登录
一、选择题
1. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE ⊥ AC于点E，已知PE=2，则点P到AB的距离是(
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE ⊥ AC于点E，已知PE=2，则点P到AB的距离是(
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中已经给出P在∠BAC的角平分线AD上，PE是P到AC边的垂线段长度（即P到AC的距离），要求P到AB的距离，只需直接应用角平分线的性质即可得到两者相等，从而求出结果。
【解析】
解：过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PF的长度就是点P到AB的距离。
∵AD是∠BAC的平分线，点P在AD上，PE⊥AC，PF⊥AB
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PF = PE
又
∵PE = 2
∴PF = 2，即点P到AB的距离是2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线、点到两边的垂线段这两个符合性质的条件，不需要复杂计算，熟记性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中已经给出P在∠BAC的角平分线AD上，PE是P到AC边的垂线段长度（即P到AC的距离），要求P到AB的距离，只需直接应用角平分线的性质即可得到两者相等，从而求出结果。
【解析】
解：过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PF的长度就是点P到AB的距离。
∵AD是∠BAC的平分线，点P在AD上，PE⊥AC，PF⊥AB
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PF = PE
又
∵PE = 2
∴PF = 2，即点P到AB的距离是2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别角平分线、点到两边的垂线段这两个符合性质的条件，不需要复杂计算，熟记性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$DA ⊥ FC$ 于点 $A$，$DE ⊥ BC$ 于点 $E$. 若 $AD = 5\ \mathrm{cm}$，$DE = 5\ \mathrm{cm}$，$∠ ACE = 80°$，则 $∠ DCE = (\quad)$.
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：已知DA垂直FC、DE垂直BC，且两条垂线段AD、DE长度相等，可联想到角平分线的判定定理，判断出CD是∠ACE的角平分线，再结合已知∠ACE的度数，根据角平分线的定义即可求出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵DA⊥FC，DE⊥BC，AD=DE=5cm，
∴根据角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠ACE的角平分线上，即CD平分∠ACE，
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE，
又
∵∠ACE=80°，
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是根据两条相等的垂线段快速判断出角平分线，再结合角平分线的定义计算角度，难度较低，熟练掌握相关定理即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：已知DA垂直FC、DE垂直BC，且两条垂线段AD、DE长度相等，可联想到角平分线的判定定理，判断出CD是∠ACE的角平分线，再结合已知∠ACE的度数，根据角平分线的定义即可求出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵DA⊥FC，DE⊥BC，AD=DE=5cm，
∴根据角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠ACE的角平分线上，即CD平分∠ACE，
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE，
又
∵∠ACE=80°，
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是根据两条相等的垂线段快速判断出角平分线，再结合角平分线的定义计算角度，难度较低，熟练掌握相关定理即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 如图，OP平分$∠ AOB$，$PA ⊥ OA$，$PB ⊥ OB$，垂足分别为点A，B.下列结论中，不一定成立的是(
A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
D
).A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
答案
3. D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质，再通过证明三角形全等判断前三个选项是否成立，最后结合垂直平分线的判定分析D选项的正误。首先由角平分线的性质可直接判断A选项；再通过证明△OPA和△OPB全等，推导B、C选项是否成立；最后分析D选项，注意区分“OP垂直平分AB”和“AB垂直平分OP”的逻辑关系，判断其是否一定成立。
【解析】
解：
1. 判断A选项：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故A一定成立，不符合题意。
2. 证明△PAO≌△PBO：
在△PAO和△PBO中，
$\{\begin{array}{l}∠OAP=∠OBP=90°\\∠AOP=∠BOP\\OP=OP\end{array} $
∴△PAO≌△PBO（AAS）。
3. 判断B、C选项：
由全等三角形对应角相等，得∠APO=∠BPO，即PO平分∠APB，故B一定成立，不符合题意；
由全等三角形对应边相等，得OA=OB，故C一定成立，不符合题意。
4. 判断D选项：
由OA=OB、PA=PB可知，点O和点P都在线段AB的垂直平分线上，因此OP垂直平分AB，但没有条件能证明AB平分OP，该结论只有在特定条件下才成立，普通情况不一定成立，故D不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，同时要注意线段垂直平分线的判定逻辑，避免将两条线段的垂直平分关系搞反。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆角平分线的性质，再通过证明三角形全等判断前三个选项是否成立，最后结合垂直平分线的判定分析D选项的正误。首先由角平分线的性质可直接判断A选项；再通过证明△OPA和△OPB全等，推导B、C选项是否成立；最后分析D选项，注意区分“OP垂直平分AB”和“AB垂直平分OP”的逻辑关系，判断其是否一定成立。
【解析】
解：
1. 判断A选项：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故A一定成立，不符合题意。
2. 证明△PAO≌△PBO：
在△PAO和△PBO中，
$\{\begin{array}{l}∠OAP=∠OBP=90°\\∠AOP=∠BOP\\OP=OP\end{array} $
∴△PAO≌△PBO（AAS）。
3. 判断B、C选项：
由全等三角形对应角相等，得∠APO=∠BPO，即PO平分∠APB，故B一定成立，不符合题意；
由全等三角形对应边相等，得OA=OB，故C一定成立，不符合题意。
4. 判断D选项：
由OA=OB、PA=PB可知，点O和点P都在线段AB的垂直平分线上，因此OP垂直平分AB，但没有条件能证明AB平分OP，该结论只有在特定条件下才成立，普通情况不一定成立，故D不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，同时要注意线段垂直平分线的判定逻辑，避免将两条线段的垂直平分关系搞反。
【难度系数】
0.7
4. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上
；角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等
。答案
4. 这个角的平分线上 相等
解析
【分析】
本题考查角平分线相关的定理，解题时首先区分两个空分别对应角平分线的判定还是性质：第一个空已知“角内部、到两边距离相等”，需要判断点的位置，对应角平分线的判定定理；第二个空已知“点在角平分线上”，需要判断到两边距离的关系，对应角平分线的性质定理，回忆对应定理内容即可填空。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此第一个空填“这个角的平分线上”；
根据角平分线的性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等，因此第二个空填“相等”。
【答案】
这个角的平分线上；相等
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对角平分线的性质和判定定理的区分与识记，熟练掌握基础定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线相关的定理，解题时首先区分两个空分别对应角平分线的判定还是性质：第一个空已知“角内部、到两边距离相等”，需要判断点的位置，对应角平分线的判定定理；第二个空已知“点在角平分线上”，需要判断到两边距离的关系，对应角平分线的性质定理，回忆对应定理内容即可填空。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此第一个空填“这个角的平分线上”；
根据角平分线的性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等，因此第二个空填“相等”。
【答案】
这个角的平分线上；相等
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对角平分线的性质和判定定理的区分与识记，熟练掌握基础定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. 如图，点 P 到 $∠ AOB$ 两边的距离相等，若 $∠ POB = 30°$，则 $∠ AOB$ 的度数为
（第5题）（第6题）
60°
。（第5题）（第6题）
答案
5. 60°
解析
【分析】
首先读题提取关键条件：点P到∠AOB两边的距离相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的小角，已知其中一个小角∠POB的度数，将其乘2即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵点P到∠AOB两边的距离相等，
∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠AOB = 2∠POB，
∵∠POB = 30°，
∴∠AOB = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的判定；角的运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查角平分线判定定理的应用，熟练掌握角平分线的判定和定义是快速解题的核心，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先读题提取关键条件：点P到∠AOB两边的距离相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的小角，已知其中一个小角∠POB的度数，将其乘2即可得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵点P到∠AOB两边的距离相等，
∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠AOB = 2∠POB，
∵∠POB = 30°，
∴∠AOB = 2×30° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的判定；角的运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查角平分线判定定理的应用，熟练掌握角平分线的判定和定义是快速解题的核心，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$于点$E$。若$AC=2$，$DE=1$，则$△ ACD$的面积为
1
。答案
6. 1
解析
【分析】
解题思路：首先观察题目给出的条件，出现角平分线和角其中一边上的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求$△ ACD$的面积，已知底$AC$的长度，只需要求出$AC$边上的高即可。我们过点$D$作$AC$的垂线，利用角平分线的性质可得出这条高的长度等于$DE$，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
过点$D$作$DF ⊥ AC$，垂足为$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 1$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × AC × DF$，
将$AC=2$，$DF=1$代入公式得：
$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，通过作辅助线得到$AC$边上的高是解题的突破口，计算难度低，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察题目给出的条件，出现角平分线和角其中一边上的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求$△ ACD$的面积，已知底$AC$的长度，只需要求出$AC$边上的高即可。我们过点$D$作$AC$的垂线，利用角平分线的性质可得出这条高的长度等于$DE$，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
过点$D$作$DF ⊥ AC$，垂足为$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore$根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 1$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × AC × DF$，
将$AC=2$，$DF=1$代入公式得：
$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，通过作辅助线得到$AC$边上的高是解题的突破口，计算难度低，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
