我们学习过的正整数指数幂的运算法则都有哪些？（下列$m,n$都是正整数）
(1) $a^m · a^n =$ ;
(2) $a^m ÷ a^n =$ ; ($m＞n$)
(3) $(a^m)^n =$ ;
(4) $(ab)^n =$ .
根据乘方的意义计算下列各式:
$3^4 = 3×3×3×3 =$ ;
$(\dfrac{2}{3})^4 =$ $=$ .
思考:类比分数的乘方运算,你能计算下列各式吗?
$(\dfrac{a}{b})^3 = \dfrac{a}{b} · \dfrac{a}{b} · \dfrac{a}{b} =$ ;
$(\dfrac{a}{b})^{10} =$ $=$ .
想一想: $(\dfrac{a}{b})^n =$ .

解：
(1) $\boldsymbol{a^{m+n}}$
(2) $\boldsymbol{a^{m-n}}$
(3) $\boldsymbol{a^{mn}}$
(4) $\boldsymbol{a^n b^n}$
$3^4 = 3×3×3×3 = \boldsymbol{81}$
$(\dfrac{2}{3})^4 = \boldsymbol{\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}} = \boldsymbol{\dfrac{16}{81}}$
$(\dfrac{a}{b})^3 = \dfrac{a}{b}·\dfrac{a}{b}·\dfrac{a}{b} = \boldsymbol{\dfrac{a^3}{b^3}}$
$(\dfrac{a}{b})^{10} = \boldsymbol{\underbrace{\dfrac{a}{b}·\dfrac{a}{b}·\dots·\dfrac{a}{b}}_{10个\frac{a}{b}相乘}} = \boldsymbol{\dfrac{a^{10}}{b^{10}}}$
$(\dfrac{a}{b})^n = \boldsymbol{\dfrac{a^n}{b^n}}$

【分析】
解题时先回顾已学的正整数指数幂的四类运算法则，完成前4个填空；再根据乘方的意义（即求n个相同因数乘积的运算），计算具体数字的乘方；最后类比分数乘方“分子分母分别乘方”的计算规律，推导得到分式乘方的通用公式，整个过程遵循从已知到未知、从特殊到一般的推理逻辑。
【解析】
1. 填写正整数指数幂运算法则：
(1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故$a^m · a^n = a^{m+n}$；
(2) 同底数幂相除，底数不变，指数相减（$m＞n$），故$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$；
(3) 幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(a^m)^n = a^{mn}$；
(4) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故$(ab)^n = a^n b^n$。
2. 计算具体乘方：
$3^4$是4个3相乘，计算得$3×3×3×3=81$；
$(\dfrac{2}{3})^4$是4个$\dfrac{2}{3}$相乘，即$\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}$，分子$2^4=16$，分母$3^4=81$，结果为$\dfrac{16}{81}$。
3. 推导分式乘方法则：
$(\dfrac{a}{b})^3$是3个$\dfrac{a}{b}$相乘，分子为$a·a·a=a^3$，分母为$b·b·b=b^3$，故结果为$\dfrac{a^3}{b^3}$；
$(\dfrac{a}{b})^{10}$是10个$\dfrac{a}{b}$相乘，即$\underbrace{\dfrac{a}{b}·\dfrac{a}{b}·\dots·\dfrac{a}{b}}_{10个\frac{a}{b}相乘}$，分子为$a^{10}$，分母为$b^{10}$，结果为$\dfrac{a^{10}}{b^{10}}$；
将规律推广到正整数$n$的情况，可得$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$（$b≠0$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^{m+n}}$
(2) $\boldsymbol{a^{m-n}}$
(3) $\boldsymbol{a^{mn}}$
(4) $\boldsymbol{a^n b^n}$
$\boldsymbol{81}$
$\boldsymbol{\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}}$；$\boldsymbol{\dfrac{16}{81}}$
$\boldsymbol{\dfrac{a^3}{b^3}}$
$\boldsymbol{\underbrace{\dfrac{a}{b}·\dfrac{a}{b}·\dots·\dfrac{a}{b}}_{10个\frac{a}{b}相乘}}$；$\boldsymbol{\dfrac{a^{10}}{b^{10}}}$
$\boldsymbol{\dfrac{a^n}{b^n}}$
【知识点】
正整数指数幂运算；乘方的意义；分式乘方法则
【点评】
本题通过回顾旧知、举例计算、类比推导的流程，引导学生自主得出分式乘方的运算规则，侧重对知识迁移能力和归纳推理能力的培养，能帮助学生深刻理解新运算法则的推导逻辑。
【难度系数】
0.9

知识点1）分式的乘除混合运算
先将除法变为，再根据分式的进行运算。

先将除法变为乘法，再根据分式的乘法法则进行运算。

【分析】
解题时先回忆分式乘除混合运算的运算规则：首先乘除属于同级运算，类比有理数乘除混合运算的处理方法，我们需要先统一运算类型，也就是将除法转化为乘法，转化后所有运算都为乘法，接下来只需要按照分式乘法的相关规则进行计算即可，由此就能确定两个空的答案。
【解析】
分式进行乘除混合运算时，首先根据“除以一个不为0的分式等于乘以这个分式的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算，之后再依据分式的乘法法则进行运算，因此两个空依次填乘法、乘法法则。
【答案】
先将除法变为乘法，再根据分式的乘法法则进行运算。
【知识点】
分式乘除混合运算；分式乘法法则
【点评】
本题考查分式乘除混合运算的基础运算规则，属于基础概念类题型，牢记运算的转化步骤和对应法则，是准确完成分式乘除运算的前提，也为后续更复杂的分式运算打下基础。
【难度系数】
0.9

知识点2）分式的乘方
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
上述法则可以用式子表示为$(\dfrac{a}{b})^n =$ （$n$是正整数）.
易错提示
分式乘方的注意事项：
(1)分式乘方一定要把分子、分母分别乘方；
(2)分式乘方时，首先确定乘方结果的符号，然后再运算；
(3)分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把多项式看作一个整体进行乘方.

$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$（$n$是正整数）

【分析】
这道题考查分式乘方法则的公式表达，解题时可先回忆乘方的意义：n个相同因式相乘可写成乘方形式，再结合分式乘法的运算规则，将n个$\dfrac{a}{b}$相乘，分子的乘积为n个a相乘，分母的乘积为n个b相乘，最终转化为幂的形式即可得到结果。
【解析】
根据乘方的定义，$(\dfrac{a}{b})^n$表示n个$\dfrac{a}{b}$相乘，即：
$(\dfrac{a}{b})^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} · \dfrac{a}{b} · \dots · \dfrac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法的运算法则：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，可得：
分子部分为$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个}=a^n$
分母部分为$\underbrace{b · b · \dots · b}_{n个}=b^n$（原式为分式，默认$b ≠ 0$）
因此$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$（n为正整数）
【答案】
$(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}$（$n$是正整数）
【知识点】
分式的乘方，乘方的意义
【点评】
本题是分式乘方的基础概念题，主要考查对分式乘方法则的记忆与理解，熟练掌握分子、分母分别乘方的规则是解题关键，该知识点是后续分式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

知识点3）分式的乘除、乘方混合运算
分式混合运算的顺序与数的混合运算一样，先，再。

分式混合运算的顺序与数的混合运算一样，先乘方，再乘除。

【分析】
解题时可先回顾有理数的混合运算顺序，我们已经知道分式的混合运算规则和有理数的混合运算顺序完全一致。从运算优先级来看，乘方的运算级别高于乘除，因此在进行分式的乘除、乘方混合运算时，需要先完成级别更高的乘方运算，再进行乘除运算。
【解析】
有理数的混合运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算。分式的混合运算顺序与数的混合运算顺序完全相同，本题考查乘除、乘方混合运算的顺序，因此顺序为先乘方，再乘除。
【答案】
分式混合运算的顺序与数的混合运算一样，先乘方，再乘除。
【知识点】
1. 分式混合运算顺序
2. 运算优先级
【点评】
本题是基础概念考查题，主要要求同学们掌握分式混合运算的顺序，学习时可以类比已学的有理数运算顺序来记忆，避免后续做分式混合运算时出现顺序错误。
【难度系数】
0.9