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5. 计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{2013^2})×(1-\dfrac{1}{2014^2})$
答案
5. $(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{2013^2})×(1-\dfrac{1}{2014^2})$
$=(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})×(1-\dfrac{1}{4})×\dots×(1+\dfrac{1}{2013})(1-\dfrac{1}{2013})(1+\dfrac{1}{2014})(1-\dfrac{1}{2014})$
$=\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{2014}{2013}×\dfrac{2012}{2013}×\dfrac{2015}{2014}×\dfrac{2013}{2014}$
$=\dfrac{2015}{4028}.$
$=(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})×(1-\dfrac{1}{4})×\dots×(1+\dfrac{1}{2013})(1-\dfrac{1}{2013})(1+\dfrac{1}{2014})(1-\dfrac{1}{2014})$
$=\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{2014}{2013}×\dfrac{2012}{2013}×\dfrac{2015}{2014}×\dfrac{2013}{2014}$
$=\dfrac{2015}{4028}.$
解析
【分析】
首先观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个数的平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此第一步可利用平方差公式将每个因式拆成两个数的和乘两个数的差；拆分后将所有的和的项、差的项分别整理计算为分数形式，会发现中间的分数分子和分母可以相互抵消（约分），最终仅剩下首尾的几个项，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{2013^2})×(1-\dfrac{1}{2014^2})\\=&(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})(1-\dfrac{1}{4})×\dots×(1+\dfrac{1}{2013})(1-\dfrac{1}{2013})(1+\dfrac{1}{2014})(1-\dfrac{1}{2014})\\=&\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{2014}{2013}×\dfrac{2012}{2013}×\dfrac{2015}{2014}×\dfrac{2013}{2014}\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{2015}{2014}\\=&\dfrac{2015}{4028}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{2015}{4028}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题是利用因式分解简化计算的典型题目，解题核心是抓住每个因式的结构特点，灵活运用平方差公式拆分，再通过约分大幅降低计算量，避免了逐项计算的繁琐，掌握该类规律后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.6
首先观察算式中每个因式的结构，均为“1减去一个数的平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此第一步可利用平方差公式将每个因式拆成两个数的和乘两个数的差；拆分后将所有的和的项、差的项分别整理计算为分数形式，会发现中间的分数分子和分母可以相互抵消（约分），最终仅剩下首尾的几个项，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{2013^2})×(1-\dfrac{1}{2014^2})\\=&(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})(1-\dfrac{1}{4})×\dots×(1+\dfrac{1}{2013})(1-\dfrac{1}{2013})(1+\dfrac{1}{2014})(1-\dfrac{1}{2014})\\=&\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{2014}{2013}×\dfrac{2012}{2013}×\dfrac{2015}{2014}×\dfrac{2013}{2014}\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{2015}{2014}\\=&\dfrac{2015}{4028}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{2015}{4028}$
【知识点】
平方差公式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题是利用因式分解简化计算的典型题目，解题核心是抓住每个因式的结构特点，灵活运用平方差公式拆分，再通过约分大幅降低计算量，避免了逐项计算的繁琐，掌握该类规律后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.6
6. 阅读材料,解决问题:
【材料1】我们把多项式 $a^2 + 2ab + b^2$ 及 $a^2 - 2ab + b^2$ 叫作完全平方式,如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这一项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.例如:分解因式 $x^2 + 2x - 3$.
原式$=x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x +1 -1 -3 = (x+1)^2 -4 = (x+1+2)(x+1-2) = (x+3)(x-1)$.
【材料2】分解因式 $(x+y)^2 + 2(x+y)+1$.
解:把$x+y$看成一个整体,令$x+y=A$,则
原式$=A^2 +2A +1=(A+1)^2$,再将$A=x+y$重新代入,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.
请你解答下列问题:
(1) 根据材料1,利用配方法分解因式:$x^2 -6x +8$;
(2) 根据材料2,利用“整体思想”分解因式:$(x-y)^2 -4(x-y)+4$;
(3) 当$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 +b^2 +c^2 -4a -6b -4c +17=0$时,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
【材料1】我们把多项式 $a^2 + 2ab + b^2$ 及 $a^2 - 2ab + b^2$ 叫作完全平方式,如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这一项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.例如:分解因式 $x^2 + 2x - 3$.
原式$=x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x +1 -1 -3 = (x+1)^2 -4 = (x+1+2)(x+1-2) = (x+3)(x-1)$.
【材料2】分解因式 $(x+y)^2 + 2(x+y)+1$.
解:把$x+y$看成一个整体,令$x+y=A$,则
原式$=A^2 +2A +1=(A+1)^2$,再将$A=x+y$重新代入,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.
请你解答下列问题:
(1) 根据材料1,利用配方法分解因式:$x^2 -6x +8$;
(2) 根据材料2,利用“整体思想”分解因式:$(x-y)^2 -4(x-y)+4$;
(3) 当$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长,且满足$a^2 +b^2 +c^2 -4a -6b -4c +17=0$时,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
答案
6. (1)$x^2-6x+8$
$=x^2-6x+9-9+8$
$=(x-3)^2-1$
$=(x-3+1)(x-3-1)$
$=(x-2)(x-4).$
(2)设$A=x-y$,
$(x-y)^2-4(x-y)+4$
$=A^2-4A+4$
$=(A-2)^2.$
$\therefore\ \ (x-y)^2-4(x-y)+4=(x-y-2)^2.$
(3)$△ ABC$是等腰三角形. 理由如下:
$a^2+b^2+c^2-4a-6b-4c+17=0,$
$\therefore\ \ \ \ a^2-4a+4+b^2-6b+9+c^2-4c+4=0.$
$\therefore\ \ \ \ (a-2)^2+(b-3)^2+(c-2)^2=0.$
$\therefore\ \ \ \ a-2=0,b-3=0,c-2=0.$
解得$a=2,b=3,c=2.$
$\therefore\ \ \ \ a=b.$
$\therefore\ \ \ \ △ ABC$是等腰三角形.
$=x^2-6x+9-9+8$
$=(x-3)^2-1$
$=(x-3+1)(x-3-1)$
$=(x-2)(x-4).$
(2)设$A=x-y$,
$(x-y)^2-4(x-y)+4$
$=A^2-4A+4$
$=(A-2)^2.$
$\therefore\ \ (x-y)^2-4(x-y)+4=(x-y-2)^2.$
(3)$△ ABC$是等腰三角形. 理由如下:
$a^2+b^2+c^2-4a-6b-4c+17=0,$
$\therefore\ \ \ \ a^2-4a+4+b^2-6b+9+c^2-4c+4=0.$
$\therefore\ \ \ \ (a-2)^2+(b-3)^2+(c-2)^2=0.$
$\therefore\ \ \ \ a-2=0,b-3=0,c-2=0.$
解得$a=2,b=3,c=2.$
$\therefore\ \ \ \ a=b.$
$\therefore\ \ \ \ △ ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 解第(1)题时参照材料1的配方法：先对二次项$x^2$和一次项$-6x$配完全平方，需添加常数项9，为保证式子值不变，加9后再减9，将原式变形为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 解第(2)题时参照材料2的整体思想：观察到$(x-y)$在式中重复出现，将其看作一个整体设为$A$，原式转化为关于$A$的完全平方式，分解后再将$A$换回$x-y$即可。
(3) 解第(3)题时要判断三角形形状，需先求三边长：将等式左边按$a、b、c$分组，分别配方得到三个完全平方的和，再利用平方的非负性求出$a、b、c$的值，最后根据边长关系判断三角形形状。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2-6x+9-9+8\\&=(x-3)^2-1\\&=(x-3+1)(x-3-1)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
(2) 设$A=x-y$，则：
$\begin{aligned}(x-y)^2-4(x-y)+4&=A^2-4A+4\\&=(A-2)^2\end{aligned}$
将$A=x-y$代回，得原式$=(x-y-2)^2$
(3) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 +b^2 +c^2 -4a -6b -4c +17=0$
$\therefore (a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)+(c^2-4c+4)=0$
$\therefore (a-2)^2+(b-3)^2+(c-2)^2=0$
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，$(c-2)^2≥0$
$\therefore a-2=0,b-3=0,c-2=0$
解得$a=2,b=3,c=2$
$\therefore a=c$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形
【答案】
(1) $(x-2)(x-4)$
(2) $(x-y-2)^2$
(3) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
配方法因式分解，整体换元思想，非负数的性质
【点评】
本题以阅读材料的形式考查因式分解的综合运用，需要学生掌握配方法、公式法分解因式的技能，理解整体换元的数学思想，同时能结合非负数的性质求解边长，注重对材料阅读理解能力和方法迁移能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解第(1)题时参照材料1的配方法：先对二次项$x^2$和一次项$-6x$配完全平方，需添加常数项9，为保证式子值不变，加9后再减9，将原式变形为平方差的形式，再用平方差公式分解即可。
(2) 解第(2)题时参照材料2的整体思想：观察到$(x-y)$在式中重复出现，将其看作一个整体设为$A$，原式转化为关于$A$的完全平方式，分解后再将$A$换回$x-y$即可。
(3) 解第(3)题时要判断三角形形状，需先求三边长：将等式左边按$a、b、c$分组，分别配方得到三个完全平方的和，再利用平方的非负性求出$a、b、c$的值，最后根据边长关系判断三角形形状。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2-6x+9-9+8\\&=(x-3)^2-1\\&=(x-3+1)(x-3-1)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
(2) 设$A=x-y$，则：
$\begin{aligned}(x-y)^2-4(x-y)+4&=A^2-4A+4\\&=(A-2)^2\end{aligned}$
将$A=x-y$代回，得原式$=(x-y-2)^2$
(3) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 +b^2 +c^2 -4a -6b -4c +17=0$
$\therefore (a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)+(c^2-4c+4)=0$
$\therefore (a-2)^2+(b-3)^2+(c-2)^2=0$
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，$(c-2)^2≥0$
$\therefore a-2=0,b-3=0,c-2=0$
解得$a=2,b=3,c=2$
$\therefore a=c$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形
【答案】
(1) $(x-2)(x-4)$
(2) $(x-y-2)^2$
(3) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
配方法因式分解，整体换元思想，非负数的性质
【点评】
本题以阅读材料的形式考查因式分解的综合运用，需要学生掌握配方法、公式法分解因式的技能，理解整体换元的数学思想，同时能结合非负数的性质求解边长，注重对材料阅读理解能力和方法迁移能力的考查。
【难度系数】
0.7
