登录
例 计算：
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$；(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$。
分析：(1)先将分子、分母分解因式，再约去分子、分母中的公因式，然后求解即可。
(2)先将分子、分母分解因式，然后将除法转化成乘法，再约去分子、分母中的公因式，
然后求解即可。
解：(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a} = \frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{a^2-2a}$。
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4} = \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)} = \frac{a+2}{(a-2)(a+1)} = \frac{a+2}{a^2 -a -2}$。
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$；(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$。
分析：(1)先将分子、分母分解因式，再约去分子、分母中的公因式，然后求解即可。
(2)先将分子、分母分解因式，然后将除法转化成乘法，再约去分子、分母中的公因式，
然后求解即可。
解：(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a} = \frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)} = \frac{1}{a^2-2a}$。
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4} = \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)} = \frac{a+2}{(a-2)(a+1)} = \frac{a+2}{a^2 -a -2}$。
答案
解：
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$
$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$
$=\frac{a-1}{a^2-4a+4} · \frac{a^2-4}{a^2-1}$
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{a+2}{(a-2)(a+1)}$
$=\frac{a+2}{a^2-a-2}$
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$
$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$
$=\frac{a-1}{a^2-4a+4} · \frac{a^2-4}{a^2-1}$
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{a+2}{(a-2)(a+1)}$
$=\frac{a+2}{a^2-a-2}$
解析
【分析】
(1) 本题为分式乘法运算，解题思路清晰：第一步先对分式中可因式分解的部分进行因式分解，本题中第二个分式的分母$a^2+2a$可提取公因式$a$，分解为$a(a+2)$；第二步找到分子和分母的公因式进行约分，本题中分子的$a+2$和分母的$a+2$为相同公因式，可以约去；第三步将约分后剩余的分子相乘作为结果的分子，剩余的分母相乘作为结果的分母，最后可整理为分母展开的形式。
(2) 本题为分式除法运算，解题思路如下：第一步根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；第二步对所有分子、分母中的多项式因式分解：$a^2-4a+4$是完全平方式，分解为$(a-2)^2$；$a^2-4$是平方差形式，分解为$(a+2)(a-2)$；$a^2-1$是平方差形式，分解为$(a+1)(a-1)$；第三步找出分子分母的公因式约分，本题中$a-1$、$a-2$均为公因式，可以约去；第四步将剩余的分子、分母分别相乘得到最终结果，也可整理为分母展开的形式。
【解析】
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$
$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$
$=\frac{a-1}{a^2-4a+4} · \frac{a^2-4}{a^2-1}$
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{a+2}{(a-2)(a+1)}$
$=\frac{a+2}{a^2-a-2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2-2a}$；(2) $\frac{a+2}{a^2-a-2}$
【知识点】
分式乘除运算法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，重点考察因式分解的熟练度和分式运算规则的应用，解题时要注意先因式分解再约分，分式除法需先转化为乘法再计算，规范运算步骤可有效减少错误。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为分式乘法运算，解题思路清晰：第一步先对分式中可因式分解的部分进行因式分解，本题中第二个分式的分母$a^2+2a$可提取公因式$a$，分解为$a(a+2)$；第二步找到分子和分母的公因式进行约分，本题中分子的$a+2$和分母的$a+2$为相同公因式，可以约去；第三步将约分后剩余的分子相乘作为结果的分子，剩余的分母相乘作为结果的分母，最后可整理为分母展开的形式。
(2) 本题为分式除法运算，解题思路如下：第一步根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；第二步对所有分子、分母中的多项式因式分解：$a^2-4a+4$是完全平方式，分解为$(a-2)^2$；$a^2-4$是平方差形式，分解为$(a+2)(a-2)$；$a^2-1$是平方差形式，分解为$(a+1)(a-1)$；第三步找出分子分母的公因式约分，本题中$a-1$、$a-2$均为公因式，可以约去；第四步将剩余的分子、分母分别相乘得到最终结果，也可整理为分母展开的形式。
【解析】
(1) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$
$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
(2) $\frac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \frac{a^2-1}{a^2-4}$
$=\frac{a-1}{a^2-4a+4} · \frac{a^2-4}{a^2-1}$
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{a+2}{(a-2)(a+1)}$
$=\frac{a+2}{a^2-a-2}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2-2a}$；(2) $\frac{a+2}{a^2-a-2}$
【知识点】
分式乘除运算法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，重点考察因式分解的熟练度和分式运算规则的应用，解题时要注意先因式分解再约分，分式除法需先转化为乘法再计算，规范运算步骤可有效减少错误。
【难度系数】
0.8
1. 计算$\frac{4ac}{3b} · \frac{9b^2}{2ac^3}$的结果是 （
A.$6bc^2$
B.$\frac{6b}{c^2}$
C.$6abc^2$
D.$\frac{6b}{c}$
B
）A.$6bc^2$
B.$\frac{6b}{c^2}$
C.$6abc^2$
D.$\frac{6b}{c}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步回忆分式乘法的运算法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母；第二步可以先将分子分母的公因式提前约分，再计算剩余部分的乘积，也可以先相乘再约分，最终化简为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则计算：
$\begin{aligned}\frac{4ac}{3b} · \frac{9b^2}{2ac^3} &= \frac{4ac · 9b^2}{3b · 2ac^3} \\&= \frac{36ab^2c}{6abc^3} \\&= \frac{6b}{c^2}\end{aligned}$
（也可先约分再计算：分子分母的公因式为$6abc$，约去后直接得到$\frac{6b}{c^2}$）
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式乘法的运算规则，计算时既可以先乘后约也可以先约后乘，注意相同字母的幂次运算时不要出错，约分要彻底。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步回忆分式乘法的运算法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母；第二步可以先将分子分母的公因式提前约分，再计算剩余部分的乘积，也可以先相乘再约分，最终化简为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则计算：
$\begin{aligned}\frac{4ac}{3b} · \frac{9b^2}{2ac^3} &= \frac{4ac · 9b^2}{3b · 2ac^3} \\&= \frac{36ab^2c}{6abc^3} \\&= \frac{6b}{c^2}\end{aligned}$
（也可先约分再计算：分子分母的公因式为$6abc$，约去后直接得到$\frac{6b}{c^2}$）
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算、分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握分式乘法的运算规则，计算时既可以先乘后约也可以先约后乘，注意相同字母的幂次运算时不要出错，约分要彻底。
【难度系数】
0.9
2. 若“$\frac{x-1}{x^2 - ○} · \frac{x+2}{x}$”可以进行约分化简，则“○”不可以是（
A.1
B.x
C.-x
D.4
C
）A.1
B.x
C.-x
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
要判断分式能否约分化简，核心是看相乘后分式的分子和分母是否存在公因式。首先整理原式的总分子为$(x-1)(x+2)$，总分母为$x·(x^2-○)$，因此只要$x^2-○$含有因式$(x-1)$、$(x+2)$、$x$中的任意一个，原式就可以约分。我们只需将四个选项依次代入$○$，判断$x^2-○$是否含上述三个因式之一，不含的即为符合题意的答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 当$○=1$时，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，含有因式$(x-1)$，可与分子的$(x-1)$约分，因此A不符合题意；
2. 当$○=x$时，$x^2-x=x(x-1)$，含有因式$(x-1)$，可与分子的$(x-1)$约分，因此B不符合题意；
3. 当$○=-x$时，$x^2-(-x)=x^2+x=x(x+1)$，$x^2+x$的因式为$x$和$(x+1)$，分子$(x-1)(x+2)$不含因式$x$或$x+1$，不存在公因式，无法约分，因此C符合题意；
4. 当$○=4$时，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，含有因式$(x+2)$，可与分子的$(x+2)$约分，因此D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分、因式分解、平方差公式
【点评】
本题重点考查分式约分的条件，解题关键是明确分式可约分的本质是分子与分母存在公因式，需要结合因式分解逐个验证选项，代入负数时要注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断分式能否约分化简，核心是看相乘后分式的分子和分母是否存在公因式。首先整理原式的总分子为$(x-1)(x+2)$，总分母为$x·(x^2-○)$，因此只要$x^2-○$含有因式$(x-1)$、$(x+2)$、$x$中的任意一个，原式就可以约分。我们只需将四个选项依次代入$○$，判断$x^2-○$是否含上述三个因式之一，不含的即为符合题意的答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 当$○=1$时，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，含有因式$(x-1)$，可与分子的$(x-1)$约分，因此A不符合题意；
2. 当$○=x$时，$x^2-x=x(x-1)$，含有因式$(x-1)$，可与分子的$(x-1)$约分，因此B不符合题意；
3. 当$○=-x$时，$x^2-(-x)=x^2+x=x(x+1)$，$x^2+x$的因式为$x$和$(x+1)$，分子$(x-1)(x+2)$不含因式$x$或$x+1$，不存在公因式，无法约分，因此C符合题意；
4. 当$○=4$时，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，含有因式$(x+2)$，可与分子的$(x+2)$约分，因此D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分、因式分解、平方差公式
【点评】
本题重点考查分式约分的条件，解题关键是明确分式可约分的本质是分子与分母存在公因式，需要结合因式分解逐个验证选项，代入负数时要注意符号运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 定义两种运算：$a △ b = \dfrac{1}{a+b}$，$a * b = \dfrac{b}{a^2 - b^2}$，则
$(m △ n) ÷ (m * n) = \_\_\_\_\_\_$。
$(m △ n) ÷ (m * n) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
3.$\frac{m-n}{n}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算结合分式运算的题目，解题思路分三步：第一步，先根据题目给出的两种新运算规则，分别将$(m △ n)$和$(m * n)$转化为分式形式；第二步，将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；第三步，利用平方差公式对多项式因式分解后约分，化简得到最终结果。
【解析】
解：根据新定义的运算规则计算：
1. 计算$m △ n$：
$m △ n = \dfrac{1}{m + n}$
2. 计算$m * n$：
$m * n = \dfrac{n}{m^2 - n^2}$
3. 计算两者的商，按分式除法法则运算：
$\begin{aligned}(m △ n) ÷ (m * n) &= \dfrac{1}{m + n} ÷ \dfrac{n}{m^2 - n^2} \\&= \dfrac{1}{m + n} × \dfrac{m^2 - n^2}{n} \\&= \dfrac{1}{m + n} × \dfrac{(m + n)(m - n)}{n} \\&= \dfrac{m - n}{n}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{m-n}{n}$
【知识点】
新定义运算、分式的除法、平方差公式因式分解
【点评】
本题结合新定义考查分式乘除的运算法则，解题关键是准确理解新运算的规则，运算过程中先对多项式因式分解再约分，能简化计算、减少出错。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算结合分式运算的题目，解题思路分三步：第一步，先根据题目给出的两种新运算规则，分别将$(m △ n)$和$(m * n)$转化为分式形式；第二步，将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；第三步，利用平方差公式对多项式因式分解后约分，化简得到最终结果。
【解析】
解：根据新定义的运算规则计算：
1. 计算$m △ n$：
$m △ n = \dfrac{1}{m + n}$
2. 计算$m * n$：
$m * n = \dfrac{n}{m^2 - n^2}$
3. 计算两者的商，按分式除法法则运算：
$\begin{aligned}(m △ n) ÷ (m * n) &= \dfrac{1}{m + n} ÷ \dfrac{n}{m^2 - n^2} \\&= \dfrac{1}{m + n} × \dfrac{m^2 - n^2}{n} \\&= \dfrac{1}{m + n} × \dfrac{(m + n)(m - n)}{n} \\&= \dfrac{m - n}{n}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{m-n}{n}$
【知识点】
新定义运算、分式的除法、平方差公式因式分解
【点评】
本题结合新定义考查分式乘除的运算法则，解题关键是准确理解新运算的规则，运算过程中先对多项式因式分解再约分，能简化计算、减少出错。
【难度系数】
0.7
4. 使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义的条件是（
A.$x≠3$且$x≠2$
B.$x≠3$且$x≠-1$
C.$x≠2$且$x≠-2$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
D
）A.$x≠3$且$x≠2$
B.$x≠3$且$x≠-1$
C.$x≠2$且$x≠-2$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
答案
4.D
解析
【分析】
要使分式除法运算有意义，需要明确两类核心限制：一是所有涉及的分式都要满足“分母不为0”的有意义要求，二是除法运算中除数不能为0。我们只需要逐一找出所有限制x取值的条件，合并后就能得到正确结果。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$作为分式，自身分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除法运算中除数不能为0，即$\frac{x+1}{x-2}≠0$，此时分母已经不为0，只需分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值需满足$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 除数不为0的性质
3. 分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式运算有意义的条件，解题时需要全面梳理所有限制因素，易错点是容易遗漏除式不能为0的限制，即忽略$x≠-1$的要求，做题时要养成逐一排查所有限制条件的习惯。
【难度系数】
0.7
要使分式除法运算有意义，需要明确两类核心限制：一是所有涉及的分式都要满足“分母不为0”的有意义要求，二是除法运算中除数不能为0。我们只需要逐一找出所有限制x取值的条件，合并后就能得到正确结果。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$作为分式，自身分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除法运算中除数不能为0，即$\frac{x+1}{x-2}≠0$，此时分母已经不为0，只需分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值需满足$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 除数不为0的性质
3. 分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式运算有意义的条件，解题时需要全面梳理所有限制因素，易错点是容易遗漏除式不能为0的限制，即忽略$x≠-1$的要求，做题时要养成逐一排查所有限制条件的习惯。
【难度系数】
0.7
5. 已知$\dfrac{x^2 -4}{x-3} ÷ \dfrac{}{x^2 -9}$是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（
A.$x-3$
B.$x-2$
C.$x+3$
D.$x+2$
A
）A.$x-3$
B.$x-2$
C.$x+3$
D.$x+2$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先设被墨水覆盖的部分为$ A $，根据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，再利用平方差公式对分子分母中能因式分解的部分分解因式，约分化简后，根据“结果为整式”的要求，可知$ A $必须是化简后分子的因式，最后逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
设被墨水覆盖的部分为$ A $，根据分式除法运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，对原式变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{A}{x^2-9}\\&=\frac{x^2-4}{x-3} × \frac{x^2-9}{A}\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解：$ x^2-4=(x+2)(x-2) $，$ x^2-9=(x+3)(x-3) $，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-3} × \frac{(x+3)(x-3)}{A}\\&=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{A}\end{aligned}$
已知化简结果为整式，说明$ A $是分子$ (x+2)(x-2)(x+3) $的因式：
若$ A=x-3 $，分子不含因式$ x-3 $，结果为分式，不符合要求；
若$ A=x-2 $，约去$ x-2 $后结果为$ (x+2)(x+3) $，是整式，符合要求；
若$ A=x+3 $，约去$ x+3 $后结果为$ (x+2)(x-2) $，是整式，符合要求；
若$ A=x+2 $，约去$ x+2 $后结果为$ (x-2)(x+3) $，是整式，符合要求。
因此被墨水覆盖的部分不可能是$ x-3 $。
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；因式分解；分式化简
【点评】
本题围绕分式除法运算设置，需要熟练掌握分式的运算规则和因式分解的方法，通过设未知量将问题转化为因式整除问题求解，易错点是因式分解出错或忽略约分的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先设被墨水覆盖的部分为$ A $，根据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，再利用平方差公式对分子分母中能因式分解的部分分解因式，约分化简后，根据“结果为整式”的要求，可知$ A $必须是化简后分子的因式，最后逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
设被墨水覆盖的部分为$ A $，根据分式除法运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，对原式变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{A}{x^2-9}\\&=\frac{x^2-4}{x-3} × \frac{x^2-9}{A}\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解：$ x^2-4=(x+2)(x-2) $，$ x^2-9=(x+3)(x-3) $，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-3} × \frac{(x+3)(x-3)}{A}\\&=\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{A}\end{aligned}$
已知化简结果为整式，说明$ A $是分子$ (x+2)(x-2)(x+3) $的因式：
若$ A=x-3 $，分子不含因式$ x-3 $，结果为分式，不符合要求；
若$ A=x-2 $，约去$ x-2 $后结果为$ (x+2)(x+3) $，是整式，符合要求；
若$ A=x+3 $，约去$ x+3 $后结果为$ (x+2)(x-2) $，是整式，符合要求；
若$ A=x+2 $，约去$ x+2 $后结果为$ (x-2)(x+3) $，是整式，符合要求。
因此被墨水覆盖的部分不可能是$ x-3 $。
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；因式分解；分式化简
【点评】
本题围绕分式除法运算设置，需要熟练掌握分式的运算规则和因式分解的方法，通过设未知量将问题转化为因式整除问题求解，易错点是因式分解出错或忽略约分的条件。
【难度系数】
0.7
6. 计算下列各式：
(1) $\frac{2mn}{3m^2} · \frac{6mn}{5n}$；
(2) $\frac{5x-5y}{3x^2y} · \frac{9xy^2}{x^2-y^2}$；
(3) $\frac{2-m}{m+2} ÷ \frac{m^2-4m+4}{m^2-4}$；
(4) $\frac{a+3}{1-a} ÷ \frac{a^2+3a}{a^2-2a+1}$。
(1) $\frac{2mn}{3m^2} · \frac{6mn}{5n}$；
(2) $\frac{5x-5y}{3x^2y} · \frac{9xy^2}{x^2-y^2}$；
(3) $\frac{2-m}{m+2} ÷ \frac{m^2-4m+4}{m^2-4}$；
(4) $\frac{a+3}{1-a} ÷ \frac{a^2+3a}{a^2-2a+1}$。
答案
6.(1)$\frac{4n}{5}$
(2)$\frac{15y}{x^2+xy}$
(3)$-1$
(4)$-\frac{a-1}{a}(或\frac{1-a}{a})$
(2)$\frac{15y}{x^2+xy}$
(3)$-1$
(4)$-\frac{a-1}{a}(或\frac{1-a}{a})$
解析
【分析】
分式乘除运算的核心解题思路如下：1. 分式除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 若分子、分母是单项式，直接将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，再约去公因式得到最简结果；3. 若分子、分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再按照分式乘法法则计算，最后约去公因式，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 按分式乘法法则计算后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2mn · 6mn}{3m^2 · 5n}\\&=\frac{12m^2n^2}{15m^2n}\\&=\frac{4n}{5}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，再按乘法法则计算约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{5(x-y)}{3x^2y} · \frac{9xy^2}{(x-y)(x+y)}\\&=\frac{5(x-y) · 9xy^2}{3x^2y · (x-y)(x+y)}\\&=\frac{15y}{x(x+y)}\\&=\frac{15y}{x^2+xy}\end{aligned}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2-m}{m+2} · \frac{m^2-4}{m^2-4m+4}\\&=\frac{-(m-2)}{m+2} · \frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2}\\&=-1\end{aligned}$
(4) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+3}{1-a} · \frac{a^2-2a+1}{a^2+3a}\\&=\frac{a+3}{-(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{a(a+3)}\\&=-\frac{a-1}{a}=\frac{1-a}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{4n}{5}$；(2) $\frac{15y}{x^2+xy}$；(3) $-1$；(4) $-\frac{a-1}{a}$（或$\frac{1-a}{a}$）
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
这几道题是分式乘除的常规基础题，解题的关键是牢记分式乘除的运算法则，遇到除法优先转化为乘法，分子分母为多项式时先因式分解再约分，计算时要特别注意符号的处理，熟练掌握因式分解的常用方法可以有效提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的核心解题思路如下：1. 分式除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 若分子、分母是单项式，直接将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，再约去公因式得到最简结果；3. 若分子、分母是多项式，先对多项式进行因式分解，再按照分式乘法法则计算，最后约去公因式，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 按分式乘法法则计算后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2mn · 6mn}{3m^2 · 5n}\\&=\frac{12m^2n^2}{15m^2n}\\&=\frac{4n}{5}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，再按乘法法则计算约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{5(x-y)}{3x^2y} · \frac{9xy^2}{(x-y)(x+y)}\\&=\frac{5(x-y) · 9xy^2}{3x^2y · (x-y)(x+y)}\\&=\frac{15y}{x(x+y)}\\&=\frac{15y}{x^2+xy}\end{aligned}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2-m}{m+2} · \frac{m^2-4}{m^2-4m+4}\\&=\frac{-(m-2)}{m+2} · \frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2}\\&=-1\end{aligned}$
(4) 先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+3}{1-a} · \frac{a^2-2a+1}{a^2+3a}\\&=\frac{a+3}{-(a-1)} · \frac{(a-1)^2}{a(a+3)}\\&=-\frac{a-1}{a}=\frac{1-a}{a}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{4n}{5}$；(2) $\frac{15y}{x^2+xy}$；(3) $-1$；(4) $-\frac{a-1}{a}$（或$\frac{1-a}{a}$）
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
这几道题是分式乘除的常规基础题，解题的关键是牢记分式乘除的运算法则，遇到除法优先转化为乘法，分子分母为多项式时先因式分解再约分，计算时要特别注意符号的处理，熟练掌握因式分解的常用方法可以有效提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
