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1. [教材P93练习第1题改编]下列选项中与△ABC相似的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△ABC相似，首先先分析△ABC的特征：它是等腰三角形，AB=AC=6，已知底角∠B=75°，先根据三角形内角和定理算出顶角∠A的度数，再结合相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐一核对每个选项的三角形的边长比例和夹角是否符合判定条件即可。
【解析】
解：在△ABC中，
∵AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=75°，
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠A=180°-75°×2=30°。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分析各选项：
选项A：等腰三角形两边为5，夹角为75°，夹角与△ABC的顶角30°不相等，不满足相似条件，排除；
选项B：等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC的内角度数不对应，排除；
选项C：等腰三角形两边为5，夹角为30°，可得$\frac{AB}{5}=\frac{AC}{5}=\frac{6}{5}$，且两边的夹角均为30°，满足两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，符合要求；
选项D：等腰三角形两边为5，夹角为40°，夹角与△ABC的30°不相等，不满足相似条件，排除。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先求出已知三角形的内角度数，再结合相似三角形的判定条件逐一排查选项，易错点是混淆等腰三角形的顶角和底角，误选夹角为75°的A选项。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形与△ABC相似，首先先分析△ABC的特征：它是等腰三角形，AB=AC=6，已知底角∠B=75°，先根据三角形内角和定理算出顶角∠A的度数，再结合相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），逐一核对每个选项的三角形的边长比例和夹角是否符合判定条件即可。
【解析】
解：在△ABC中，
∵AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=75°，
根据三角形内角和为180°，可得顶角∠A=180°-75°×2=30°。
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分析各选项：
选项A：等腰三角形两边为5，夹角为75°，夹角与△ABC的顶角30°不相等，不满足相似条件，排除；
选项B：等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC的内角度数不对应，排除；
选项C：等腰三角形两边为5，夹角为30°，可得$\frac{AB}{5}=\frac{AC}{5}=\frac{6}{5}$，且两边的夹角均为30°，满足两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，符合要求；
选项D：等腰三角形两边为5，夹角为40°，夹角与△ABC的30°不相等，不满足相似条件，排除。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先求出已知三角形的内角度数，再结合相似三角形的判定条件逐一排查选项，易错点是混淆等腰三角形的顶角和底角，误选夹角为75°的A选项。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点P在△ABC的边AC上,下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（
A.∠ABP=∠C
B.∠APB=∠ABC
C.AP:AB=AB:AC
D.AB:BP=AC:CB
D
）A.∠ABP=∠C
B.∠APB=∠ABC
C.AP:AB=AB:AC
D.AB:BP=AC:CB
答案
2.D
解析
【分析】
要判定△ABP∽△ACB，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角对应相等的条件，结合相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等，要么找到公共角的两组夹边对应成比例，即可判定相似。我们只需逐一分析每个选项是否满足上述判定条件，就能选出不能判定相似的选项。
【解析】
已知△ABP和△ACB有公共角∠A=∠A：
1. 对选项A：若∠ABP=∠C，此时有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
2. 对选项B：若∠APB=∠ABC，此时有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
3. 对选项C：若AP:AB=AB:AC，即公共角∠A的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
4. 对选项D：若AB:BP=AC:CB，该比例对应的两组边的夹角不是公共角∠A，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABP∽△ACB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质、成比例线段的应用
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题时先确定两个三角形的公共角可大幅简化分析过程，需要特别注意的是，运用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，成比例的两边所夹的角必须是相等的对应角，避免因边和角不对应导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判定△ABP∽△ACB，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，已经满足一组角对应相等的条件，结合相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等，要么找到公共角的两组夹边对应成比例，即可判定相似。我们只需逐一分析每个选项是否满足上述判定条件，就能选出不能判定相似的选项。
【解析】
已知△ABP和△ACB有公共角∠A=∠A：
1. 对选项A：若∠ABP=∠C，此时有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
2. 对选项B：若∠APB=∠ABC，此时有两组角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
3. 对选项C：若AP:AB=AB:AC，即公共角∠A的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABP∽△ACB，不符合题意；
4. 对选项D：若AB:BP=AC:CB，该比例对应的两组边的夹角不是公共角∠A，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABP∽△ACB，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质、成比例线段的应用
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题时先确定两个三角形的公共角可大幅简化分析过程，需要特别注意的是，运用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，成比例的两边所夹的角必须是相等的对应角，避免因边和角不对应导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB · AE = AC · AD，则△ADE∽
△ABC
，∠D=∠B
。答案
3.△ABC ∠B
解析
【分析】
解题首先从已知的边的乘积关系式入手，第一步将乘积式转化为比例式，得到两组对应边的比值相等；第二步观察两组边的夹角，图中∠DAE与∠BAC是对顶角，二者相等，刚好满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，即可确定相似的三角形；最后根据相似三角形对应角相等，就能得到∠D的对应角。
【解析】
解：已知$AB · AE = AC · AD$，根据比例的基本性质，可变形为：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又
∵$∠ DAE$和$∠ BAC$是对顶角，
∴$∠ DAE = ∠ BAC$
根据三角形相似的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：
$△ ADE ∽ △ ABC$
根据相似三角形的对应角相等，可得$∠ D = ∠ B$。
【答案】
$△ ABC$；$∠ B$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握乘积式转比例式的方法，准确找到对应边和对应夹角，结合判定定理判断相似后利用性质得到对应角的关系。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知的边的乘积关系式入手，第一步将乘积式转化为比例式，得到两组对应边的比值相等；第二步观察两组边的夹角，图中∠DAE与∠BAC是对顶角，二者相等，刚好满足“两边对应成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，即可确定相似的三角形；最后根据相似三角形对应角相等，就能得到∠D的对应角。
【解析】
解：已知$AB · AE = AC · AD$，根据比例的基本性质，可变形为：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又
∵$∠ DAE$和$∠ BAC$是对顶角，
∴$∠ DAE = ∠ BAC$
根据三角形相似的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：
$△ ADE ∽ △ ABC$
根据相似三角形的对应角相等，可得$∠ D = ∠ B$。
【答案】
$△ ABC$；$∠ B$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是熟练掌握乘积式转比例式的方法，准确找到对应边和对应夹角，结合判定定理判断相似后利用性质得到对应角的关系。
【难度系数】
0.8
4. 如图，BD平分∠ABC，AB=4，BC=6，当BD=
2√6
时，△ABD∽△DBC.答案
4.2√6
解析
【分析】
首先由BD平分∠ABC可得∠ABD=∠DBC，已有一组对应角相等，要使△ABD∽△DBC，根据相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），只需夹这组等角的两组边对应成比例，即$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，代入已知边长即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC。
要使△ABD∽△DBC，需夹∠ABD和∠DBC的两边对应成比例，即：
$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$
∴$BD^2=AB· BC$
将AB=4，BC=6代入得：
$BD^2=4×6=24$
∵BD为线段长度，取正值，
∴$BD=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
角平分线定义，相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题目，解题的突破口是结合角平分线得到相等的角，再根据相似判定条件列出比例式计算，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先由BD平分∠ABC可得∠ABD=∠DBC，已有一组对应角相等，要使△ABD∽△DBC，根据相似三角形的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），只需夹这组等角的两组边对应成比例，即$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，代入已知边长即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC。
要使△ABD∽△DBC，需夹∠ABD和∠DBC的两边对应成比例，即：
$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$
∴$BD^2=AB· BC$
将AB=4，BC=6代入得：
$BD^2=4×6=24$
∵BD为线段长度，取正值，
∴$BD=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
角平分线定义，相似三角形的判定，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题目，解题的突破口是结合角平分线得到相等的角，再根据相似判定条件列出比例式计算，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=6$，$E$是$AD$的中点. 若在$AB$上取一点$F$，当$BF=$
1.8
时，$△ CBF ∽ △ CDE$. 答案
5.1.8
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质，可得对角相等、对边相等，即∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6；已知E是AD中点，可先求出DE的长度。题目给出△CBF∽△CDE，根据相似三角形判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），已经有一组对应角∠B=∠D相等，只需让夹这组角的两组对应边成比例即可列出算式求解BF的长度，相似符号已给出对应顶点顺序，无需分类讨论对应边。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，
∴$DE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} ×6 = 3$，
要使△CBF∽△CDE，且已知∠B=∠D，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，需满足：
$\frac{CB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
代入数值：$\frac{6}{10} = \frac{BF}{3}$，
解得：$BF = \frac{6×3}{10} = 1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定定理2
【点评】
本题是相似三角形判定和平行四边形性质的综合应用题，解题核心是根据相似符号明确对应边，结合判定定理列出比例式计算，掌握基础性质和判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的性质，可得对角相等、对边相等，即∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6；已知E是AD中点，可先求出DE的长度。题目给出△CBF∽△CDE，根据相似三角形判定定理2（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），已经有一组对应角∠B=∠D相等，只需让夹这组角的两组对应边成比例即可列出算式求解BF的长度，相似符号已给出对应顶点顺序，无需分类讨论对应边。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，
∴$DE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} ×6 = 3$，
要使△CBF∽△CDE，且已知∠B=∠D，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，需满足：
$\frac{CB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
代入数值：$\frac{6}{10} = \frac{BF}{3}$，
解得：$BF = \frac{6×3}{10} = 1.8$。
【答案】
1.8
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定定理2
【点评】
本题是相似三角形判定和平行四边形性质的综合应用题，解题核心是根据相似符号明确对应边，结合判定定理列出比例式计算，掌握基础性质和判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
变式训练
对应边确定→对应边不确定
如第5题图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=6$，E是AD的中点.若在射线BA上取一点F，当$BF=$
对应边确定→对应边不确定
如第5题图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=6$，E是AD的中点.若在射线BA上取一点F，当$BF=$
1.8或20
时，$△ CBF$与$△ CDE$相似.答案
【变式训练】1.8或20
解析
【分析】
本题是平行四边形背景下的相似三角形求解问题，解题思路如下：①先利用平行四边形的性质，得到两个三角形的一组相等夹角∠B=∠D，同时算出已知边CD、BC、DE的长度；②由于题目未明确两个相似三角形的对应边，结合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，夹角的两组夹边存在两种对应关系，因此需要分类讨论；③分别根据两种对应关系列出比例式求解，验证结果满足F在射线BA上的条件即可得到答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，AD=6，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=3$，
∵△CBF与△CDE相似，且∠B=∠D，分两种情况讨论：
1. 当$\frac{BC}{CD}=\frac{BF}{DE}$时，
代入数值得$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，解得$BF=1.8$；
2. 当$\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{CD}$时，
代入数值得$\frac{6}{3}=\frac{BF}{10}$，解得$BF=20$。
两种情况均满足F在射线BA上的要求，故BF的长度为1.8或20。
【答案】
1.8或20
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应边的不确定性，容易漏解，解题时要注意结合题目中“射线BA”的取值范围，对求解结果进行验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题是平行四边形背景下的相似三角形求解问题，解题思路如下：①先利用平行四边形的性质，得到两个三角形的一组相等夹角∠B=∠D，同时算出已知边CD、BC、DE的长度；②由于题目未明确两个相似三角形的对应边，结合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，夹角的两组夹边存在两种对应关系，因此需要分类讨论；③分别根据两种对应关系列出比例式求解，验证结果满足F在射线BA上的条件即可得到答案。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，AD=6，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=3$，
∵△CBF与△CDE相似，且∠B=∠D，分两种情况讨论：
1. 当$\frac{BC}{CD}=\frac{BF}{DE}$时，
代入数值得$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，解得$BF=1.8$；
2. 当$\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{CD}$时，
代入数值得$\frac{6}{3}=\frac{BF}{10}$，解得$BF=20$。
两种情况均满足F在射线BA上的要求，故BF的长度为1.8或20。
【答案】
1.8或20
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应边的不确定性，容易漏解，解题时要注意结合题目中“射线BA”的取值范围，对求解结果进行验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
6.[新课标—情境题]一把雨伞的截面图如图所示，伞骨$AB=AC$，支撑杆$OE=OF=40\ \mathrm{cm}$，当点$O$沿$AD$上下滑动时，雨伞开闭。当$AB=3AE$，$AD=3AO$时，$B$，$D$两点间的距离为
120
$\mathrm{cm}$.答案
6.120
解析
【分析】
首先梳理题目给出的线段比例关系：由$AB=3AE$可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，由$AD=3AO$可得$\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，同时$△ AEO$和$△ ABD$有公共角$∠ A$，符合相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件。判定两个三角形相似后，借助相似三角形对应边成比例的性质，即可求出$BD$的长度。
【解析】
$\because AB=3AE$，$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\because AD=3AO$，$\therefore \frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ EAO=∠ BAD$（公共角），
$\therefore △ AEO ∽ △ ABD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{OE}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$OE=40\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{40}{BD}=\frac{1}{3}$，
解得$BD=40×3=120\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$120$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查相似三角形的应用，解题核心是准确找到三角形的边比例关系和公共角判定相似，再利用相似性质求解，是几何知识在生活中应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目给出的线段比例关系：由$AB=3AE$可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，由$AD=3AO$可得$\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，同时$△ AEO$和$△ ABD$有公共角$∠ A$，符合相似三角形“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件。判定两个三角形相似后，借助相似三角形对应边成比例的性质，即可求出$BD$的长度。
【解析】
$\because AB=3AE$，$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\because AD=3AO$，$\therefore \frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，
又$\because ∠ EAO=∠ BAD$（公共角），
$\therefore △ AEO ∽ △ ABD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{OE}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$OE=40\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{40}{BD}=\frac{1}{3}$，
解得$BD=40×3=120\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$120$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查相似三角形的应用，解题核心是准确找到三角形的边比例关系和公共角判定相似，再利用相似性质求解，是几何知识在生活中应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7.[2024·六安金安区月考]如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,且$∠ BCE + ∠ BDE=180°$.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(2)连接$BE$,$CD$,求证:$△ ADC ∽ △ AEB$.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(2)连接$BE$,$CD$,求证:$△ ADC ∽ △ AEB$.
答案
证明：(1)
∵ ∠BDE + ∠ADE = 180°，
∠BCE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠ADE = ∠ACB。
又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADE ∽ △ACB。
(2)
由(1)知△ADE ∽ △ACB，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
变形得 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADC ∽ △AEB。
∵ ∠BDE + ∠ADE = 180°，
∠BCE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠ADE = ∠ACB。
又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADE ∽ △ACB。
(2)
由(1)知△ADE ∽ △ACB，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
变形得 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADC ∽ △AEB。
解析
【分析】
(1) 要证△ADE∽△ACB，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先由邻补角的性质可知∠BDE与∠ADE的和为180°，结合已知∠BCE+∠BDE=180°，根据同角的补角相等可推出∠ADE=∠ACB，再加上两个三角形共有的公共角∠A，即可满足相似判定的条件。
(2) 要证△ADC∽△AEB，可使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。由第(1)问的相似结论可得到两组对应边的比例关系，对比例式变形后得到△ADC和△AEB的两组对应边成比例，再结合公共角∠A，即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
根据邻补角的定义可得$∠ BDE + ∠ ADE = 180°$，
已知$∠ BCE + ∠ BDE = 180°$，
根据同角的补角相等，可得$∠ ADE = ∠ ACB$。
又$\because ∠ A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ACB$。
(2) 证明：
由(1)的相似结论，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
根据比例的基本性质交叉变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠ A$是$△ ADC$和$△ AEB$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADC ∽ △ AEB$。
【答案】
证明：(1)
∵ ∠BDE + ∠ADE = 180°，
∠BCE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠ADE = ∠ACB。
又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADE ∽ △ACB。
(2)
由(1)知△ADE ∽ △ACB，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
变形得 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADC ∽ △AEB。
【知识点】
相似三角形判定，补角的性质，比例的性质
【点评】
本题属于三角形相似判定的基础应用题，解题核心是灵活运用角的等量关系和公共角的隐含条件，第二问需要借助前一问的结论推导边的比例关系，能很好地锻炼几何逻辑推导能力，解题时注意不要遗漏公共角这个常用条件。
【难度系数】
0.8
(1) 要证△ADE∽△ACB，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先由邻补角的性质可知∠BDE与∠ADE的和为180°，结合已知∠BCE+∠BDE=180°，根据同角的补角相等可推出∠ADE=∠ACB，再加上两个三角形共有的公共角∠A，即可满足相似判定的条件。
(2) 要证△ADC∽△AEB，可使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理。由第(1)问的相似结论可得到两组对应边的比例关系，对比例式变形后得到△ADC和△AEB的两组对应边成比例，再结合公共角∠A，即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
根据邻补角的定义可得$∠ BDE + ∠ ADE = 180°$，
已知$∠ BCE + ∠ BDE = 180°$，
根据同角的补角相等，可得$∠ ADE = ∠ ACB$。
又$\because ∠ A$是$△ ADE$和$△ ACB$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ACB$。
(2) 证明：
由(1)的相似结论，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
根据比例的基本性质交叉变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠ A$是$△ ADC$和$△ AEB$的公共角，即$∠ A = ∠ A$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADC ∽ △ AEB$。
【答案】
证明：(1)
∵ ∠BDE + ∠ADE = 180°，
∠BCE + ∠BDE = 180°，
∴ ∠ADE = ∠ACB。
又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADE ∽ △ACB。
(2)
由(1)知△ADE ∽ △ACB，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
变形得 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ADC ∽ △AEB。
【知识点】
相似三角形判定，补角的性质，比例的性质
【点评】
本题属于三角形相似判定的基础应用题，解题核心是灵活运用角的等量关系和公共角的隐含条件，第二问需要借助前一问的结论推导边的比例关系，能很好地锻炼几何逻辑推导能力，解题时注意不要遗漏公共角这个常用条件。
【难度系数】
0.8
