无人机的飞行高度$h$随时间$t$的变化关系为$h(t)=-5t^2+30t$. 若无人机在$t_1$和$t_2(t_1≠t_2)$时刻的高度相同，求$t_1+t_2$的值.

根据题意,得
$-5t_1^2+30t_1=-5t_2^2+30t_2.$
$\therefore\ \ \ 5(t_2-t_1)(t_2+t_1-6)=0.$
$\because\ \ \ \ t_1≠t_2,$
$\therefore\ \ \ \ t_1+t_2=6.$

【分析】
解题时首先抓住“t₁和t₂时刻高度相同”这一核心条件，可知两个时刻代入高度表达式的结果相等，据此列出关于t₁、t₂的等式；再对等式移项整理，通过提公因式、运用平方差公式进行因式分解，将式子转化为乘积为0的形式；最后结合t₁≠t₂的已知条件，排除值不为0的因式，即可求出t₁+t₂的值。
【解析】
根据题意，两个时刻高度相同，可得：
$-5t_1^2+30t_1=-5t_2^2+30t_2$
移项整理得：
$5(t_2^2 - t_1^2) - 30(t_2 - t_1) = 0$
利用平方差公式分解$t_2^2-t_1^2=(t_2-t_1)(t_2+t_1)$，再提取公因式$5(t_2-t_1)$得：
$5(t_2-t_1)(t_2+t_1-6)=0$
$\because t_1≠t_2$，$\therefore t_2 - t_1 ≠ 0$
$\therefore t_1 + t_2 - 6 = 0$，即$t_1 + t_2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 平方差公式
3. 代数式求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题型，解题关键是根据题意建立等式，熟练运用因式分解的方法对等式变形，同时要注意利用题目给出的$t_1≠t_2$的限制条件排除无效情况，考查学生对基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 下列因式分解正确的是 （）

A.$x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x+y)$
B.$4x^2+6x^3=2x(2x+3x^2)$
C.$x^2-xy+x=x(x-y)$
D.$(x+2y)^2-(2x-y)^2=(3x+y)(3y-x)$

1. D

【分析】
要判断因式分解是否正确，需从两个维度验证：一是变形前后等式是否成立，可通过展开右侧式子对比左侧，或直接对左侧式子进行因式分解验证；二是因式分解的结果要满足分解彻底（每个因式不能再分解）、没有漏项的要求。解题时逐个分析四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：对左侧式子提取公因式$(x-y)$，得$x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，与右侧$(x-y)(x+y)$不相等，故A错误。
选项B：$4x^2$和$6x^3$的最大公因式是$2x^2$，因式分解得$4x^2+6x^3=2x^2(2+3x)$，选项B的结果未分解彻底，故B错误。
选项C：对左侧式子提取公因式$x$，得$x^2-xy+x=x(x-y+1)$，选项C漏了常数项$1$，故C错误。
选项D：左侧符合平方差公式的形式，利用公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x+2y$，$b=2x-y$，代入得：
原式$=(x+2y+2x-y)[x+2y-(2x-y)]=(3x+y)(3y-x)$，与右侧一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，因式分解的基本要求
【点评】
本题考查因式分解的正误判断，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法的运算规则，同时注意因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，提取公因式时不要漏项。
【难度系数】
0.8

2. 甲、乙两农户各有两块土地(如图),今年,这两农户决定共同投资搞饲养业.为此,他们准备将这4块土地换成一块土地,所换土地的长为$a+b$,为了使所换土地的面积与原来4块土地的总面积相等,则交换之后的土地的宽应是.

2. a+c

【分析】
解题思路如下：第一步先分别计算4块土地的面积，相加得到总面积的代数式；第二步对总面积的代数式进行因式分解，整理成含因式$(a+b)$的乘积形式；第三步根据长方形面积公式“宽=面积÷长”，用总面积除以已知的长$(a+b)$，即可求出交换后土地的宽。
【解析】
首先计算4块土地的总面积：
甲农户的正方形土地面积：$a × a = a^2$，长方形土地面积：$b × c = bc$；
乙农户的两块长方形土地面积分别为：$a × c = ac$，$a × b = ab$；
因此4块地的总面积为：
$S = a^2 + ab + ac + bc$
对总面积因式分解，分组提公因式：
$\begin{aligned}S&=(a^2 + ab) + (ac + bc)\\&=a(a+b) + c(a+b)\\&=(a+b)(a+c)\end{aligned}$
已知交换后的长方形土地长为$(a+b)$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得宽为：
$宽 = S ÷ 长 = (a+b)(a+c) ÷ (a+b) = a+c$
【答案】
$a+c$
【知识点】
长方形面积计算，因式分解，整式运算
【点评】
本题结合生活实际考查代数知识的应用，核心是正确表示总面积并通过因式分解简化计算，能很好地检验学生对提公因式法分解因式的掌握程度和用代数方法解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

3. 分解因式：
(1) $-2x^2 + 2x - \dfrac{1}{2}$；
(2) $(x^2 + 9)^2 - 36x^2$；
(3) $(3x + 2y)^2 - (2x + 3y)^2$；
(4) $a^2(a - b)^2 - b^2(b - a)^2$。

3. (1)$-2(x-\dfrac{1}{2})^2$
(2)$(x-3)^2(x+3)^2$
(3)$5(x+y)(x-y)$
(4)$(a+b)(a-b)^3$

【分析】
因式分解需遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：①提：先观察多项式是否有公因式，首项为负时优先提取负号，再提取其余公因式；②套：提取公因式后，判断剩余式子的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$或完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的，对应套用公式分解；③查：最后检查所有因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
针对各小题的具体思路：(1)先提取公因式$-2$，剩余部分可直接用完全平方公式分解；(2)原式是平方差结构，将$x^2+9$和$6x$分别看作整体套用平方差公式，得到的两个因式还可分别用完全平方公式继续分解；(3)将两个平方项的底数看作整体，直接套用平方差公式化简即可；(4)先利用$(a-b)^2=(b-a)^2$统一公因式，提取公因式后剩余部分用平方差公式继续分解。
【解析】
(1) 先提取公因式$-2$：
$-2x^2 + 2x - \dfrac{1}{2}=-2(x^2 - x + \dfrac{1}{4})$
括号内符合完全平方公式：
$=-2(x - \dfrac{1}{2})^2$
(2) 原式符合平方差公式结构，其中$a=x^2+9$，$b=6x$：
$(x^2 + 9)^2 - 36x^2=(x^2+9+6x)(x^2+9-6x)$
两个因式分别符合完全平方公式：
$=(x+3)^2(x-3)^2$
(3) 原式符合平方差公式结构，其中$a=3x+2y$，$b=2x+3y$：
$(3x + 2y)^2 - (2x + 3y)^2=[(3x+2y)+(2x+3y)][(3x+2y)-(2x+3y)]$
分别化简两个括号内的式子：
$=(5x+5y)(x-y)=5(x+y)(x-y)$
(4) 先利用$(b-a)^2=(a-b)^2$变形，再提取公因式$(a-b)^2$：
$a^2(a - b)^2 - b^2(b - a)^2=a^2(a-b)^2 - b^2(a-b)^2=(a-b)^2(a^2-b^2)$
剩余部分用平方差公式继续分解：
$=(a-b)^2(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)^3$
【答案】
(1)$-2(x-\dfrac{1}{2})^2$
(2)$(x-3)^2(x+3)^2$
(3)$5(x+y)(x-y)$
(4)$(a+b)(a-b)^3$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础综合题型，核心考查因式分解的规范步骤，解题时需注意：提取负号后括号内各项要变号，偶次幂下$(a-b)^n=(b-a)^n$（n为偶数）的变形要熟练，最终要保证每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

4. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 $2a+3ab-4-6b$ 分解因式.
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下解决方法：
原式$=(2a-4)+(3ab-6b)$
$=2(a-2)+3b(a-2)$
$=(a-2)(2+3b)$.
【类比】(1)请用以上方法将 $x^2 -a^2 +x +a$ 分解因式；
【应用】(2)请用以上方法将 $b^2 -a^2 +c^2 -2bc$ 分解因式.

4. (1)原式$=(x^2 -a^2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1).$
(2)原式$=(b^2-2bc+c^2)-a^2$
$=(b-c)^2-a^2$
$=(b-c+a)(b-c-a).$

【分析】
这道题考查分组分解法进行因式分解，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，确保分组后可以先用乘法公式或提公因式法分解，再进一步处理得到最终结果，注意因式分解要到每一个因式都不能再分解为止。
对于(1)：观察式子可知前两项$x^2-a^2$符合平方差公式结构，分解后会出现因式$(x+a)$，和后两项的$x+a$刚好为公因式，因此将前两项分为一组、后两项分为一组，先分解平方差再提公因式即可。
对于(2)：观察式子可知$b^2$、$-2bc$、$c^2$三项符合完全平方差公式结构，分解后得到$(b-c)^2$，和剩余的$-a^2$刚好组成平方差结构，因此将$b^2$、$-2bc$、$c^2$分为一组，$-a^2$单独为一组，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 对原式分组得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 -a^2)+(x+a)\\&=(x+a)(x-a)+(x+a)\\&=(x+a)(x-a+1)\end{aligned}$
(2) 对原式分组得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(b^2-2bc+c^2)-a^2\\&=(b-c)^2-a^2\\&=(b-c+a)(b-c-a)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x+a)(x-a+1)$
(2) $(b-c+a)(b-c-a)$
【知识点】
分组分解法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活运用，关键是掌握合理分组的技巧，分组后要保证可以继续通过提公因式或套用公式分解，最终结果要分解彻底。
【难度系数】
0.7