1.如图,以点 P 为圆心作圆,所得的圆与直线 l 相切的是()

A.以 PA 为半径的圆
B.以 PB 为半径的圆
C.以 PC 为半径的圆
D.以 PD 为半径的圆

B

根据直线与圆相切的判定：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则圆与该直线相切。由图可知，PB⊥直线l，即点P到直线l的距离等于线段PB的长度，因此以PB为半径的圆与直线l相切。

2.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，C为$\odot O$上一点，连接AC，BC。若$∠ P=50°$，则$∠ ACB=$()

A.$60°$
B.$75°$
C.$70°$
D.$65°$

D

连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-50°=130°。根据圆周角定理，弧AB所对的圆周角∠ACB等于弧AB所对圆心角∠AOB的一半，因此∠ACB=½∠AOB=½×130°=65°。

3.如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,若P为$\overset{\frown}{DE}$上的一点(点P不与点D重合),则$∠ CPD$的度数为()

A.$30°$
B.$36°$
C.$60°$
D.$72°$

B

连接OC、OD，因为正五边形ABCDE内接于⊙O，所以圆周被五等分，弧CD对应的圆心角∠COD = 360°÷5 = 72°。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，∠CPD是弧CD所对的圆周角，因此∠CPD = 1/2∠COD = 1/2×72° = 36°。

4.小明测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角尺和这个零件放置于桌面上，如图，零件与直尺、三角尺均相切。若测得点A与其中一个切点B的距离为3 cm，则这个零件的半径是 cm.

$3\sqrt{3}$

解：设圆形零件的圆心为O，连接OA、OB。
∵点B是圆与直尺的切点，
∴OB⊥AB。
由切线长定理可知，点A到圆的两条切线的切线长相等，且OA平分两条切线的夹角。
由图可知三角尺与直尺的夹角为60°，因此两条切线在点A处的夹角为180°-60°=120°，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}×120°=60°$。
在Rt△OAB中，AB=3 cm，$\tan∠OAB=\frac{OB}{AB}$，
∴$OB = AB·\tan60° = 3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ cm。

5.如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心.若∠ADB=15°,则这个正多边形的边数是.

$\boldsymbol{12}$

解：连接OA，OB。
∵O为正多边形的中心，
∴点A、B、D在以O为圆心、OA为半径的外接圆上。
由圆周角定理可得：
∠AOB = 2∠ADB = 2×15° = 30°。
正多边形的边数为 $\frac{360°}{30°}=12$。

6. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(2\sqrt{2},0)$，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为$y=x+t$。若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是。
.

解：
由题意可知，半圆的圆心为$C(\sqrt{2}, 0)$，半径$r=\sqrt{2}$，半圆在$x$轴上方，端点为$O(0,0)$和$A(2\sqrt{2},0)$。
分两种情况讨论：
1. 当直线$l$与半圆相切时，直线解析式整理为$x - y + t = 0$，圆心$C$到直线的距离等于半径$\sqrt{2}$。
由点到直线的距离公式：
$d=\frac{|\sqrt{2} - 0 + t|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{|t+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
得$|t+\sqrt{2}|=2$，解得$t=2-\sqrt{2}$或$t=-2-\sqrt{2}$。
其中$t=-2-\sqrt{2}$对应直线与$x$轴下方的半圆相切，不符合题意舍去，此时$t=2-\sqrt{2}$满足直线与半圆只有一个公共点。
2. 当直线$l$过半圆端点$A(2\sqrt{2},0)$时，代入$y=x+t$得$0=2\sqrt{2}+t$，解得$t=-2\sqrt{2}$，此时直线与半圆仅交于点$A$，只有一个公共点。
将直线$l$向上平移，直到直线过点$O(0,0)$之前，直线与半圆始终只有一个公共点（另一个交点在$x$轴下方，不在上半圆上）；当直线过$O$点时，代入$y=x+t$得$t=0$，此时直线与半圆有两个公共点，不符合要求。
因此该情况下$t$的取值范围是$-2\sqrt{2} ≤ t ＜ 0$。
综上，$t$的取值范围是$\boldsymbol{-2\sqrt{2} ≤ t ＜ 0}$ 或 $\boldsymbol{t=2-\sqrt{2}}$。

7. 提升题 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，BC平分$∠ ABD$，过点B作$BD⊥ l$于点D.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)连接OD，若$∠ ABD=60°$，$CD=3$，求OD的长.

(1) 证明：
连接OC，
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB，
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠OBC=∠DBC，
∴ ∠OCB=∠DBC，
∴ OC//BD，
又∵ BD⊥l，即BD⊥CD，
∴ OC⊥CD，
∵ OC是⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线。
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(2) 解：
∵ BC平分∠ABD，∠ABD=60°，
∴ ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
∵ BD⊥CD，∴ ∠D=90°，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=3，
∴ BC=2CD=6，
过点O作OE⊥BC于点E，
由垂径定理得：BE=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，
∴ $OB=\frac{BE}{\cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，
∴ OC=OB=$2\sqrt{3}$，
由(1)知OC⊥CD，即∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，
$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$。
答：OD的长为$\sqrt{21}$。