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1. 设个位数字是5的两位数为$10a+5$（$a$为1~9的整数），利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，证明$(10a+5)^2$的结果符合“末两位是25，前面的数是$a(a+1)$”这一规律.
答案
$(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2=100a(a+1)+25.$
显然,结果的末两位是25,前面的数是$a(a+1).$
显然,结果的末两位是25,前面的数是$a(a+1).$
解析
【分析】
要证明该规律，首先需利用给出的完全平方和公式展开$(10a+5)^2$，再对展开后的整式进行化简变形。首先明确完全平方公式里的$m$对应$10a$、$n$对应$5$，展开后合并同类项，将式子拆为含100的项和常数项25两部分。由于100乘任意整数的结果末两位都是0，加上25后末两位自然为25，剩余的高位部分就是$a(a+1)$，即可验证规律成立。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m=10a$，$n=5$代入计算：
$\begin{aligned}(10a+5)^2&=(10a)^2+2×10a×5+5^2\\&=100a^2+100a+25\\&=100a(a+1)+25\end{aligned}$
已知$a$是1~9的整数，因此$a(a+1)$为正整数，$100a(a+1)$是$a(a+1)$的100倍，末两位数字为00，加上25后整个式子的末两位就是25，去掉末两位后剩余的高位部分就是$a(a+1)$，符合题目给出的规律。
【答案】
$(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2=100a(a+1)+25.$
显然,结果的末两位是25,前面的数是$a(a+1).$
【知识点】
完全平方公式、整式化简、整数位数特征
【点评】
本题通过代数推导验证个位为5的两位数的平方速算规律，既考查了完全平方公式的基础应用，也锻炼了代数式变形和逻辑推理能力，能帮助大家理解速算技巧背后的数学原理。
【难度系数】
0.7
要证明该规律，首先需利用给出的完全平方和公式展开$(10a+5)^2$，再对展开后的整式进行化简变形。首先明确完全平方公式里的$m$对应$10a$、$n$对应$5$，展开后合并同类项，将式子拆为含100的项和常数项25两部分。由于100乘任意整数的结果末两位都是0，加上25后末两位自然为25，剩余的高位部分就是$a(a+1)$，即可验证规律成立。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m=10a$，$n=5$代入计算：
$\begin{aligned}(10a+5)^2&=(10a)^2+2×10a×5+5^2\\&=100a^2+100a+25\\&=100a(a+1)+25\end{aligned}$
已知$a$是1~9的整数，因此$a(a+1)$为正整数，$100a(a+1)$是$a(a+1)$的100倍，末两位数字为00，加上25后整个式子的末两位就是25，去掉末两位后剩余的高位部分就是$a(a+1)$，符合题目给出的规律。
【答案】
$(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2=100a(a+1)+25.$
显然,结果的末两位是25,前面的数是$a(a+1).$
【知识点】
完全平方公式、整式化简、整数位数特征
【点评】
本题通过代数推导验证个位为5的两位数的平方速算规律，既考查了完全平方公式的基础应用，也锻炼了代数式变形和逻辑推理能力，能帮助大家理解速算技巧背后的数学原理。
【难度系数】
0.7
2. 观察$105×105=11\ 025,125×125=15\ 625$,对于个位是5的三位数平方,是否也存在类似规律?若存在,用代数形式(设该三位数为$100b+10c+5$,b,c都为0~9的整数)说明理由.
答案
存在类似规律:个位是5的三位数平方后,末两位为25,前面的数是该数前两位数字组成的数$d=10b+c$与$d+1$的乘积.
证明:设三位数为$100b+10c+5$($b,c$都为0~9的整数),则:
$(100b+10c+5)^2=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2=100(10b+c)(10b+c+1)+25.$
前两位数字组成的数为$d=10b+c$,则结果为$100d(d+1)+25$,即末两位为25,前面的数是$d(d+1)$,规律与两位数一致.
证明:设三位数为$100b+10c+5$($b,c$都为0~9的整数),则:
$(100b+10c+5)^2=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2=100(10b+c)(10b+c+1)+25.$
前两位数字组成的数为$d=10b+c$,则结果为$100d(d+1)+25$,即末两位为25,前面的数是$d(d+1)$,规律与两位数一致.
解析
【分析】
首先观察给出的两个个位为5的三位数平方的运算结果，可初步猜想其存在与两位数个位为5时平方类似的规律：末两位固定为25，前半部分与原数去掉个位5后的数相关。解题时先依据题目给出的三位数代数表示，利用完全平方公式将其平方展开，再对展开式进行因式分解、整理变形，分离出固定部分和与原数前两位相关的部分，即可验证规律是否成立。
【解析】
存在类似规律，推导如下：
设个位是5的三位数为$100b+10c+5$（$b,c$都为0~9的整数），将其平方利用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}(100b+10c+5)^2&=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2\\&=100(10b+c)^2+100(10b+c)+25\\&=100(10b+c)(10b+c+1)+25\end{aligned}$
设该三位数前两位数字组成的数为$d=10b+c$，代入上式可得结果为$100d(d+1)+25$。由此可得：个位是5的三位数平方后，末两位为25，前面的数是该数前两位组成的数$d$与$d+1$的乘积，规律与个位是5的两位数平方的规律一致。
【答案】
存在类似规律:个位是5的三位数平方后,末两位为25,前面的数是该数前两位数字组成的数$d=10b+c$与$d+1$的乘积。
证明:设三位数为$100b+10c+5$（$b,c$都为0~9的整数）,则:
$(100b+10c+5)^2=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2=100(10b+c)(10b+c+1)+25$
前两位数字组成的数为$d=10b+c$,则结果为$100d(d+1)+25$,即末两位为25,前面的数是$d(d+1)$,规律与两位数一致。
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要结合特殊示例猜想规律，再通过代数运算严谨验证规律，既考查了整式乘法公式的灵活运用能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，有助于提升数学探究思维。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的两个个位为5的三位数平方的运算结果，可初步猜想其存在与两位数个位为5时平方类似的规律：末两位固定为25，前半部分与原数去掉个位5后的数相关。解题时先依据题目给出的三位数代数表示，利用完全平方公式将其平方展开，再对展开式进行因式分解、整理变形，分离出固定部分和与原数前两位相关的部分，即可验证规律是否成立。
【解析】
存在类似规律，推导如下：
设个位是5的三位数为$100b+10c+5$（$b,c$都为0~9的整数），将其平方利用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}(100b+10c+5)^2&=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2\\&=100(10b+c)^2+100(10b+c)+25\\&=100(10b+c)(10b+c+1)+25\end{aligned}$
设该三位数前两位数字组成的数为$d=10b+c$，代入上式可得结果为$100d(d+1)+25$。由此可得：个位是5的三位数平方后，末两位为25，前面的数是该数前两位组成的数$d$与$d+1$的乘积，规律与个位是5的两位数平方的规律一致。
【答案】
存在类似规律:个位是5的三位数平方后,末两位为25,前面的数是该数前两位数字组成的数$d=10b+c$与$d+1$的乘积。
证明:设三位数为$100b+10c+5$（$b,c$都为0~9的整数）,则:
$(100b+10c+5)^2=(100b+10c)^2+2×(100b+10c)×5+5^2=100(10b+c)(10b+c+1)+25$
前两位数字组成的数为$d=10b+c$,则结果为$100d(d+1)+25$,即末两位为25,前面的数是$d(d+1)$,规律与两位数一致。
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要结合特殊示例猜想规律，再通过代数运算严谨验证规律，既考查了整式乘法公式的灵活运用能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，有助于提升数学探究思维。
【难度系数】
0.7
活动2）利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久,利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式$x^2y - 4y$,将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$.若取$x=15,y=12$,则有$y=12,x+2=17,x-2=13$,其中12,17,13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字,得出新的密码.
3. 已知多项式$x^3 - x$.
(1)当$x=5$时,用上述方法生成的密码是什么?
(2)若生成密码的前两个因式码为2,3,你能求出第三个因式码吗?
4. 已知多项式$4x^2 -9y^2$.
(1)当$x=3,y=1$时,生成的密码是什么?
(2)若密码中有因式码3和9,且$x,y$均为正整数,求$x,y$的值.
人类使用密码的历史悠久,利用因式分解可以生成密码:先将确定的多项式分解因式,再对因式赋值生成正整数或0的因式码,将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式$x^2y - 4y$,将其分解因式为$y(x+2)(x-2)$.若取$x=15,y=12$,则有$y=12,x+2=17,x-2=13$,其中12,17,13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字,得出新的密码.
3. 已知多项式$x^3 - x$.
(1)当$x=5$时,用上述方法生成的密码是什么?
(2)若生成密码的前两个因式码为2,3,你能求出第三个因式码吗?
4. 已知多项式$4x^2 -9y^2$.
(1)当$x=3,y=1$时,生成的密码是什么?
(2)若密码中有因式码3和9,且$x,y$均为正整数,求$x,y$的值.
答案
3. (1)456
(2)第三个因式码为4.
4. (1)生成的密码为39.
(2)$x=3,y=1.$
(2)第三个因式码为4.
4. (1)生成的密码为39.
(2)$x=3,y=1.$
解析
【分析】
解决此类因式分解生成密码的问题，核心思路分三步：第一步先对给定多项式正确因式分解，明确所有因式；第二步根据赋值计算各因式的取值，若已知部分因式码则将已知值和因式对应建立方程；第三步将因式值从小到大排序得到密码，解方程求出未知量即可。
第3题先分解多项式$x^3-x$：先提公因式$x$，再用平方差公式分解为$x(x-1)(x+1)$，三个因式是连续整数$x-1、x、x+1$；第(1)问代入$x=5$计算各因式值排序即可，第(2)问利用三个因式是连续整数的特点直接推导第三个因式码。
第4题分解多项式$4x^2-9y^2$：用平方差公式分解为$(2x-3y)(2x+3y)$；第(1)问代入$x=3,y=1$计算因式值排序得密码，第(2)问将已知因式码对应两个因式的值，列方程组求解正整数$x,y$即可。
【解析】
第3题
先对多项式因式分解：
$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$，三个因式为$x-1、x、x+1$。
(1) 当$x=5$时：
$x-1=5-1=4$，$x=5$，$x+1=5+1=6$，
三个因式码为$4、5、6$，从小到大排列得密码$456$。
(2) 三个因式$x-1、x、x+1$是连续正整数，已知前两个因式码为$2、3$，则第三个连续正整数为$4$，即第三个因式码为$4$。
第4题
先对多项式因式分解：
$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$，两个因式为$2x-3y、2x+3y$，且$2x+3y＞2x-3y$（$x,y$为正整数）。
(1) 当$x=3,y=1$时：
$2x - 3y = 2×3 - 3×1 = 3$，$2x + 3y = 2×3 + 3×1 =9$，
两个因式码为$3、9$，从小到大排列得密码$39$。
(2) 已知密码的两个因式码为$3、9$，对应两个因式的取值，列方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 3 \\2x + 3y =9\end{cases}$
两式相加得$4x=12$，解得$x=3$，
将$x=3$代入$2x-3y=3$，得$6-3y=3$，解得$y=1$，
$x=3、y=1$均为正整数，符合要求。
【答案】
3. (1)$456$；(2)第三个因式码为$4$
4. (1)生成的密码为$39$；(2)$x=3,y=1$
【知识点】
因式分解的应用，平方差公式，解二元一次方程组
【点评】
本题以密码生成为载体考查因式分解的实际应用，将代数知识和趣味场景结合，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式分解因式，能结合题意建立等式求解未知量，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决此类因式分解生成密码的问题，核心思路分三步：第一步先对给定多项式正确因式分解，明确所有因式；第二步根据赋值计算各因式的取值，若已知部分因式码则将已知值和因式对应建立方程；第三步将因式值从小到大排序得到密码，解方程求出未知量即可。
第3题先分解多项式$x^3-x$：先提公因式$x$，再用平方差公式分解为$x(x-1)(x+1)$，三个因式是连续整数$x-1、x、x+1$；第(1)问代入$x=5$计算各因式值排序即可，第(2)问利用三个因式是连续整数的特点直接推导第三个因式码。
第4题分解多项式$4x^2-9y^2$：用平方差公式分解为$(2x-3y)(2x+3y)$；第(1)问代入$x=3,y=1$计算因式值排序得密码，第(2)问将已知因式码对应两个因式的值，列方程组求解正整数$x,y$即可。
【解析】
第3题
先对多项式因式分解：
$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$，三个因式为$x-1、x、x+1$。
(1) 当$x=5$时：
$x-1=5-1=4$，$x=5$，$x+1=5+1=6$，
三个因式码为$4、5、6$，从小到大排列得密码$456$。
(2) 三个因式$x-1、x、x+1$是连续正整数，已知前两个因式码为$2、3$，则第三个连续正整数为$4$，即第三个因式码为$4$。
第4题
先对多项式因式分解：
$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$，两个因式为$2x-3y、2x+3y$，且$2x+3y＞2x-3y$（$x,y$为正整数）。
(1) 当$x=3,y=1$时：
$2x - 3y = 2×3 - 3×1 = 3$，$2x + 3y = 2×3 + 3×1 =9$，
两个因式码为$3、9$，从小到大排列得密码$39$。
(2) 已知密码的两个因式码为$3、9$，对应两个因式的取值，列方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = 3 \\2x + 3y =9\end{cases}$
两式相加得$4x=12$，解得$x=3$，
将$x=3$代入$2x-3y=3$，得$6-3y=3$，解得$y=1$，
$x=3、y=1$均为正整数，符合要求。
【答案】
3. (1)$456$；(2)第三个因式码为$4$
4. (1)生成的密码为$39$；(2)$x=3,y=1$
【知识点】
因式分解的应用，平方差公式，解二元一次方程组
【点评】
本题以密码生成为载体考查因式分解的实际应用，将代数知识和趣味场景结合，需要熟练掌握提公因式法、平方差公式分解因式，能结合题意建立等式求解未知量，侧重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
