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8. 如图,在$△ ABC$中,点$P$在边$AB$上,则下列四个条件:①$∠ ACP=∠ B$;②$∠ APC=∠ ACB$;③$CP· AB=AP· CB$;④$AC^2=AP· AB$.其中能使$△ APC$与$△ ABC$相似的条件是 (
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
A
)A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
答案
8.A
解析
【分析】
要判断△APC和△ABC是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角相等的条件。根据相似三角形的判定规则，此时只需再满足“另一组角相等”或者“夹公共角的两组对应边成比例”，即可判定两个三角形相似。接下来我们逐个验证四个条件是否满足上述要求即可。
【解析】
已知∠A是△APC和△ABC的公共角，即∠A=∠A，逐个分析条件：
1. 条件①：若∠ACP=∠B，此时△APC和△ABC有两组角分别相等（∠A=∠A，∠ACP=∠B），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
2. 条件②：若∠APC=∠ACB，此时△APC和△ABC有两组角分别相等（∠A=∠A，∠APC=∠ACB），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
3. 条件③：将$CP· AB=AP· CB$变形可得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，这组比例的边不是夹公共角∠A的对应边，不满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定要求，无法判定两个三角形相似，该条件不符合要求。
4. 条件④：将$AC^2=AP· AB$变形可得$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，这是夹公共角∠A的两组对应边成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
综上，能使△APC与△ABC相似的条件是①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是先找到两个三角形的公共角这个隐含的相等条件，再结合相似三角形的判定定理逐一验证给出的条件即可，要注意应用两边成比例判定相似时，必须是夹角的两组对应边成比例。
【难度系数】
0.7
要判断△APC和△ABC是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角相等的条件。根据相似三角形的判定规则，此时只需再满足“另一组角相等”或者“夹公共角的两组对应边成比例”，即可判定两个三角形相似。接下来我们逐个验证四个条件是否满足上述要求即可。
【解析】
已知∠A是△APC和△ABC的公共角，即∠A=∠A，逐个分析条件：
1. 条件①：若∠ACP=∠B，此时△APC和△ABC有两组角分别相等（∠A=∠A，∠ACP=∠B），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
2. 条件②：若∠APC=∠ACB，此时△APC和△ABC有两组角分别相等（∠A=∠A，∠APC=∠ACB），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
3. 条件③：将$CP· AB=AP· CB$变形可得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，这组比例的边不是夹公共角∠A的对应边，不满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定要求，无法判定两个三角形相似，该条件不符合要求。
4. 条件④：将$AC^2=AP· AB$变形可得$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，这是夹公共角∠A的两组对应边成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，该条件符合要求。
综上，能使△APC与△ABC相似的条件是①②④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是先找到两个三角形的公共角这个隐含的相等条件，再结合相似三角形的判定定理逐一验证给出的条件即可，要注意应用两边成比例判定相似时，必须是夹角的两组对应边成比例。
【难度系数】
0.7
9. [2026·马鞍山雨山区一模]如图,在四边形ABCD中,E为边BC的中点,连接AE,DE.若∠B=∠C=∠AED,则下列结论中不正确的是(
A.∠AEB=∠CDE
B.AB+CD=BC
C.△ABE∽△AED
D.DE²=AD·DC
B
)A.∠AEB=∠CDE
B.AB+CD=BC
C.△ABE∽△AED
D.DE²=AD·DC
答案
9.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 利用平角定义和三角形内角和定理推导角的等量关系，验证A选项；2. 由两角对应相等判定△ABE∽△ECD，结合E是BC中点的条件得到边的比例关系；3. 结合∠B=∠AED，用两边成比例且夹角相等判定△ABE∽△AED，验证C选项；4. 由相似的传递性得到△ECD∽△AED，推导边的乘积关系验证D选项；5. 分析B选项的边和关系，通过比例推导或举反例判断其不成立，即可选出错误结论。
【解析】
1. 验证A选项
根据平角定义，$∠ AED + ∠ AEB + ∠ DEC = 180°$；根据三角形内角和定理，$△ CDE$中$∠ C + ∠ CDE + ∠ DEC = 180°$。
已知$∠ C=∠ AED$，两式相减可得$∠ AEB=∠ CDE$，A选项正确，不符合题意。
2. 判定$△ ABE ∽ △ ECD$
已知$∠ B=∠ C$，且已证$∠ AEB=∠ CDE$，根据“两角对应相等，两三角形相似”，可得$△ ABE ∽ △ ECD$，因此对应边成比例：$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{ED}$。
又因为E是BC中点，所以$BE=EC$。
3. 验证C选项
由$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{ED}$、$BE=EC$，可推得$\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{ED}$，又已知$∠ B=∠ AED$，根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，可得$△ ABE ∽ △ AED$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证D选项
由$△ ABE ∽ △ ECD$、$△ ABE ∽ △ AED$，可得$△ ECD ∽ △ AED$，对应边成比例：$\frac{DE}{AD}=\frac{DC}{DE}$，交叉相乘得$DE^2=AD· DC$，D选项正确，不符合题意。
5. 分析B选项
由$△ ABE ∽ △ ECD$可得$AB· CD=BE· EC=\frac{1}{4}BC^2$，无法推出$AB+CD=BC$。举反例：设$BE=EC=1$，$∠ B=∠ C=∠ AED=60°$，若$AB=2$，则$CD=\frac{BE· EC}{AB}=0.5$，此时$AB+CD=2.5$，$BC=2$，显然$AB+CD≠ BC$，B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题核心是先通过角的等量代换推导角相等，进而判定三角形相似，再利用相似的性质推导边的关系，判断错误结论时可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 利用平角定义和三角形内角和定理推导角的等量关系，验证A选项；2. 由两角对应相等判定△ABE∽△ECD，结合E是BC中点的条件得到边的比例关系；3. 结合∠B=∠AED，用两边成比例且夹角相等判定△ABE∽△AED，验证C选项；4. 由相似的传递性得到△ECD∽△AED，推导边的乘积关系验证D选项；5. 分析B选项的边和关系，通过比例推导或举反例判断其不成立，即可选出错误结论。
【解析】
1. 验证A选项
根据平角定义，$∠ AED + ∠ AEB + ∠ DEC = 180°$；根据三角形内角和定理，$△ CDE$中$∠ C + ∠ CDE + ∠ DEC = 180°$。
已知$∠ C=∠ AED$，两式相减可得$∠ AEB=∠ CDE$，A选项正确，不符合题意。
2. 判定$△ ABE ∽ △ ECD$
已知$∠ B=∠ C$，且已证$∠ AEB=∠ CDE$，根据“两角对应相等，两三角形相似”，可得$△ ABE ∽ △ ECD$，因此对应边成比例：$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{ED}$。
又因为E是BC中点，所以$BE=EC$。
3. 验证C选项
由$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{ED}$、$BE=EC$，可推得$\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{ED}$，又已知$∠ B=∠ AED$，根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，可得$△ ABE ∽ △ AED$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证D选项
由$△ ABE ∽ △ ECD$、$△ ABE ∽ △ AED$，可得$△ ECD ∽ △ AED$，对应边成比例：$\frac{DE}{AD}=\frac{DC}{DE}$，交叉相乘得$DE^2=AD· DC$，D选项正确，不符合题意。
5. 分析B选项
由$△ ABE ∽ △ ECD$可得$AB· CD=BE· EC=\frac{1}{4}BC^2$，无法推出$AB+CD=BC$。举反例：设$BE=EC=1$，$∠ B=∠ C=∠ AED=60°$，若$AB=2$，则$CD=\frac{BE· EC}{AB}=0.5$，此时$AB+CD=2.5$，$BC=2$，显然$AB+CD≠ BC$，B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题核心是先通过角的等量代换推导角相等，进而判定三角形相似，再利用相似的性质推导边的关系，判断错误结论时可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.65
10. [2024·滁州琅琊区期末]如图，已知$△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$，$△ HGI$是4个全等的等腰三角形，底边$BC$，$CE$，$EG$，$GI$在同一条直线上，且$AB=2$，$BC=1$，连接$AI$，交$FG$于点$Q$，则$QI=$
$\frac{4}{3}$
。答案
10.$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
要求QI的长度，可分两步求解：第一步先求AI的长度，观察得△ABC和△IBA有公共角∠B，先计算BI的长度，验证两边对应成比例，用相似三角形判定定理2证明两三角形相似，即可求出AI；第二步，由全等等腰三角形的底角相等可得AC//FG，进而证得△IQG∽△IAC，结合相似比即可求出QI的长度。
【解析】
解：
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，BC=1，
∴BC=CE=EG=GI=1，AB=AC=2，
∴$BI=BC+CE+EG+GI=4$，$IC=CE+EG+GI=3$。
在△ABC和△IBA中：
$\frac{AB}{BI}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$，
又
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△IBA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{IA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{2}{IA}=\frac{1}{2}$，
解得$IA=4$。
∵△ABC、△FEG是全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠FGE，
∴AC//FG（同位角相等，两直线平行），
∴△IQG∽△IAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$，
将$GI=1$，$CI=3$，$AI=4$代入得：
$\frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$，
解得$QI=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质的应用，解题的关键是找准公共角和相似三角形的对应边，先求出AI的长度，再借助平行线得到新的相似三角形求解线段长，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.6
要求QI的长度，可分两步求解：第一步先求AI的长度，观察得△ABC和△IBA有公共角∠B，先计算BI的长度，验证两边对应成比例，用相似三角形判定定理2证明两三角形相似，即可求出AI；第二步，由全等等腰三角形的底角相等可得AC//FG，进而证得△IQG∽△IAC，结合相似比即可求出QI的长度。
【解析】
解：
∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，BC=1，
∴BC=CE=EG=GI=1，AB=AC=2，
∴$BI=BC+CE+EG+GI=4$，$IC=CE+EG+GI=3$。
在△ABC和△IBA中：
$\frac{AB}{BI}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}$，
又
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△IBA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{IA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{2}{IA}=\frac{1}{2}$，
解得$IA=4$。
∵△ABC、△FEG是全等的等腰三角形，
∴∠ACB=∠FGE，
∴AC//FG（同位角相等，两直线平行），
∴△IQG∽△IAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}$，
将$GI=1$，$CI=3$，$AI=4$代入得：
$\frac{QI}{4}=\frac{1}{3}$，
解得$QI=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定和性质的应用，解题的关键是找准公共角和相似三角形的对应边，先求出AI的长度，再借助平行线得到新的相似三角形求解线段长，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O. 已知∠1=∠2，求证：△BOC∽△AOD. 
答案
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB，
∴ △DOC ∽ △AOB，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$，
变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又∵ ∠BOC = ∠AOD，
∴ △BOC ∽ △AOD。
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB，
∴ △DOC ∽ △AOB，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$，
变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又∵ ∠BOC = ∠AOD，
∴ △BOC ∽ △AOD。
解析
【分析】
要证明△BOC∽△AOD，可优先使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。首先结合已知的∠1=∠2，以及对顶角∠DOC=∠AOB，先证明△DOC∽△AOB，得到对应边的比例关系，再将比例式变形得到△BOC和△AOD的对应边成比例，最后结合两组三角形的夹角是相等的对顶角∠BOC和∠AOD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB（对顶角相等），
∴ △DOC ∽ △AOB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$（相似三角形对应边成比例），
根据比例的基本性质变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又
∵ ∠BOC = ∠AOD（对顶角相等），
∴ △BOC ∽ △AOD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB，
∴ △DOC ∽ △AOB，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$，
变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又
∵ ∠BOC = ∠AOD，
∴ △BOC ∽ △AOD。
【知识点】
相似三角形判定，对顶角相等，比例性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题目，解题核心是通过已知条件先证明中间三角形相似，获取边的比例关系，再结合对顶角相等证明目标三角形相似，要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理，以及比例式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
要证明△BOC∽△AOD，可优先使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。首先结合已知的∠1=∠2，以及对顶角∠DOC=∠AOB，先证明△DOC∽△AOB，得到对应边的比例关系，再将比例式变形得到△BOC和△AOD的对应边成比例，最后结合两组三角形的夹角是相等的对顶角∠BOC和∠AOD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB（对顶角相等），
∴ △DOC ∽ △AOB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$（相似三角形对应边成比例），
根据比例的基本性质变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又
∵ ∠BOC = ∠AOD（对顶角相等），
∴ △BOC ∽ △AOD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，∠DOC = ∠AOB，
∴ △DOC ∽ △AOB，
∴ $\frac{OD}{OA} = \frac{OC}{OB}$，
变形可得 $\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD}$。
又
∵ ∠BOC = ∠AOD，
∴ △BOC ∽ △AOD。
【知识点】
相似三角形判定，对顶角相等，比例性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题目，解题核心是通过已知条件先证明中间三角形相似，获取边的比例关系，再结合对顶角相等证明目标三角形相似，要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理，以及比例式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,E是△ABC内任意一点,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF,试探究AF与BE的数量关系,并说明理由.
答案
12.$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
理由:$\because △ CEF$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ECF=45°,\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ BCA=45°,\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA,\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$,
$\therefore ∠ ACF=∠ BCE,\therefore △ CAF ∽ △ CBE,\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
理由:$\because △ CEF$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ECF=45°,\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ BCA=45°,\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore ∠ ECF=∠ BCA,\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$,
$\therefore ∠ ACF=∠ BCE,\therefore △ CAF ∽ △ CBE,\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要探究AF与BE的数量关系，可通过证明两条线段所在三角形相似推导结果：首先结合等腰直角三角形的性质，可得到两组对应边的比值相等，且两个等腰直角三角形的底角均为45°；再通过角的和差关系推导得到两个三角形的夹角相等；最后利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△CAF∽△CBE，根据相似三角形对应边成比例即可得到AF和BE的数量关系。
【解析】
解：$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，理由如下：
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ECF=∠BCA，$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
又
∵∠BCE=∠BCA - ∠ACE，∠ACF=∠ECF - ∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题关键是利用等腰直角三角形的边角特性构造出满足相似判定条件的三角形，熟练掌握角度和比例关系的转化方法，可快速解决此类线段数量关系探究问题。
【难度系数】
0.7
要探究AF与BE的数量关系，可通过证明两条线段所在三角形相似推导结果：首先结合等腰直角三角形的性质，可得到两组对应边的比值相等，且两个等腰直角三角形的底角均为45°；再通过角的和差关系推导得到两个三角形的夹角相等；最后利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△CAF∽△CBE，根据相似三角形对应边成比例即可得到AF和BE的数量关系。
【解析】
解：$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，理由如下：
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ECF=∠BCA，$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
又
∵∠BCE=∠BCA - ∠ACE，∠ACF=∠ECF - ∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{BE}=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{AF}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题关键是利用等腰直角三角形的边角特性构造出满足相似判定条件的三角形，熟练掌握角度和比例关系的转化方法，可快速解决此类线段数量关系探究问题。
【难度系数】
0.7
13. [2024·宿州期末]如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E,F$在边$BC$上,点$Q$在边$AB$上,且$CF=BE$,$AE^2=AQ· AB$.
求证:(1)$∠ CAE=∠ BAF$；
(2)$CF· FQ=AF· BQ$.
求证:(1)$∠ CAE=∠ BAF$；
(2)$CF· FQ=AF· BQ$.
答案
13. 证明:(1)略
(2)$\because △ ACE ≌ △ ABF,\therefore AE=AF,∠ CAE=∠ BAF$.
$\because AE^2=AQ · AB,AC=AB,\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$,
$\therefore △ ACE ∽ △ AFQ,\therefore ∠ AEC=∠ AQF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ BQF$.
$\because AE=AF,\therefore ∠ AEF=∠ AFE,\therefore ∠ BQF=∠ AFE$.
$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ CAF ∽ △ BFQ,\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$,
即$CF · FQ=AF · BQ$
(2)$\because △ ACE ≌ △ ABF,\therefore AE=AF,∠ CAE=∠ BAF$.
$\because AE^2=AQ · AB,AC=AB,\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$,
$\therefore △ ACE ∽ △ AFQ,\therefore ∠ AEC=∠ AQF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ BQF$.
$\because AE=AF,\therefore ∠ AEF=∠ AFE,\therefore ∠ BQF=∠ AFE$.
$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ CAF ∽ △ BFQ,\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$,
即$CF · FQ=AF · BQ$
解析
【分析】
(1) 要证∠CAE=∠BAF，先结合等腰三角形性质得∠C=∠B，再由CF=BE推导得CE=BF，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等对应角相等即可得证。
(2) 先由(1)的全等结论得AE=AF、∠CAE=∠BAF，结合已知AE²=AQ·AB和AB=AC做等线段代换，得到成比例的对应边，结合夹角相等证明三角形相似，推导角相等后，再结合等腰三角形性质和公共底角证明△CAF∽△BFQ，最后将相似的比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵AB=AC，
∴∠C=∠B。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF。
在$△ ACE$和$△ ABF$中：
$\{\begin{array}{l} AC=AB\\ ∠C=∠B\\ CE=BF\end{array} $
∴$△ ACE≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠CAE=∠BAF$。
(2)
∵$△ ACE ≌ △ ABF$，
∴$AE=AF$，$∠CAE=∠BAF$。
∵$AE^2=AQ · AB$，$AC=AB$，
∴$AE·AF=AQ·AC$，即$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
又
∵$∠CAE=∠BAF=∠FAQ$，
∴$△ ACE ∽ △ AFQ$，
∴$∠AEC=∠AQF$，
∴$180°-∠AEC=180°-∠AQF$，即$∠AEF=∠BQF$。
∵$AE=AF$，
∴$∠AEF=∠AFE$，
∴$∠BQF=∠AFE$。
∵$∠B=∠C$，
∴$△ CAF ∽ △ BFQ$，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF · FQ=AF · BQ$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，可得$∠CAE=∠BAF$；
(2) 证明见上述解析，可得$CF · FQ=AF · BQ$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等和相似的综合证明题，解题核心是利用已知边、角关系构造全等和相似的判定条件，要熟练掌握等积式和比例式的互相转化，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠CAE=∠BAF，先结合等腰三角形性质得∠C=∠B，再由CF=BE推导得CE=BF，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等对应角相等即可得证。
(2) 先由(1)的全等结论得AE=AF、∠CAE=∠BAF，结合已知AE²=AQ·AB和AB=AC做等线段代换，得到成比例的对应边，结合夹角相等证明三角形相似，推导角相等后，再结合等腰三角形性质和公共底角证明△CAF∽△BFQ，最后将相似的比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵AB=AC，
∴∠C=∠B。
∵CF=BE，
∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF。
在$△ ACE$和$△ ABF$中：
$\{\begin{array}{l} AC=AB\\ ∠C=∠B\\ CE=BF\end{array} $
∴$△ ACE≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠CAE=∠BAF$。
(2)
∵$△ ACE ≌ △ ABF$，
∴$AE=AF$，$∠CAE=∠BAF$。
∵$AE^2=AQ · AB$，$AC=AB$，
∴$AE·AF=AQ·AC$，即$\frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$，
又
∵$∠CAE=∠BAF=∠FAQ$，
∴$△ ACE ∽ △ AFQ$，
∴$∠AEC=∠AQF$，
∴$180°-∠AEC=180°-∠AQF$，即$∠AEF=∠BQF$。
∵$AE=AF$，
∴$∠AEF=∠AFE$，
∴$∠BQF=∠AFE$。
∵$∠B=∠C$，
∴$△ CAF ∽ △ BFQ$，
∴$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF · FQ=AF · BQ$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，可得$∠CAE=∠BAF$；
(2) 证明见上述解析，可得$CF · FQ=AF · BQ$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等和相似的综合证明题，解题核心是利用已知边、角关系构造全等和相似的判定条件，要熟练掌握等积式和比例式的互相转化，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
