1.正三角形的中心角等于，正方形的中心角等于。

$120°$；$90°$

解：
正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数）。
正三角形的边数$n=3$，其中心角为$\frac{360°}{3}=120°$；
正方形的边数$n=4$，其中心角为$\frac{360°}{4}=90°$。
最终

2.如图，AB是$\odot O$内接正$n$边形的一条边.若$∠ ACB=144°$,则$n=$.

$\boldsymbol{5}$

解：
在优弧AB上取点D，连接AD、BD。
∵ 四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ACB + ∠ADB = 180°。
∵ ∠ACB = 144°，
∴ ∠ADB = 180° - 144° = 36°。
由圆周角定理得，劣弧AB所对的圆心角∠AOB = 2∠ADB = 72°。
∵ AB是⊙O内接正n边形的一条边，
∴ 正n边形的中心角满足 $\frac{360°}{n} = 72°$，
解得 $n = 5$。

3.若一个正多边形的中心角是$30°$,则这个多边形是正边形.

$\boldsymbol{十二}$

解：
设这个正多边形的边数为$n$，
根据正多边形中心角的性质，正$n$边形的中心角和为$360°$，每个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，
因此列方程：
$\frac{360°}{n}=30°$
解得$n=12$。
所以这个多边形是正十二边形。
最终

4.若圆的内接正六边形的周长为18，则该圆的半径为。

$\boldsymbol{3}$

解：
∵ 圆的内接正六边形的6条边长度相等，且周长为18，
∴ 正六边形的边长为 $ \frac{18}{6} = 3 $。
由圆内接正六边形的性质可知：圆的内接正六边形的边长等于该圆的半径，
∴ 该圆的半径为3。
最终

5. 提升题＞如图①,等边三角形ABC内接于$\odot O$,连接CO并延长,交$\odot O$于点D.
(1)可以证明CD垂直平分AB,写出$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{DB}$的数量关系:.
(2)请你仅使用无刻度的直尺按要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)
①在图①中作出一个正六边形;
②请在图②中作出$\odot O$的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴.

解：
(1) $\boldsymbol{\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}}$
(2) ① 如图①，分别连接AO并延长交$\odot O$于点E，连接BO并延长交$\odot O$于点F，顺次连接A、D、B、E、C、F，所得六边形ADBECF即为所求正六边形（保留对应连线痕迹）。
② 如图②，连接AE、BF交于点P，连接BD、CE交于点Q，作直线PQ，直线PQ即为所求的一条不经过顶点的对称轴（任意符合要求的对称轴均可，保留作图痕迹）。

6.如图，$\odot O$是正方形$ABCD$与正六边形$AEFCGH$的外接圆.
(1)图中正方形与正六边形的边长之比为.
(2)连接$BE$，$BE$是否为$\odot O$的内接正$n$边形的一边？如果是，求出$n$的值；如果不是，请说明理由.

解：
(1) 设$\odot O$的半径为$R$。
$\odot O$的内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$，
$\odot O$的内接正六边形的边长等于圆的半径，为$R$，
因此正方形与正六边形的边长之比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
(2) 连接$OA$，$OB$，$OE$。
$\because \odot O$是正六边形$AEFCGH$的外接圆，
$\therefore$ 正六边形的中心角$∠ AOE=\dfrac{360°}{6}=60°$。
$\because \odot O$是正方形$ABCD$的外接圆，
$\therefore$ 正方形的中心角$∠ AOB=\dfrac{360°}{4}=90°$。
$\therefore ∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=90°-60°=30°$。
$\because \dfrac{360°}{30°}=12$，
$\therefore BE$是$\odot O$的内接正$n$边形的一边，$n=12$。