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知识点) 因式分解的一般步骤
第一步:提公因式
优先观察多项式是否有
第二步:套用公式
根据多项式项数选择公式. 两项式:尝试
第三步:检查分解彻底性
确保每个因式均为最简整式,无法再
易混辨析
1. 漏提公因式. 如分解$4x^2 -16$时,直接用平方差公式得$(2x-4)(2x+4)$,未先提公因式4,正确的应为$4(x-2)(x+2)$.
2. 公式形式混淆. 如误将$a^2 +b^2$分解为$(a+b)^2$(实际不可分解,除非有中间项$2ab$).
3. 分解不彻底. 如$x^3 -x$仅分解为$x(x^2 -1)$,需继续分解为$x(x-1)(x+1)$.
4. 符号错误. 如分解$-a^2 +b^2$时,应为$b^2 -a^2=(b-a)(b+a)$,而非$(a-b)(a+b)$.
第一步:提公因式
优先观察多项式是否有
公因式
,若有,则先提取.第二步:套用公式
根据多项式项数选择公式. 两项式:尝试
平方差公式
;三项式:尝试完全平方公式
.第三步:检查分解彻底性
确保每个因式均为最简整式,无法再
分解
(在有理数范围内).易混辨析
1. 漏提公因式. 如分解$4x^2 -16$时,直接用平方差公式得$(2x-4)(2x+4)$,未先提公因式4,正确的应为$4(x-2)(x+2)$.
2. 公式形式混淆. 如误将$a^2 +b^2$分解为$(a+b)^2$(实际不可分解,除非有中间项$2ab$).
3. 分解不彻底. 如$x^3 -x$仅分解为$x(x^2 -1)$,需继续分解为$x(x-1)(x+1)$.
4. 符号错误. 如分解$-a^2 +b^2$时,应为$b^2 -a^2=(b-a)(b+a)$,而非$(a-b)(a+b)$.
答案
因式分解的一般步骤:
第一步:优先观察多项式是否有公因式,若有,则先提取.
第二步:根据多项式项数选择公式. 两项式:尝试平方差公式;三项式:尝试完全平方公式.
第三步:确保每个因式均为最简整式,无法再分解(在有理数范围内).
第一步:优先观察多项式是否有公因式,若有,则先提取.
第二步:根据多项式项数选择公式. 两项式:尝试平方差公式;三项式:尝试完全平方公式.
第三步:确保每个因式均为最简整式,无法再分解(在有理数范围内).
解析
【分析】
本题考查因式分解基本步骤的识记，解题时结合所学的因式分解规范操作流程对应填空即可：①因式分解的首要原则是先提取公因式，因此第一步优先观察是否存在公因式；②提取公因式后根据项数选公式，两项式通常为两个平方项的差，符合平方差公式的结构特征，因此优先尝试平方差公式；三项式若满足“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的特征，优先尝试完全平方公式；③因式分解的最终要求是分解彻底，即每个因式在有理数范围内不能再继续分解。
【解析】
根据因式分解的一般步骤逐一填空：
1. 提公因式环节：优先观察多项式是否有公因式，若有则先提取，因此第一空填公因式；
2. 套用公式环节：两项式多为两个数的平方差结构，对应平方差公式，因此第二空填平方差公式；三项式符合完全平方公式的三项结构特征，因此第三空填完全平方公式；
3. 分解彻底性检查环节：要确保每个因式均为最简整式，在有理数范围内无法再分解，因此第四空填分解。
【答案】
公因式；平方差公式；完全平方公式；分解
【知识点】
因式分解的步骤；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是因式分解的核心操作流程，熟练掌握该步骤是正确进行因式分解的前提，解题时要注意规避漏提公因式、分解不彻底、公式混淆等常见错误。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解基本步骤的识记，解题时结合所学的因式分解规范操作流程对应填空即可：①因式分解的首要原则是先提取公因式，因此第一步优先观察是否存在公因式；②提取公因式后根据项数选公式，两项式通常为两个平方项的差，符合平方差公式的结构特征，因此优先尝试平方差公式；三项式若满足“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的特征，优先尝试完全平方公式；③因式分解的最终要求是分解彻底，即每个因式在有理数范围内不能再继续分解。
【解析】
根据因式分解的一般步骤逐一填空：
1. 提公因式环节：优先观察多项式是否有公因式，若有则先提取，因此第一空填公因式；
2. 套用公式环节：两项式多为两个数的平方差结构，对应平方差公式，因此第二空填平方差公式；三项式符合完全平方公式的三项结构特征，因此第三空填完全平方公式；
3. 分解彻底性检查环节：要确保每个因式均为最简整式，在有理数范围内无法再分解，因此第四空填分解。
【答案】
公因式；平方差公式；完全平方公式；分解
【知识点】
因式分解的步骤；提公因式法；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查的是因式分解的核心操作流程，熟练掌握该步骤是正确进行因式分解的前提，解题时要注意规避漏提公因式、分解不彻底、公式混淆等常见错误。
【难度系数】
0.9
例1 分解因式:
(1)$x^4y -16y$;(2)$10a -5a^2 -5$.
分析:(1)先提公因式,再利用平方差公式进行因式分解.
(2)先提公因式,再利用完全平方公式进行因式分解.
解:(1)原式$=y(x^4 -16)=y(x^2 +4)(x^2 -4)=y(x^2 +4)(x+2)(x-2)$.
(2)原式$=-5(a^2 -2a +1)= -5(a-1)^2$.
(1)$x^4y -16y$;(2)$10a -5a^2 -5$.
分析:(1)先提公因式,再利用平方差公式进行因式分解.
(2)先提公因式,再利用完全平方公式进行因式分解.
解:(1)原式$=y(x^4 -16)=y(x^2 +4)(x^2 -4)=y(x^2 +4)(x+2)(x-2)$.
(2)原式$=-5(a^2 -2a +1)= -5(a-1)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=y(x^4 - 16)$
$=y(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(2) 原式$=-5a^2 + 10a - 5$
$=-5(a^2 - 2a + 1)$
$=-5(a - 1)^2$
(1) 原式$=y(x^4 - 16)$
$=y(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(2) 原式$=-5a^2 + 10a - 5$
$=-5(a^2 - 2a + 1)$
$=-5(a - 1)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取公因式，第二步观察提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构特征，套用公式分解，第三步检查是否分解彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
(1) 式子$x^4y -16y$的两项都含公因式$y$，先提取公因式得到$x^4-16$，该式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，第一次套用平方差公式后得到$(x^2+4)(x^2-4)$，其中$x^2-4$仍符合平方差公式结构，需继续分解。
(2) 式子$10a -5a^2 -5$先按降幂排列，三项都含公因式$-5$，提取负公因式时括号内各项要变号，提取后得到$a^2-2a+1$，该式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式分解后确认无法再分解即可。
【解析】
(1) 先提公因式，再连续两次运用平方差公式分解：
原式$=y(x^4 - 16)$
$=y(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(2) 先提负公因式，再运用完全平方公式分解：
原式$=-5a^2 + 10a - 5$
$=-5(a^2 - 2a + 1)$
$=-5(a - 1)^2$
【答案】
(1) $y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$；(2) $-5(a - 1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础综合题型，核心考查提公因式法与公式法的结合运用，解题时需注意提取负公因式时符号的变化，同时要保证因式分解彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先提取公因式，第二步观察提取公因式后的式子是否符合乘法公式的结构特征，套用公式分解，第三步检查是否分解彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
(1) 式子$x^4y -16y$的两项都含公因式$y$，先提取公因式得到$x^4-16$，该式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，第一次套用平方差公式后得到$(x^2+4)(x^2-4)$，其中$x^2-4$仍符合平方差公式结构，需继续分解。
(2) 式子$10a -5a^2 -5$先按降幂排列，三项都含公因式$-5$，提取负公因式时括号内各项要变号，提取后得到$a^2-2a+1$，该式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式分解后确认无法再分解即可。
【解析】
(1) 先提公因式，再连续两次运用平方差公式分解：
原式$=y(x^4 - 16)$
$=y(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(2) 先提负公因式，再运用完全平方公式分解：
原式$=-5a^2 + 10a - 5$
$=-5(a^2 - 2a + 1)$
$=-5(a - 1)^2$
【答案】
(1) $y(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$；(2) $-5(a - 1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础综合题型，核心考查提公因式法与公式法的结合运用，解题时需注意提取负公因式时符号的变化，同时要保证因式分解彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
例2 分解因式:$a^{2}-4b^{2}-2a+4b.$
分析:先分组得到$(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$,再利用平方差公式和提公因式法分解因式,进一步提取公因式$(a-2b)$即可得到答案.
解:$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2).$
分析:先分组得到$(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$,再利用平方差公式和提公因式法分解因式,进一步提取公因式$(a-2b)$即可得到答案.
解:$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2).$
答案
解：
$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2)$
$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2)$
解析
【分析】
观察待分解的多项式为四项式，优先采用二二分组的思路求解：首先识别前两项$a^2-4b^2$符合平方差公式的结构特征，可直接用公式分解；再将后两项$-2a+4b$变形为$-(2a-4b)$，组内提取公因式2后，两组分解结果会出现公共因式$(a-2b)$，最后提取该公因式即可完成分解，解题过程中要注意添括号时的符号变化。
【解析】
$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2)$
【答案】
$(a-2b)(a+2b-2)$
【知识点】
分组分解法、平方差公式、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的常规综合题型，核心是掌握分组分解的原则：分组后既要能在组内进行因式分解，也要保证组与组之间存在公因式或可套用公式进一步分解，解题时需注意添、去括号的符号规则，确保因式分解彻底。
【难度系数】
0.7
观察待分解的多项式为四项式，优先采用二二分组的思路求解：首先识别前两项$a^2-4b^2$符合平方差公式的结构特征，可直接用公式分解；再将后两项$-2a+4b$变形为$-(2a-4b)$，组内提取公因式2后，两组分解结果会出现公共因式$(a-2b)$，最后提取该公因式即可完成分解，解题过程中要注意添括号时的符号变化。
【解析】
$a^{2}-4b^{2}-2a+4b$
$=(a^{2}-4b^{2})-(2a-4b)$
$=(a+2b)(a-2b)-2(a-2b)$
$=(a-2b)(a+2b-2)$
【答案】
$(a-2b)(a+2b-2)$
【知识点】
分组分解法、平方差公式、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的常规综合题型，核心是掌握分组分解的原则：分组后既要能在组内进行因式分解，也要保证组与组之间存在公因式或可套用公式进一步分解，解题时需注意添、去括号的符号规则，确保因式分解彻底。
【难度系数】
0.7
