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1. 如图，已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为1：2，则下列图形中，满足上述条件的△DEF是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要解决本题，需结合相似比的定义和相似三角形判定定理3思考：首先，相似比为1:2表示△ABC与△DEF的对应边之比为1:2，即△DEF的各边长是△ABC对应边长的2倍；其次，根据相似三角形判定定理3，三边对应成比例的两个三角形相似，因此只需先确定△ABC的三边长，再逐一验证各选项中△DEF的三边长是否为△ABC的2倍，满足该条件的即为正确选项。
【解析】
1. 首先根据题中△ABC的图形，计算出其三边的长度，明确其三边的比例关系；
2. 结合相似比1:2的要求，可知符合条件的△DEF的三边长应为△ABC对应边长的2倍，且三边比例与△ABC完全一致；
3. 逐一排查选项：
A选项中△DEF的三边长度与△ABC的比不符合2:1，排除；
B选项中△DEF的三边比例与△ABC不匹配，不满足三边成比例的相似条件，排除；
C选项中△DEF的边长比例与△ABC不对应，不符合要求，排除；
D选项中△DEF的三边长恰好为△ABC对应边长的2倍，三边对应成比例，符合相似比为1:2的相似要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似比的定义
2. 相似三角形判定定理3
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与相似比的应用，解题关键是准确把握相似比的对应关系，通过计算边长比例即可快速判断，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合相似比的定义和相似三角形判定定理3思考：首先，相似比为1:2表示△ABC与△DEF的对应边之比为1:2，即△DEF的各边长是△ABC对应边长的2倍；其次，根据相似三角形判定定理3，三边对应成比例的两个三角形相似，因此只需先确定△ABC的三边长，再逐一验证各选项中△DEF的三边长是否为△ABC的2倍，满足该条件的即为正确选项。
【解析】
1. 首先根据题中△ABC的图形，计算出其三边的长度，明确其三边的比例关系；
2. 结合相似比1:2的要求，可知符合条件的△DEF的三边长应为△ABC对应边长的2倍，且三边比例与△ABC完全一致；
3. 逐一排查选项：
A选项中△DEF的三边长度与△ABC的比不符合2:1，排除；
B选项中△DEF的三边比例与△ABC不匹配，不满足三边成比例的相似条件，排除；
C选项中△DEF的边长比例与△ABC不对应，不符合要求，排除；
D选项中△DEF的三边长恰好为△ABC对应边长的2倍，三边对应成比例，符合相似比为1:2的相似要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似比的定义
2. 相似三角形判定定理3
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定与相似比的应用，解题关键是准确把握相似比的对应关系，通过计算边长比例即可快速判断，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
2. [教材P97练习第2题改编]已知$△ ABC$的三边长分别为7.5,9,10.5,$△ DEF$的一边长为5.当$△ DEF$的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似（
A.4,5
B.5,6
C.6,7
D.7,8
C
）A.4,5
B.5,6
C.6,7
D.7,8
答案
2.C
解析
【分析】
本题给出两个三角形的边的相关条件，需判定三角形相似，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先先化简△ABC的三边之比，得到最简整数比；由于△DEF中边长为5的边未明确对应△ABC的哪条边，因此需要分三种情况讨论，分别计算另外两边的长度，再对照选项匹配答案即可。
【解析】
第一步：先化简△ABC的三边之比：
$7.5:9:10.5=(7.5÷1.5):(9÷1.5):(10.5÷1.5)=5:6:7$，即△ABC的三边最简整数比为$5:6:7$。
根据相似三角形的判定定理，若两个三角形相似，则三边对应成比例，因此△DEF的三边之比也应为$5:6:7$。
第二步：分情况讨论△DEF中边长为5的边的对应边：
① 若边长为5的边对应△ABC中长为7.5的边，设△DEF另外两边长为$x$、$y$，则：
$\frac{5}{7.5}=\frac{x}{9}=\frac{y}{10.5}$
解得$x=6$，$y=7$，对应选项C。
② 若边长为5的边对应△ABC中长为9的边，设另外两边长为$m$、$n$，则：
$\frac{5}{9}=\frac{m}{7.5}=\frac{n}{10.5}$
解得$m=\frac{25}{6}\approx4.17$，$n=\frac{35}{6}\approx5.83$，无对应选项。
③ 若边长为5的边对应△ABC中长为10.5的边，设另外两边长为$a$、$b$，则：
$\frac{5}{10.5}=\frac{a}{7.5}=\frac{b}{9}$
解得$a=\frac{25}{7}\approx3.57$，$b=\frac{30}{7}\approx4.29$，无对应选项。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三边成比例证相似
2. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形的SSS判定方法，解题时需注意已知边长的对应关系不唯一，要分类讨论避免漏解，先化简已知三角形的三边比可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题给出两个三角形的边的相关条件，需判定三角形相似，优先选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。首先先化简△ABC的三边之比，得到最简整数比；由于△DEF中边长为5的边未明确对应△ABC的哪条边，因此需要分三种情况讨论，分别计算另外两边的长度，再对照选项匹配答案即可。
【解析】
第一步：先化简△ABC的三边之比：
$7.5:9:10.5=(7.5÷1.5):(9÷1.5):(10.5÷1.5)=5:6:7$，即△ABC的三边最简整数比为$5:6:7$。
根据相似三角形的判定定理，若两个三角形相似，则三边对应成比例，因此△DEF的三边之比也应为$5:6:7$。
第二步：分情况讨论△DEF中边长为5的边的对应边：
① 若边长为5的边对应△ABC中长为7.5的边，设△DEF另外两边长为$x$、$y$，则：
$\frac{5}{7.5}=\frac{x}{9}=\frac{y}{10.5}$
解得$x=6$，$y=7$，对应选项C。
② 若边长为5的边对应△ABC中长为9的边，设另外两边长为$m$、$n$，则：
$\frac{5}{9}=\frac{m}{7.5}=\frac{n}{10.5}$
解得$m=\frac{25}{6}\approx4.17$，$n=\frac{35}{6}\approx5.83$，无对应选项。
③ 若边长为5的边对应△ABC中长为10.5的边，设另外两边长为$a$、$b$，则：
$\frac{5}{10.5}=\frac{a}{7.5}=\frac{b}{9}$
解得$a=\frac{25}{7}\approx3.57$，$b=\frac{30}{7}\approx4.29$，无对应选项。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三边成比例证相似
2. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形的SSS判定方法，解题时需注意已知边长的对应关系不唯一，要分类讨论避免漏解，先化简已知三角形的三边比可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.7
变式训练
一般三角形→特殊三角形
已知等腰△ABC 的两边长分别是4和9，等腰△DEF 的腰长为6，则当它的底边长为
一般三角形→特殊三角形
已知等腰△ABC 的两边长分别是4和9，等腰△DEF 的腰长为6，则当它的底边长为
$\frac{8}{3}$
时，△ABC 和△DEF 相似。答案
$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时首先需要先确定等腰△ABC的实际三边长：已知△ABC两边长为4和9，需结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，得到△ABC的腰长为9、底边长为4；再结合两个等腰三角形相似的性质，等腰三角形相似时腰与腰对应、底与底对应，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求出△DEF的底边长。
【解析】
1. 确定等腰△ABC的三边长：
分两种情况讨论：
① 若△ABC的腰长为4，底边长为9，此时$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
② 若△ABC的腰长为9，底边长为4，此时$9+9＞4$，$9+4＞9$，符合三角形三边关系，因此△ABC的三边长为9、9、4。
2. 利用相似三角形性质列方程求解：
设等腰△DEF的底边长为$x$，已知△DEF的腰长为6，且△ABC∽△DEF，等腰三角形相似时腰与腰为对应边、底与底为对应边，因此对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{△ABC的腰长}}{\mathrm{△DEF的腰长}}=\frac{\mathrm{△ABC的底边长}}{\mathrm{△DEF的底边长}}$
代入数值：$\frac{9}{6}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$9x=24$
解得：$x=\frac{8}{3}$
检验：△DEF三边长为6、6、$\frac{8}{3}$，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；相似三角形的性质
【点评】
本题易错点在于忽略先利用三角形三边关系判断△ABC的实际边长，容易误将4作为腰长计算导致结果错误；解题时需结合等腰三角形的特征确定相似三角形的对应边，列比例式求解后还要验证所得边长能否构成三角形，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要先确定等腰△ABC的实际三边长：已知△ABC两边长为4和9，需结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，得到△ABC的腰长为9、底边长为4；再结合两个等腰三角形相似的性质，等腰三角形相似时腰与腰对应、底与底对应，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求出△DEF的底边长。
【解析】
1. 确定等腰△ABC的三边长：
分两种情况讨论：
① 若△ABC的腰长为4，底边长为9，此时$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
② 若△ABC的腰长为9，底边长为4，此时$9+9＞4$，$9+4＞9$，符合三角形三边关系，因此△ABC的三边长为9、9、4。
2. 利用相似三角形性质列方程求解：
设等腰△DEF的底边长为$x$，已知△DEF的腰长为6，且△ABC∽△DEF，等腰三角形相似时腰与腰为对应边、底与底为对应边，因此对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{△ABC的腰长}}{\mathrm{△DEF的腰长}}=\frac{\mathrm{△ABC的底边长}}{\mathrm{△DEF的底边长}}$
代入数值：$\frac{9}{6}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$9x=24$
解得：$x=\frac{8}{3}$
检验：△DEF三边长为6、6、$\frac{8}{3}$，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；相似三角形的性质
【点评】
本题易错点在于忽略先利用三角形三边关系判断△ABC的实际边长，容易误将4作为腰长计算导致结果错误；解题时需结合等腰三角形的特征确定相似三角形的对应边，列比例式求解后还要验证所得边长能否构成三角形，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
3. 如图，某地四个乡镇之间建有公路，已知$AB=14\ \mathrm{km}$，$AC=28\ \mathrm{km}$，$BC=21\ \mathrm{km}$，$BD=42\ \mathrm{km}$，$CD=31.5\ \mathrm{km}$，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.
答案
3. 公路AB与CD平行.理由略.
解析
【分析】
要判断AB与CD是否平行，可通过证明内错角相等推导。观察图形可知∠ABC和∠BCD是直线AB、CD被BC所截形成的内错角，因此只需证明∠ABC=∠BCD即可。要证两角相等，可先验证包含这两个角的△ABC与△BCD的三边对应成比例，利用相似三角形判定定理证明两三角形相似，再通过相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终判定两直线平行。
【解析】
首先计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{AB}{BC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$
$\frac{AC}{BD}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$
$\frac{BC}{CD}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$
可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BD}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ ABC ∽ △ BCD$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABC=∠ BCD$，∠ABC和∠BCD是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$AB// CD$。
【答案】
公路AB与CD平行。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题将相似三角形的判定与性质和平行线的判定结合考查，解题关键是准确计算各边的比例，结合对应判定定理逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD是否平行，可通过证明内错角相等推导。观察图形可知∠ABC和∠BCD是直线AB、CD被BC所截形成的内错角，因此只需证明∠ABC=∠BCD即可。要证两角相等，可先验证包含这两个角的△ABC与△BCD的三边对应成比例，利用相似三角形判定定理证明两三角形相似，再通过相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终判定两直线平行。
【解析】
首先计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{AB}{BC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$
$\frac{AC}{BD}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$
$\frac{BC}{CD}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$
可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BD}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ ABC ∽ △ BCD$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABC=∠ BCD$，∠ABC和∠BCD是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出$AB// CD$。
【答案】
公路AB与CD平行。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题将相似三角形的判定与性质和平行线的判定结合考查，解题关键是准确计算各边的比例，结合对应判定定理逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
4.如图，$△ PQR$在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点上，其中$A,B,C,D$也在小正方形的顶点上，那么下列三角形中，与$△ PQR$相似的是（
A.以$P,Q,A$为顶点的三角形
B.以$P,Q,B$为顶点的三角形
C.以$P,Q,C$为顶点的三角形
D.以$P,Q,D$为顶点的三角形
B
）A.以$P,Q,A$为顶点的三角形
B.以$P,Q,B$为顶点的三角形
C.以$P,Q,C$为顶点的三角形
D.以$P,Q,D$为顶点的三角形
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△PQR相似，可使用相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题思路如下：首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△PQR的三边长，得到其三边的比值；再依次计算四个选项中三角形的三边长，验证哪组边长与△PQR的三边对应成比例，成比例的即为相似的三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△PQR的三边长：
由勾股定理得：
$QR=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$PR=3$，
$PQ=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
因此△PQR的三边长从小到大的比值为$\sqrt{5}:3:2\sqrt{5}$。
2. 验证各选项：
分别计算四个选项中三角形的三边长，可得以P、Q、B为顶点的三角形三边长为$2\sqrt{5}$、$6$、$4\sqrt{5}$，三边比值为$2\sqrt{5}:6:4\sqrt{5}=\sqrt{5}:3:2\sqrt{5}$，与△PQR的三边比值完全相等，故两个三角形相似；其余选项的三角形三边比值均不与△PQR的三边比值相等，不相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判断问题，解题核心是熟练运用勾股定理计算网格内线段的长度，再按顺序验证三边的比例关系，计算时要注意避免数错方格长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形与△PQR相似，可使用相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。解题思路如下：首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△PQR的三边长，得到其三边的比值；再依次计算四个选项中三角形的三边长，验证哪组边长与△PQR的三边对应成比例，成比例的即为相似的三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△PQR的三边长：
由勾股定理得：
$QR=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$PR=3$，
$PQ=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
因此△PQR的三边长从小到大的比值为$\sqrt{5}:3:2\sqrt{5}$。
2. 验证各选项：
分别计算四个选项中三角形的三边长，可得以P、Q、B为顶点的三角形三边长为$2\sqrt{5}$、$6$、$4\sqrt{5}$，三边比值为$2\sqrt{5}:6:4\sqrt{5}=\sqrt{5}:3:2\sqrt{5}$，与△PQR的三边比值完全相等，故两个三角形相似；其余选项的三角形三边比值均不与△PQR的三边比值相等，不相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判断问题，解题核心是熟练运用勾股定理计算网格内线段的长度，再按顺序验证三边的比例关系，计算时要注意避免数错方格长度导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知$\frac{AB}{BD}=\frac{CA}{ED}=\frac{BC}{BE}$。
(1)$∠ ABD$与$∠ CBE$相等吗？为什么？
(2)判断$△ ABD$与$△ CBE$是否相似，并说明理由。
(1)$∠ ABD$与$∠ CBE$相等吗？为什么？
(2)判断$△ ABD$与$△ CBE$是否相似，并说明理由。
答案
5.(1)相等.理由略.
(2)$△ABD$与$△CBE$相似.理由略.
(2)$△ABD$与$△CBE$相似.理由略.
解析
【分析】
解决第(1)问：首先观察已知条件给出了三组边对应成比例，可先通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明$△ ABC ∽ △ DBE$，再根据相似三角形对应角相等得到$∠ ABC=∠ DBE$，两个角同时减去公共角$∠ DBC$，即可推出$∠ ABD$和$∠ CBE$的数量关系。
解决第(2)问：要判断$△ ABD$和$△ CBE$是否相似，结合第(1)问已经得到一组相等的角，只需将已知的边的比例关系变形，得到该组等角的两组夹边对应成比例，即可通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似。
【解析】
(1) $∠ ABD$与$∠ CBE$相等，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{CA}{ED}=\frac{BC}{BE}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ABC=∠ DBE$（相似三角形的对应角相等），
$\therefore ∠ ABC-∠ DBC=∠ DBE-∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
(2) $△ ABD$与$△ CBE$相似，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
$\therefore $交叉变形可得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
又$\because ∠ ABD=∠ CBE$（已证），
$\therefore △ ABD ∽ △ CBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $∠ ABD$与$∠ CBE$相等；
(2) $△ ABD$与$△ CBE$相似。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，需要灵活运用相似三角形的判定定理和性质，从已知的边的比例关系入手，先推导角的等量关系，再进一步证明目标三角形相似，对相似判定的基础应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问：首先观察已知条件给出了三组边对应成比例，可先通过“三边对应成比例的两个三角形相似”证明$△ ABC ∽ △ DBE$，再根据相似三角形对应角相等得到$∠ ABC=∠ DBE$，两个角同时减去公共角$∠ DBC$，即可推出$∠ ABD$和$∠ CBE$的数量关系。
解决第(2)问：要判断$△ ABD$和$△ CBE$是否相似，结合第(1)问已经得到一组相等的角，只需将已知的边的比例关系变形，得到该组等角的两组夹边对应成比例，即可通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似。
【解析】
(1) $∠ ABD$与$∠ CBE$相等，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{CA}{ED}=\frac{BC}{BE}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DBE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ABC=∠ DBE$（相似三角形的对应角相等），
$\therefore ∠ ABC-∠ DBC=∠ DBE-∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
(2) $△ ABD$与$△ CBE$相似，理由如下：
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$，
$\therefore $交叉变形可得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
又$\because ∠ ABD=∠ CBE$（已证），
$\therefore △ ABD ∽ △ CBE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $∠ ABD$与$∠ CBE$相等；
(2) $△ ABD$与$△ CBE$相似。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型基础题，需要灵活运用相似三角形的判定定理和性质，从已知的边的比例关系入手，先推导角的等量关系，再进一步证明目标三角形相似，对相似判定的基础应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
6. [2024·马鞍山雨山区期末]如图，O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A'，B'，C'，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，连接A'B'，B'C'，C'A'，请问：△A'B'C'与△ABC是否相似？证明你的结论.
答案
6.$△A'B'C'∽△ABC$.证明略.
解析
【分析】
要判断△A'B'C'与△ABC是否相似，可通过证明两个三角形三边对应成比例来推导。首先观察已知条件，$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，且OA与OA'、OB与OB'、OC与OC'的夹角均为公共角，可先利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别证明△A'OB'∽△AOB、△B'OC'∽△BOC、△A'OC'∽△AOC，得到△A'B'C'与△ABC三组对应边的比值都为3，最后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $∠ A'OB' = ∠ AOB$（公共角相等），且$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=3$
∴ $△ A'OB' ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=3$
同理可得：
$∠ B'OC' = ∠ BOC$，$\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，故$△ B'OC' ∽ △ BOC$，得$\frac{B'C'}{BC}=3$
$∠ A'OC' = ∠ AOC$，$\frac{OA'}{OA}=\frac{OC'}{OC}=3$，故$△ A'OC' ∽ △ AOC$，得$\frac{A'C'}{AC}=3$
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=3$
∴ $△ A'B'C' ∽ △ ABC$（三边对应成比例的两个三角形相似）
【答案】
$△ A'B'C' ∽ △ ABC$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 公共角性质
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题型，解题核心是先利用“两边成比例且夹角相等”证明三组共顶点的小三角形相似，推导出待证三角形的三边比例关系，再用“三边成比例”判定相似，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，学会结合已知条件选择合适的判定方法。
【难度系数】
0.7
要判断△A'B'C'与△ABC是否相似，可通过证明两个三角形三边对应成比例来推导。首先观察已知条件，$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，且OA与OA'、OB与OB'、OC与OC'的夹角均为公共角，可先利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”分别证明△A'OB'∽△AOB、△B'OC'∽△BOC、△A'OC'∽△AOC，得到△A'B'C'与△ABC三组对应边的比值都为3，最后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ $∠ A'OB' = ∠ AOB$（公共角相等），且$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=3$
∴ $△ A'OB' ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=3$
同理可得：
$∠ B'OC' = ∠ BOC$，$\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=3$，故$△ B'OC' ∽ △ BOC$，得$\frac{B'C'}{BC}=3$
$∠ A'OC' = ∠ AOC$，$\frac{OA'}{OA}=\frac{OC'}{OC}=3$，故$△ A'OC' ∽ △ AOC$，得$\frac{A'C'}{AC}=3$
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=3$
∴ $△ A'B'C' ∽ △ ABC$（三边对应成比例的两个三角形相似）
【答案】
$△ A'B'C' ∽ △ ABC$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 公共角性质
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题型，解题核心是先利用“两边成比例且夹角相等”证明三组共顶点的小三角形相似，推导出待证三角形的三边比例关系，再用“三边成比例”判定相似，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，学会结合已知条件选择合适的判定方法。
【难度系数】
0.7
