
面积：$\frac{1}{2}×8×1=4$
3. 边数为6的正六边形计算：
内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
已知边心距为$\sqrt{3}$，中心角的一半为$30°$，设边长的一半为$a$：
由$\tan30°=\frac{a}{\sqrt{3}}$，得$a=1$，边长为$2a=2$，正六边形边长等于外接圆半径，故半径$R=2$
周长：$6×2=12$
面积：$\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
---
最终填表结果：
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60°$ | $120°$ | $2$ | $2\sqrt{3}$ | $1$ | $6\sqrt{3}$ | $3\sqrt{3}$ |
| 4 | $90°$ | $90°$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120°$ | $60°$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |

5. 提升题 如图①,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,解答下列问题.
作法如图②:(1)作直径AF;(2)以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N;(3)连接AM,MN,NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些点,得到正$n$边形,求$n$的值.

解：
(1) ∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
∴ $∠ ABC=\frac{540°}{5}=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$OM$，$FM$，$ON$。
由作图可知$FM=FO$，
又∵ $OM=OF$，
∴ $FM=FO=OM$，即$△ OFM$是等边三角形，
∴ $∠ MOF=60°$，同理可得$∠ NOF=60°$，
∴ $∠ AOM=180°-∠ MOF=120°$，$∠ AON=180°-∠ NOF=120°$，
∴ $AM=AN$，$∠ MAN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×(60°+60°)=60°$，
∴ $△ AMN$是正三角形。
(3) ∵ 正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴ 正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴ $∠ AOD=2×72°=144°$，
由(2)知$∠ AON=120°$，
∴ $∠ DON=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
即弧$DN$对应的圆心角为$24°$，
∴ $n=\frac{360°}{24°}=15$。