6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=40°$,按以下步骤作图：
① 以点$A$为圆心、小于$AC$长为半径画弧,分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$；
② 分别以点$E$,$F$为圆心、大于$\frac{1}{2}EF$长为半径画弧,两弧相交于点$G$；
③ 作射线$AG$,交边$BC$于点$D$.
则$∠ ADC$的度数为.

6. 65°

【分析】
首先根据题中的作图步骤判断出射线AG是∠BAC的角平分线；接下来利用三角形内角和定理，在Rt△ABC中计算出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CAD的度数；最后在Rt△ACD中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=180°-90°-40°=50°$，
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
在Rt△ACD中，∠C=90°，直角三角形两锐角互余，
∴$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是准确识别角平分线的尺规作图，再结合三角形内角和、直角三角形的性质逐步计算即可，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法.
(1) 如图(1),点 P 在直线 MN 上,作直线 MN 的垂线 PQ;
(2) 如图(2),作出△ABC 的边 BC 上的高 AD.

解：
(1) 按尺规作图规范，以点P为圆心任意长为半径画弧交直线MN于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于MN外一点Q，作直线PQ，PQ⊥MN，保留全部圆弧、交点等作图痕迹，直线PQ即为所求。
(2) 按尺规作图规范，以点A为圆心适当长为半径画弧交直线BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC另一侧的点，连接该点与A交直线BC于点D，AD⊥BC，保留全部圆弧、交点等作图痕迹，线段AD即为所求的△ABC边BC上的高。

【分析】
(1) 第一问要求过直线上的点P作直线MN的垂线，可利用作线段垂直平分线的思路操作：先以P为圆心画弧，在MN上得到关于P对称的两个点，再作这两点的垂直平分线，所得直线就过P且垂直于MN。
(2) 第二问作△ABC边BC上的高，本质是过直线BC外的点A作BC的垂线，垂足为D，线段AD就是高，操作思路和作垂线一致，只需注意最终得到的是顶点A到垂足D的线段。
【解析】
(1) ①以点P为圆心，任意长为半径画弧，与直线MN交于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于直线MN外一点Q；③过P、Q作直线PQ，即为所求垂线。
(2) ①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，与直线BC交于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于BC的另一侧；③连接点A与该交点，交直线BC于点D，线段AD即为所求的BC边上的高。
（作图需保留所有圆弧、交点等痕迹）
【答案】
(1) 直线PQ即为所求；
(2) 线段AD即为所求。
【知识点】
尺规作垂线，三角形的高
【点评】
本题属于基础尺规作图题，重点考查过直线上、直线外一点作已知直线垂线的操作方法，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不能随意擦除辅助圆弧和交点标记。
【难度系数】
0.8

8. 如图，点D在$△ ABC$的边AB上，且$∠ A = ∠ ACD$.
（1）用直尺和圆规作$∠ BDC$的平分线DE，交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程.

(1) 图略 (2) $DE // AC$. 证明：$\because ∠A = ∠ACD, \therefore ∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2∠A. \because DE$ 平分 $∠BDC, \therefore ∠BDC = 2∠BDE. \therefore ∠BDE = ∠A. \therefore DE // AC$

【分析】
（1）第一问为尺规作图题，需作∠BDC的角平分线，回忆角平分线的尺规作图步骤：以点D为圆心取适当长度为半径画弧，分别与DB、DC交于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BDC内部的交点与D连接得到的射线就是∠BDC的平分线，交BC于点E即可，作图保留痕迹无需写作法。
（2）第二问判断DE与AC的位置关系，首先可直观猜想为平行，接下来结合已知条件推导：已知∠A=∠ACD，根据三角形外角性质，△ADC的外角∠BDC等于不相邻两个内角和，即∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A；再结合DE平分∠BDC可得∠BDC=2∠BDE，等量代换后得到同位角∠BDE=∠A，即可推出两直线平行。
【解析】
（1）按照角平分线的尺规作图方法作出DE，保留作图痕迹即可，图略。
（2）证明过程如下：
∵ ∠A = ∠ACD，且∠BDC是△ADC的外角
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2∠A
∵ DE平分∠BDC
∴ ∠BDC = 2∠BDE
∴ 等量代换可得∠BDE = ∠A
∴ DE//AC（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) 图略
(2) $DE // AC$，证明：$\because ∠A = ∠ACD, \therefore ∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2∠A. \because DE$ 平分 $∠BDC, \therefore ∠BDC = 2∠BDE. \therefore ∠BDE = ∠A. \therefore DE // AC$
【知识点】
尺规作角平分线；三角形外角性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了三角形外角性质、平行线判定定理的运用，解题核心是熟练掌握基础作图规则，能通过角的等量代换得到平行的判定条件。
【难度系数】
0.8