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7. 已知$A=xy-x^2$，$B=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{xy}$，$C=\dfrac{x^2}{x-y}$，若$A÷ B=C· D$，求代数式$D$.
答案
7.$D=-y$
解析
【分析】
要计算代数式D，首先根据已知等式$A÷B=C·D$做变形，将D单独放在等号一侧，可得$D=(A÷B)÷C$，也就是D等于A乘B的倒数再乘C的倒数。接下来将A、B、C对应的代数式代入表达式，先对各多项式因式分解，再按照分式乘除的运算规则约分化简，即可得到D的最简结果，运算时要注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），确保约分合法。
【解析】
解：由$A÷ B = C· D$，对等式变形得：
$D=(A÷ B)÷ C = A· \frac{1}{B}· \frac{1}{C}$
先对各代数式因式分解：
$A=xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$
$B=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$，因此$\frac{1}{B}=\frac{xy}{(x-y)^2}$
$C=\frac{x^2}{x-y}$，因此$\frac{1}{C}=\frac{x-y}{x^2}$
将上述结果代入D的表达式：
$\begin{aligned}D&=-x(x-y)· \frac{xy}{(x-y)^2}· \frac{x-y}{x^2}\\&=\frac{-x(x-y)· xy· (x-y)}{(x-y)^2· x^2}\\&=\frac{-x^2 y (x-y)^2}{x^2 (x-y)^2}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知：$xy≠ 0$，$x-y≠ 0$，因此分子分母的公因式$x^2$和$(x-y)^2$可以约去，最终得：
$D=-y$
【答案】
$D=-y$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，代数式变形
【点评】
本题考查分式乘除的基础运算，解题核心是先通过等式变形得到D的表达式，代入各代数式后先因式分解再约分计算，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要计算代数式D，首先根据已知等式$A÷B=C·D$做变形，将D单独放在等号一侧，可得$D=(A÷B)÷C$，也就是D等于A乘B的倒数再乘C的倒数。接下来将A、B、C对应的代数式代入表达式，先对各多项式因式分解，再按照分式乘除的运算规则约分化简，即可得到D的最简结果，运算时要注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），确保约分合法。
【解析】
解：由$A÷ B = C· D$，对等式变形得：
$D=(A÷ B)÷ C = A· \frac{1}{B}· \frac{1}{C}$
先对各代数式因式分解：
$A=xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$
$B=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$，因此$\frac{1}{B}=\frac{xy}{(x-y)^2}$
$C=\frac{x^2}{x-y}$，因此$\frac{1}{C}=\frac{x-y}{x^2}$
将上述结果代入D的表达式：
$\begin{aligned}D&=-x(x-y)· \frac{xy}{(x-y)^2}· \frac{x-y}{x^2}\\&=\frac{-x(x-y)· xy· (x-y)}{(x-y)^2· x^2}\\&=\frac{-x^2 y (x-y)^2}{x^2 (x-y)^2}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知：$xy≠ 0$，$x-y≠ 0$，因此分子分母的公因式$x^2$和$(x-y)^2$可以约去，最终得：
$D=-y$
【答案】
$D=-y$
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，代数式变形
【点评】
本题考查分式乘除的基础运算，解题核心是先通过等式变形得到D的表达式，代入各代数式后先因式分解再约分计算，能有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
8. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (
A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
接力中,自己负责的一步出现错误的是 (
D
)A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
8.D
解析
【分析】
解题时需结合分式乘除法的运算法则，逐人核对每一步计算是否正确：第一步先明确分式除法的运算规则，除以分式要转化为乘以该分式的倒数，核对甲的步骤；第二步注意1-x和x-1互为相反数，变形时要带负号，核对乙的步骤；第三步核对因式分解是否正确，检查丙的步骤；第四步核对约分时公因式是否提取正确，检查丁的步骤，最终确定出错的人。
【解析】
我们逐步骤核对计算正误：
1. 核对甲的步骤：原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可转化为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：由于$1-x=-(x-1)$，因此式子应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，乙未添加负号直接将$1-x$替换为$x-1$，计算错误。
3. 核对丙的步骤：丙对分子$x^2-2x$提取公因式$x$，得到$x(x-2)$，因此式子转化为$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，因式分解正确，丙的计算正确。
4. 核对丁的步骤：对丙的式子约分，分子分母的$(x-1)$约去，分子的$x$和分母的$x^2$约去一个$x$，最终结果应为$\frac{x-2}{x}$，丁错误地将分母约分为2，计算错误。
因此接力中出错的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题重点考查分式乘除的运算细节，需要注意除法转乘法时的符号问题，以及约分过程中公因式的正确处理，是分式运算的典型易错题，计算时需要逐步骤核对避免失误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合分式乘除法的运算法则，逐人核对每一步计算是否正确：第一步先明确分式除法的运算规则，除以分式要转化为乘以该分式的倒数，核对甲的步骤；第二步注意1-x和x-1互为相反数，变形时要带负号，核对乙的步骤；第三步核对因式分解是否正确，检查丙的步骤；第四步核对约分时公因式是否提取正确，检查丁的步骤，最终确定出错的人。
【解析】
我们逐步骤核对计算正误：
1. 核对甲的步骤：原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可转化为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：由于$1-x=-(x-1)$，因此式子应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，乙未添加负号直接将$1-x$替换为$x-1$，计算错误。
3. 核对丙的步骤：丙对分子$x^2-2x$提取公因式$x$，得到$x(x-2)$，因此式子转化为$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，因式分解正确，丙的计算正确。
4. 核对丁的步骤：对丙的式子约分，分子分母的$(x-1)$约去，分子的$x$和分母的$x^2$约去一个$x$，最终结果应为$\frac{x-2}{x}$，丁错误地将分母约分为2，计算错误。
因此接力中出错的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题重点考查分式乘除的运算细节，需要注意除法转乘法时的符号问题，以及约分过程中公因式的正确处理，是分式运算的典型易错题，计算时需要逐步骤核对避免失误。
【难度系数】
0.7
9. 计算$a÷\frac{a}{b}·\frac{b}{a}$的结果是 （
A.$a$
B.$a^2$
C.$\frac{b^2}{a}$
D.$\frac{1}{a^2}$
C
）A.$a$
B.$a^2$
C.$\frac{b^2}{a}$
D.$\frac{1}{a^2}$
答案
9.C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确分式乘除是同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能随意调换运算顺序。解题步骤分为两步：第一步先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；第二步按照分式乘法法则计算，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：根据分式乘除的运算规则，同级运算从左到右进行，先将除法转化为乘法：
原式 = $a × \frac{b}{a} × \frac{b}{a}$
方法1：逐步计算
先计算前两项：$a × \frac{b}{a} = b$（$a ≠ 0$，约分后得到）
再计算剩余乘法：$b × \frac{b}{a} = \frac{b^2}{a}$
方法2：统一分子分母相乘后约分
分子相乘的积为：$a · b · b = ab^2$
分母相乘的积为：$a · a = a^2$
约分后得：$\frac{ab^2}{a^2} = \frac{b^2}{a}$
因此结果为$\frac{b^2}{a}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、分式约分、同级运算顺序
【点评】
这道题属于分式运算的基础题，易错点是忽略同级运算从左到右的顺序，错误先计算后两项$\frac{a}{b} · \frac{b}{a}=1$，再算$a÷1=a$导致错选。运算时先将除法统一为乘法，再按规则计算约分，就能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确分式乘除是同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能随意调换运算顺序。解题步骤分为两步：第一步先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；第二步按照分式乘法法则计算，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
解：根据分式乘除的运算规则，同级运算从左到右进行，先将除法转化为乘法：
原式 = $a × \frac{b}{a} × \frac{b}{a}$
方法1：逐步计算
先计算前两项：$a × \frac{b}{a} = b$（$a ≠ 0$，约分后得到）
再计算剩余乘法：$b × \frac{b}{a} = \frac{b^2}{a}$
方法2：统一分子分母相乘后约分
分子相乘的积为：$a · b · b = ab^2$
分母相乘的积为：$a · a = a^2$
约分后得：$\frac{ab^2}{a^2} = \frac{b^2}{a}$
因此结果为$\frac{b^2}{a}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、分式约分、同级运算顺序
【点评】
这道题属于分式运算的基础题，易错点是忽略同级运算从左到右的顺序，错误先计算后两项$\frac{a}{b} · \frac{b}{a}=1$，再算$a÷1=a$导致错选。运算时先将除法统一为乘法，再按规则计算约分，就能有效避免出错。
【难度系数】
0.7
10. 化简$\frac{x^2 -1}{x^2 +2x} ÷ \frac{x-1}{x}$，并判断当$x$满足不等式组$\begin{cases} x+2＜1, \\ 2(x-1)＞-6 \end{cases}$时该代数式的符号。
答案
10.$\frac{x^2-1}{x^2+2x}÷\frac{x-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}·\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x+2}$.
解不等式组$\begin{cases} x+2＜1, \\ 2(x-1)＞-6, \end{cases}$
得$-2＜x＜-1$.
$\therefore \quad x+1＜0,x+2＞0.$
$\therefore \quad \frac{x+1}{x+2}＜0$,即该代数式的符号为负号.
解不等式组$\begin{cases} x+2＜1, \\ 2(x-1)＞-6, \end{cases}$
得$-2＜x＜-1$.
$\therefore \quad x+1＜0,x+2＞0.$
$\therefore \quad \frac{x+1}{x+2}＜0$,即该代数式的符号为负号.
解析
【分析】
本题分为分式化简、不等式组求解、代数式符号判断三部分，解题思路如下：1. 化简分式时，先依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果，注意要保证原式所有分母不为0；2. 求解不等式组时，分别求出两个一元一次不等式的解集，取公共部分即可得到x的取值范围；3. 将x的取值范围代入化简后的分式，分别判断分子、分母的正负性，即可确定整个代数式的符号。
【解析】
步骤1：化简分式
$\frac{x^2 -1}{x^2 +2x} ÷ \frac{x-1}{x}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，得：
$=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}·\frac{x}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x≠0,x≠-2,x≠1$，约去公因式$x$和$x-1$，得：
$=\frac{x+1}{x+2}$
步骤2：解不等式组
$\begin{cases} x+2＜1 \quad ① \\ 2(x-1)＞-6 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x＜1-2$，即$x＜-1$
解不等式②：两边同时除以2得$x-1＞-3$，移项得$x＞-3+1$，即$x＞-2$
因此不等式组的解集为$-2＜x＜-1$
步骤3：判断代数式符号
在$-2＜x＜-1$的范围内：
$x+1＜0$，$x+2＞0$
根据分式符号判定规则，分子为负、分母为正，分式值为负，即$\frac{x+1}{x+2}＜0$
【答案】
化简结果为$\frac{x+1}{x+2}$，该代数式的符号为负号。
【知识点】
分式的乘除运算；解一元一次不等式组；代数式符号判断
【点评】
本题属于基础综合题型，既考查了分式化简的运算能力，也考查了不等式组求解和逻辑判断能力，解题时要注意分式隐含的分母不为0的要求，避免代入无意义的取值。
【难度系数】
0.7
本题分为分式化简、不等式组求解、代数式符号判断三部分，解题思路如下：1. 化简分式时，先依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果，注意要保证原式所有分母不为0；2. 求解不等式组时，分别求出两个一元一次不等式的解集，取公共部分即可得到x的取值范围；3. 将x的取值范围代入化简后的分式，分别判断分子、分母的正负性，即可确定整个代数式的符号。
【解析】
步骤1：化简分式
$\frac{x^2 -1}{x^2 +2x} ÷ \frac{x-1}{x}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，得：
$=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}·\frac{x}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x≠0,x≠-2,x≠1$，约去公因式$x$和$x-1$，得：
$=\frac{x+1}{x+2}$
步骤2：解不等式组
$\begin{cases} x+2＜1 \quad ① \\ 2(x-1)＞-6 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x＜1-2$，即$x＜-1$
解不等式②：两边同时除以2得$x-1＞-3$，移项得$x＞-3+1$，即$x＞-2$
因此不等式组的解集为$-2＜x＜-1$
步骤3：判断代数式符号
在$-2＜x＜-1$的范围内：
$x+1＜0$，$x+2＞0$
根据分式符号判定规则，分子为负、分母为正，分式值为负，即$\frac{x+1}{x+2}＜0$
【答案】
化简结果为$\frac{x+1}{x+2}$，该代数式的符号为负号。
【知识点】
分式的乘除运算；解一元一次不等式组；代数式符号判断
【点评】
本题属于基础综合题型，既考查了分式化简的运算能力，也考查了不等式组求解和逻辑判断能力，解题时要注意分式隐含的分母不为0的要求，避免代入无意义的取值。
【难度系数】
0.7
11. (1)计算:$(a+2)(a^2 - 2a + 4)=$
(2)上面整式乘法的计算结果很简洁,我们又发现了一个新的乘法公式,请用含$a,b$的式子表示:
(3)利用所学知识以及(2)所得的等式,化简:
$a^3+8$
; $(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)=$$8x^3+y^3$
.(2)上面整式乘法的计算结果很简洁,我们又发现了一个新的乘法公式,请用含$a,b$的式子表示:
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
.(3)利用所学知识以及(2)所得的等式,化简:
答案
11.(1)$a^3+8\quad 8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)$m-n$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)$m-n$
解析
【分析】
第(1)问：按照多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果。
第(2)问：观察第(1)问两个算式的结构特征，把算式中的常数项替换为字母b，即可归纳出通用的乘法公式。
第(3)问：首先根据分式除法的运算规则，将除法转化为乘以除式的倒数；再利用第(2)问得到的立方和公式、平方差公式、完全平方公式，对各个分子分母因式分解，最后约去公因式即可完成化简。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2 - 2a + 4)$：
$\begin{aligned}原式&=a· a^2 + a· (-2a) + a·4 + 2· a^2 + 2·(-2a) + 2×4\\&=a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8\\&=a^3+8\end{aligned}$
计算$(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 + 2x·(-2xy) + 2x· y^2 + y·4x^2 + y·(-2xy) + y· y^2\\&=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3\\&=8x^3+y^3\end{aligned}$
(2) 结合(1)的结果，归纳得公式：$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) 化简分式：
首先将除法转化为乘法：
$原式=\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} × \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$
对各部分因式分解：
$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
代入后约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} × \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}\\&=m-n\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)$m-n$
【知识点】
多项式乘法运算、因式分解、分式乘除运算
【点评】
本题由浅入深，先通过具体计算推导立方和公式，再结合因式分解进行分式化简，既考查了整式运算能力，也考查了公式归纳和分式化简的应用能力，解题时需注意分解因式要彻底，约分要准确判断公因式。
【难度系数】
0.7
第(1)问：按照多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果。
第(2)问：观察第(1)问两个算式的结构特征，把算式中的常数项替换为字母b，即可归纳出通用的乘法公式。
第(3)问：首先根据分式除法的运算规则，将除法转化为乘以除式的倒数；再利用第(2)问得到的立方和公式、平方差公式、完全平方公式，对各个分子分母因式分解，最后约去公因式即可完成化简。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2 - 2a + 4)$：
$\begin{aligned}原式&=a· a^2 + a· (-2a) + a·4 + 2· a^2 + 2·(-2a) + 2×4\\&=a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8\\&=a^3+8\end{aligned}$
计算$(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 + 2x·(-2xy) + 2x· y^2 + y·4x^2 + y·(-2xy) + y· y^2\\&=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3\\&=8x^3+y^3\end{aligned}$
(2) 结合(1)的结果，归纳得公式：$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3) 化简分式：
首先将除法转化为乘法：
$原式=\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} × \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$
对各部分因式分解：
$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
代入后约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} × \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}\\&=m-n\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)$m-n$
【知识点】
多项式乘法运算、因式分解、分式乘除运算
【点评】
本题由浅入深，先通过具体计算推导立方和公式，再结合因式分解进行分式化简，既考查了整式运算能力，也考查了公式归纳和分式化简的应用能力，解题时需注意分解因式要彻底，约分要准确判断公因式。
【难度系数】
0.7
