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三、解答题
7. 如图，$BE ⊥ AC$于点E，$CF ⊥ AB$于点F，且BE，CF交于点D，若$AB=AC$.求证：点D在$∠ A$的平分线上.
7. 如图，$BE ⊥ AC$于点E，$CF ⊥ AB$于点F，且BE，CF交于点D，若$AB=AC$.求证：点D在$∠ A$的平分线上.
答案
7. 在$△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中, $\begin{cases}∠ AEB = ∠ AFC = 90°,\\∠ A = ∠ A,\\AB = AC,\end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACF. \therefore AE = AF.$ 又 $\because AB = AC,$ $\therefore AB - AF = AC - AE,$ 即 $BF = CE.$ 在 $△ BDF$ 和 $△ CDE$ 中, $\begin{cases}∠ BFD = ∠ CED = 90°,\\∠ BDF = ∠ CDE,\\BF = CE,\end{cases}$ $\therefore △ BDF ≌ △ CDE. \therefore DF = DE. \therefore$ 点 $D$ 在 $∠ A$ 的平分线上
解析
【分析】
要证明点D在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，已知CF⊥AB、BE⊥AC，因此只需证明D到AB的距离DF等于D到AC的距离DE即可。要证DF=DE，可证明△BDF≌△CDE，两个三角形已有直角相等、对顶角相等，缺一组对应边相等，即BF=CE。已知AB=AC，只需证AF=AE，可通过证明△ABE≌△ACF得到，△ABE和△ACF有公共角∠A、一组直角相等，且已知AB=AC，用AAS即可判定全等，得到AE=AF后可推出BF=CE，进而完成后续证明。
【解析】
证明：在$△ABE$ 和 $△ACF$ 中,
$\begin{cases}∠AEB = ∠AFC = 90°,\\∠A = ∠A,\\AB = AC,\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △ACF \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE = AF$.
又 $\because AB = AC$,
$\therefore AB - AF = AC - AE$, 即 $BF = CE$.
在 $△BDF$ 和 $△CDE$ 中,
$\begin{cases}∠BFD = ∠CED = 90°,\\∠BDF = ∠CDE,\\BF = CE,\end{cases}$
$\therefore △BDF ≌ △CDE \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore DF = DE$.
∵$DF⊥AB$，$DE⊥AC$，
$\therefore$ 点 $D$ 在$∠A$的平分线上。
【答案】
点D在∠A的平分线上
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，需要通过两次三角形全等推导得到边相等的条件，解题时要理清已知条件和待证结论之间的逻辑关系，熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明点D在∠A的平分线上，根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，已知CF⊥AB、BE⊥AC，因此只需证明D到AB的距离DF等于D到AC的距离DE即可。要证DF=DE，可证明△BDF≌△CDE，两个三角形已有直角相等、对顶角相等，缺一组对应边相等，即BF=CE。已知AB=AC，只需证AF=AE，可通过证明△ABE≌△ACF得到，△ABE和△ACF有公共角∠A、一组直角相等，且已知AB=AC，用AAS即可判定全等，得到AE=AF后可推出BF=CE，进而完成后续证明。
【解析】
证明：在$△ABE$ 和 $△ACF$ 中,
$\begin{cases}∠AEB = ∠AFC = 90°,\\∠A = ∠A,\\AB = AC,\end{cases}$
$\therefore △ABE ≌ △ACF \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE = AF$.
又 $\because AB = AC$,
$\therefore AB - AF = AC - AE$, 即 $BF = CE$.
在 $△BDF$ 和 $△CDE$ 中,
$\begin{cases}∠BFD = ∠CED = 90°,\\∠BDF = ∠CDE,\\BF = CE,\end{cases}$
$\therefore △BDF ≌ △CDE \ (\mathrm{AAS})$,
$\therefore DF = DE$.
∵$DF⊥AB$，$DE⊥AC$，
$\therefore$ 点 $D$ 在$∠A$的平分线上。
【答案】
点D在∠A的平分线上
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，需要通过两次三角形全等推导得到边相等的条件，解题时要理清已知条件和待证结论之间的逻辑关系，熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图，D，E，F分别是$△ ABC$三边上的点，$CE=BF$，$△ DCE$和$△ DBF$的面积相等。求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M, DN ⊥ AC$ 于点 $N.$ 由 $S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$ 和 $CE=BF,$ 得 $DM=DN. \therefore$ 点 $D$ 在 $∠ BAC$ 的平分线上, 即 $AD$ 平分 $∠ BAC$
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等。题目已知△DCE和△DBF面积相等，且底CE=BF，因此可过D分别作AB、AC的垂线，得到两个三角形对应底边上的高，利用三角形面积公式即可推出两条高相等，进而证明结论。
【解析】
证明：过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M, DN ⊥ AC$ 于点 $N$，
则$DM$是$△ DBF$中$BF$边上的高，$DN$是$△ DCE$中$CE$边上的高。
$\because S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}· BF· DM=\frac{1}{2}· CE· DN$，
又$\because CE=BF$，
$\therefore DM=DN$。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点$D$在$∠ BAC$ 的平分线上，即 $AD$ 平分$∠ BAC$。
【答案】
$AD$平分$∠BAC$
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是结合已知面积相等的条件，构造点D到角两边的垂线段，将求证角平分线的问题转化为证明两条垂线段长度相等的问题，是角平分线判定的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等。题目已知△DCE和△DBF面积相等，且底CE=BF，因此可过D分别作AB、AC的垂线，得到两个三角形对应底边上的高，利用三角形面积公式即可推出两条高相等，进而证明结论。
【解析】
证明：过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M, DN ⊥ AC$ 于点 $N$，
则$DM$是$△ DBF$中$BF$边上的高，$DN$是$△ DCE$中$CE$边上的高。
$\because S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$，
$\therefore \frac{1}{2}· BF· DM=\frac{1}{2}· CE· DN$，
又$\because CE=BF$，
$\therefore DM=DN$。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点$D$在$∠ BAC$ 的平分线上，即 $AD$ 平分$∠ BAC$。
【答案】
$AD$平分$∠BAC$
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是结合已知面积相等的条件，构造点D到角两边的垂线段，将求证角平分线的问题转化为证明两条垂线段长度相等的问题，是角平分线判定的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点D，B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE ⊥ AD，CF ⊥ AB，垂足分别为点E，F.求证：CE=CF.
答案
连接 $AC. \because AB = AD, BC = DC, AC = AC,$ $\therefore △ ABC ≌ △ ADC. \therefore ∠ DAC = ∠ BAC.$ 又 $\because CE ⊥ AD, CF ⊥ AB, \therefore CE = CF$
解析
【分析】
要证明CE=CF，可联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点C在∠A的角平分线上，即AC平分∠BAD。要得到AC平分∠BAD，可证明∠DAC和∠BAC相等，这两个角分别在△ADC和△ABC中，已知AB=AD、BC=DC，再加上公共边AC，即可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到角相等的结论，最终推导得到CE=CF。
【解析】
证明：连接$AC$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BAC$，即$AC$平分$∠ BAD$。
又$\because CE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CE=CF$。
【答案】
$CE=CF$，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将角相等的证明转化为三角形全等的证明，再结合角平分线的性质即可得到线段相等的结论，需掌握辅助线的合理构造方法。
【难度系数】
0.8
要证明CE=CF，可联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点C在∠A的角平分线上，即AC平分∠BAD。要得到AC平分∠BAD，可证明∠DAC和∠BAC相等，这两个角分别在△ADC和△ABC中，已知AB=AD、BC=DC，再加上公共边AC，即可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到角相等的结论，最终推导得到CE=CF。
【解析】
证明：连接$AC$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BAC$，即$AC$平分$∠ BAD$。
又$\because CE ⊥ AD$，$CF ⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CE=CF$。
【答案】
$CE=CF$，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将角相等的证明转化为三角形全等的证明，再结合角平分线的性质即可得到线段相等的结论，需掌握辅助线的合理构造方法。
【难度系数】
0.8
