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章知识导图
投影与视图
投影
定义：一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影
平行投影：由平行的光线（如太阳光线）所形成的投影；正投影：投射线垂直于投影面的平行投影
中心投影：由一点（点光源）发出的光线所形成的投影
三视图
三视图
主视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图
左视图：自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图
俯视图：自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图
画法：（1）主视图的长与俯视图的长对正；
主视图的高与左视图的高平齐；（3）俯视图的宽与左视图的宽相等。简述为长对正，高平齐，宽相等
直棱柱、圆柱及圆锥的侧面展开图
直棱柱：侧棱与底面①
棱柱的有关特性
（1）棱柱上、下底面是相同的多边形，侧面是长方形
（2）棱柱的所有侧棱长都②
（3）侧面数与底面多边形的边数相等
圆柱：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个长方形
圆锥：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形
投影与视图
投影
定义：一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影
平行投影：由平行的光线（如太阳光线）所形成的投影；正投影：投射线垂直于投影面的平行投影
中心投影：由一点（点光源）发出的光线所形成的投影
三视图
三视图
主视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图
左视图：自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图
俯视图：自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图
画法：（1）主视图的长与俯视图的长对正；
主视图的高与左视图的高平齐；（3）俯视图的宽与左视图的宽相等。简述为长对正，高平齐，宽相等直棱柱、圆柱及圆锥的侧面展开图
直棱柱：侧棱与底面①
垂直
的棱柱称为直棱柱棱柱的有关特性
（1）棱柱上、下底面是相同的多边形，侧面是长方形
（2）棱柱的所有侧棱长都②
相等
（3）侧面数与底面多边形的边数相等
圆柱：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个长方形
圆锥：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形
答案
①垂直
②相等
②相等
解析
【分析】
本题考查投影与视图章节中直棱柱及棱柱特性的基础概念，需回忆相关定义与特性完成填空：①处对应直棱柱的定义，②处对应棱柱的基本特性，结合概念即可得出答案。
【解析】
根据直棱柱的定义：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，因此①处填“垂直”；根据棱柱的特性：棱柱的所有侧棱长都相等，因此②处填“相等”。
【答案】①垂直；②相等
【知识点】直棱柱定义、棱柱特性
【点评】本题是对投影与视图相关基础概念的识记类考查，难度较低，只要掌握相关概念就能正确作答。
【难度系数】0.2
本题考查投影与视图章节中直棱柱及棱柱特性的基础概念，需回忆相关定义与特性完成填空：①处对应直棱柱的定义，②处对应棱柱的基本特性，结合概念即可得出答案。
【解析】
根据直棱柱的定义：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，因此①处填“垂直”；根据棱柱的特性：棱柱的所有侧棱长都相等，因此②处填“相等”。
【答案】①垂直；②相等
【知识点】直棱柱定义、棱柱特性
【点评】本题是对投影与视图相关基础概念的识记类考查，难度较低，只要掌握相关概念就能正确作答。
【难度系数】0.2
1. 下列实际生活中的投影是平行投影的是
（
A.影院正在放映的影片
B.晚上小明在路灯下的投影
C.艺人表演的皮影戏
D.“日食”现象
（
D
）A.影院正在放映的影片
B.晚上小明在路灯下的投影
C.艺人表演的皮影戏
D.“日食”现象
答案
1.D
解析
【分析】要解决本题，需先明确平行投影和中心投影的定义：平行投影是由平行光线（如太阳光）形成的投影；中心投影是由点光源（如路灯、放映灯光）发出的光线形成的投影。再逐一分析各选项对应的投影类型，选出符合平行投影的选项。
【解析】根据平行投影与中心投影的定义分析各选项：
选项A：影院放映影片利用的是放映机的点光源发出的光线，形成的是中心投影，不符合平行投影要求；
选项B：路灯是点光源，小明在路灯下的投影是中心投影，不符合要求；
选项C：皮影戏是在灯光（点光源）照射下形成的投影，属于中心投影，不符合要求；
选项D：日食是月球遮挡太阳光形成的，太阳光可近似看作平行光线，因此日食现象属于平行投影，符合要求。
【答案】D
【知识点】平行投影、中心投影
【点评】本题考查平行投影与中心投影的概念辨析，核心是区分两种投影的形成光线特点，结合生活实例判断即可，属于基础概念题。
【难度系数】0.6
【解析】根据平行投影与中心投影的定义分析各选项：
选项A：影院放映影片利用的是放映机的点光源发出的光线，形成的是中心投影，不符合平行投影要求；
选项B：路灯是点光源，小明在路灯下的投影是中心投影，不符合要求；
选项C：皮影戏是在灯光（点光源）照射下形成的投影，属于中心投影，不符合要求；
选项D：日食是月球遮挡太阳光形成的，太阳光可近似看作平行光线，因此日食现象属于平行投影，符合要求。
【答案】D
【知识点】平行投影、中心投影
【点评】本题考查平行投影与中心投影的概念辨析，核心是区分两种投影的形成光线特点，结合生活实例判断即可，属于基础概念题。
【难度系数】0.6
2. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
2.D
解析
【分析】
要解决本题，需掌握平行投影的核心性质：同一时刻，阳光下不同物体的影子互相平行，且等高物体的影长相等、影子方向一致。据此逐一分析选项即可判断正确答案。
【解析】
平行投影中，太阳光线可视为平行光线，因此物体的影子也互相平行，且等高木杆的影长应相近。
选项A：三根木杆的影子方向不同，不平行，不符合平行投影性质；
选项B：影子方向存在向上和向下的差异，不平行，不符合要求；
选项C：三根木杆的影子方向各不相同，不平行，错误；
选项D：三根木杆的影子互相平行，方向一致，且长度相近，符合平行投影的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
平行投影的性质
【点评】
本题结合生活中的影子现象，考查平行投影的基础性质，属于常规基础题，关键是理解同一时刻阳光下影子的平行性与等长性（等高物体）。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需掌握平行投影的核心性质：同一时刻，阳光下不同物体的影子互相平行，且等高物体的影长相等、影子方向一致。据此逐一分析选项即可判断正确答案。
【解析】
平行投影中，太阳光线可视为平行光线，因此物体的影子也互相平行，且等高木杆的影长应相近。
选项A：三根木杆的影子方向不同，不平行，不符合平行投影性质；
选项B：影子方向存在向上和向下的差异，不平行，不符合要求；
选项C：三根木杆的影子方向各不相同，不平行，错误；
选项D：三根木杆的影子互相平行，方向一致，且长度相近，符合平行投影的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
平行投影的性质
【点评】
本题结合生活中的影子现象，考查平行投影的基础性质，属于常规基础题，关键是理解同一时刻阳光下影子的平行性与等长性（等高物体）。
【难度系数】
0.7
3.如图，路灯距地面8 m，身高1.6 m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14 m到达点B时，人影长度会（
A.变长 3.5 m
B.变长 2.5 m
C.变短 3.5 m
D.变短 2.5 m
C
）A.变长 3.5 m
B.变长 2.5 m
C.变短 3.5 m
D.变短 2.5 m
答案
3.C
解析
【分析】
本题是中心投影下的人影长度变化问题，核心是利用相似三角形的性质建立比例关系求解。首先设路灯正下方为点O，小明在A点的影长为AM，在B点的影长为BN；由于人和路灯均垂直地面，形成的两个直角三角形相似，对应边成比例，据此分别求出A、B两点的影长，再计算影长的变化量即可判断。
【解析】
设路灯在地面的投影点为O，小明在A点时影长$AM = x\ \mathrm{m}$，在B点时影长$BN = y\ \mathrm{m}$，OA的长度为$L\ \mathrm{m}$。
由中心投影的性质，人和路灯都垂直地面，可得$△ OAM$与路灯顶点、O、M构成的直角三角形相似，对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{路灯高度}} = \frac{\mathrm{影长}}{\mathrm{影长} + \mathrm{人到O的距离}}$
代入数据得：$\frac{1.6}{8} = \frac{x}{x + L}$，化简得：
$0.2 = \frac{x}{x + L} \implies 0.2(x + L) = x \implies x = \frac{L}{4}$。
小明从A到B行走14 m，故$OB = L -14\ \mathrm{m}$，同理对B点有：
$\frac{1.6}{8} = \frac{y}{y + (L -14)}$，化简得：
$y = \frac{L -14}{4}$。
影长变化量为：$x - y = \frac{L}{4} - \frac{L -14}{4} = 3.5\ \mathrm{m}$，说明影长变短了3.5 m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影
【点评】
本题结合实际生活中的人影问题，考查相似三角形性质的应用，关键是利用中心投影的特点构造相似三角形，通过比例关系建立方程求解，难度适中，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题是中心投影下的人影长度变化问题，核心是利用相似三角形的性质建立比例关系求解。首先设路灯正下方为点O，小明在A点的影长为AM，在B点的影长为BN；由于人和路灯均垂直地面，形成的两个直角三角形相似，对应边成比例，据此分别求出A、B两点的影长，再计算影长的变化量即可判断。
【解析】
设路灯在地面的投影点为O，小明在A点时影长$AM = x\ \mathrm{m}$，在B点时影长$BN = y\ \mathrm{m}$，OA的长度为$L\ \mathrm{m}$。
由中心投影的性质，人和路灯都垂直地面，可得$△ OAM$与路灯顶点、O、M构成的直角三角形相似，对应边成比例：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{路灯高度}} = \frac{\mathrm{影长}}{\mathrm{影长} + \mathrm{人到O的距离}}$
代入数据得：$\frac{1.6}{8} = \frac{x}{x + L}$，化简得：
$0.2 = \frac{x}{x + L} \implies 0.2(x + L) = x \implies x = \frac{L}{4}$。
小明从A到B行走14 m，故$OB = L -14\ \mathrm{m}$，同理对B点有：
$\frac{1.6}{8} = \frac{y}{y + (L -14)}$，化简得：
$y = \frac{L -14}{4}$。
影长变化量为：$x - y = \frac{L}{4} - \frac{L -14}{4} = 3.5\ \mathrm{m}$，说明影长变短了3.5 m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影
【点评】
本题结合实际生活中的人影问题，考查相似三角形性质的应用，关键是利用中心投影的特点构造相似三角形，通过比例关系建立方程求解，难度适中，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子;
(2)如果小明的身高$AB=1.6\ \mathrm{m}$,他的影子长$AC=1.4\ \mathrm{m}$,且他到路灯的距离$AD=2.1\ \mathrm{m}$,求灯泡的高.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子;
(2)如果小明的身高$AB=1.6\ \mathrm{m}$,他的影子长$AC=1.4\ \mathrm{m}$,且他到路灯的距离$AD=2.1\ \mathrm{m}$,求灯泡的高.
答案
4.(1)略
(2)如题图,连接CB并延长,交DE于点O,由题意得$△ CBA∽△ COD$,$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{CA}{CD}$,
$\therefore \frac{1.6}{OD}=\frac{1.4}{1.4+2.1}$,解得$OD=4$,$\therefore$灯泡的高为4 m.
(2)如题图,连接CB并延长,交DE于点O,由题意得$△ CBA∽△ COD$,$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{CA}{CD}$,
$\therefore \frac{1.6}{OD}=\frac{1.4}{1.4+2.1}$,解得$OD=4$,$\therefore$灯泡的高为4 m.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用中心投影的性质和相似三角形的应用：(1)根据中心投影中“物体顶端、影子顶端、灯泡三点共线”，连接小明的身高顶端与影子顶端，延长后与DE的交点即为灯泡位置；同理可画出小亮的影子。(2)通过证明由身高和灯泡高度构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例计算灯泡高度。
【解析】
(1) 连接CB并延长，交DE于点O，则点O就是灯泡所在的位置；连接OG并延长，交地面于点H，则线段FH就是小亮在灯光下形成的影子。
(2) 由题意，$AB⊥CD$，$DO⊥CD$，故$∠ BAC=∠ DOC=90°$，又$∠ C$是$△ CBA$和$△ COD$的公共角，因此$△ CBA ∽ △ COD$。根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{DO}=\frac{CA}{CD}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$AC=1.4\ \mathrm{m}$，$AD=2.1\ \mathrm{m}$，则$CD=AC+AD=1.4+2.1=3.5\ \mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{1.6}{OD}=\frac{1.4}{3.5}$，解得$OD=4\ \mathrm{m}$，即灯泡的高为4 m。
【答案】
(1) 灯泡位置为CB延长线与DE的交点，小亮的影子为FH；(2) 灯泡的高为4 m
【知识点】
中心投影、相似三角形的应用
【点评】
本题结合实际场景考查中心投影与相似三角形的应用，核心是利用光线的直线性构造相似三角形，属于几何应用的基础题型，需掌握相似三角形的判定与性质。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用中心投影的性质和相似三角形的应用：(1)根据中心投影中“物体顶端、影子顶端、灯泡三点共线”，连接小明的身高顶端与影子顶端，延长后与DE的交点即为灯泡位置；同理可画出小亮的影子。(2)通过证明由身高和灯泡高度构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例计算灯泡高度。
【解析】
(1) 连接CB并延长，交DE于点O，则点O就是灯泡所在的位置；连接OG并延长，交地面于点H，则线段FH就是小亮在灯光下形成的影子。
(2) 由题意，$AB⊥CD$，$DO⊥CD$，故$∠ BAC=∠ DOC=90°$，又$∠ C$是$△ CBA$和$△ COD$的公共角，因此$△ CBA ∽ △ COD$。根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AB}{DO}=\frac{CA}{CD}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$AC=1.4\ \mathrm{m}$，$AD=2.1\ \mathrm{m}$，则$CD=AC+AD=1.4+2.1=3.5\ \mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{1.6}{OD}=\frac{1.4}{3.5}$，解得$OD=4\ \mathrm{m}$，即灯泡的高为4 m。
【答案】
(1) 灯泡位置为CB延长线与DE的交点，小亮的影子为FH；(2) 灯泡的高为4 m
【知识点】
中心投影、相似三角形的应用
【点评】
本题结合实际场景考查中心投影与相似三角形的应用，核心是利用光线的直线性构造相似三角形，属于几何应用的基础题型，需掌握相似三角形的判定与性质。
【难度系数】
0.6
