1. 有下列三角形：① 有两个角等于$60°$的三角形；② 有一个角等于$60°$的等腰三角形；③ 三个角都相等的三角形；④ 三边都相等的三角形。其中是等边三角形的有()。

A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④

1. D

【分析】
解决本题需要先明确等边三角形的定义及常见判定定理，再逐一验证题干给出的4种三角形是否满足等边三角形的判定条件即可。首先回忆等边三角形的核心判定依据：一是三边相等的三角形是等边三角形；二是三个内角都相等的三角形是等边三角形；三是有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，结合三角形内角和为180°的性质逐个分析即可。
【解析】
我们逐一分析4种情况：
① 已知三角形有两个角等于60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为$180°-60°-60°=60°$，即该三角形三个角都相等，符合等边三角形的判定，是等边三角形；
② 有一个角等于60°的等腰三角形，符合等边三角形的判定定理，无论这个60°的角是顶角还是底角，都可推出剩余两个角也为60°，是等边三角形；
③ 三个角都相等的三角形，每个角均为$180°÷3=60°$，满足等边三角形的判定，是等边三角形；
④ 三边都相等的三角形是等边三角形的定义，属于等边三角形。
综上，①②③④描述的都是等边三角形，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形判定规则的掌握，只要熟记相关定义和判定定理即可快速得出答案，是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.9

2. 下列推理错误的是().

A.∵ ∠A=∠B=∠C，∴ △ABC 是等边三角形
B.∵ AB=AC，且∠B=∠C，∴ △ABC 是等边三角形
C.∵ ∠A=60°，∠B=60°，∴ △ABC 是等边三角形
D.∵ AB=AC，∠B=60°，∴ △ABC 是等边三角形

2. B

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时需先回忆等边三角形的常见判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来结合上述判定定理逐一分析每个选项的推理是否成立，即可找出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知∠A=∠B=∠C，说明三角形三个内角相等，根据判定定理“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可推出△ABC是等边三角形，推理正确，不符合题意。
B选项：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就有∠B=∠C，这两个条件叠加仅能证明△ABC是等腰三角形，无法证明三边相等或有一个角为60°，不能推出是等边三角形，推理错误，符合题意。
C选项：已知∠A=60°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角都为60°，因此△ABC是等边三角形，推理正确，不符合题意。
D选项：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，又已知∠B=60°，根据判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可推出△ABC是等边三角形，推理正确，不符合题意。
综上，推理错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，做题时要注意不要把等腰三角形本身固有的性质当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8

3. 在如图所示的三角形中，若$AB=AC$，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是().
① ③

A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③

3. D

【分析】
已知三个三角形均满足AB=AC，即都是等腰三角形，需逐一判断每个三角形能否被一条直线分割为两个小等腰三角形。解题思路：先根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°计算出每个三角形的底角度数，再分别尝试从顶角或底角作直线，验证分割出的两个三角形是否都满足“有两个内角相等”的等腰三角形判定条件即可。
【解析】
因为AB=AC，因此三个三角形均为等腰三角形，分别分析如下：
1. 分析图①：顶角∠A=36°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。
过点B作直线BD，使$∠ ABD=36°$，交AC于点D：
在$△ ABD$中，$∠ A=∠ ABD=36°$，可得AD=BD，$△ ABD$是等腰三角形；
$∠ BDC$是$△ ABD$的外角，$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72°=∠ C$，可得BD=BC，$△ BDC$是等腰三角形，因此①符合要求。
2. 分析图②：顶角∠A=45°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-45°)÷2=67.5°$。
无论从顶角分割还是从底角分割，都无法使得到的两个小三角形同时满足有两个内角相等，即无法分割出两个等腰三角形，因此②不符合要求。
3. 分析图③：顶角∠A=90°，则底角$∠ B=∠ C=(180°-90°)÷2=45°$。
过点A作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D：
$∠ BAD=∠ CAD=45°=∠ B=∠ C$，可得AD=BD、AD=CD，$△ ABD$和$△ ACD$均为等腰三角形，因此③符合要求。
综上，①③满足要求，答案选D。
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质与判定，解题的核心是熟练运用等腰三角形“等角对等边、等边对等角”的性质，结合三角形内角和、外角性质尝试分割验证即可。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是$△ ABC$的角平分线，$DE // BC$交$AC$于点$E$，若$DE＝7\ \mathrm{cm}$，$AE＝5\ \mathrm{cm}$，则$AC＝\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

4. 12

【分析】
解题时先结合已知条件推导角的关系：首先由角平分线定义得到一组等角，再根据平行线的内错角相等得到另一组等角，通过等量代换推出△EDC为等腰三角形，得到EC与DE相等，最后将AE和EC相加即可求出AC的长度。
【解析】
∵ CD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BCD = ∠DCE，
∵ DE // BC，
∴ ∠BCD = ∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EDC = ∠DCE，
∴ △EDC是等腰三角形，EC = DE，
已知DE = 7 cm，AE = 5 cm，
∴ AC = AE + EC = AE + DE = 5 + 7 = 12 cm。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查“角平分线+平行线”的常见几何模型，该模型可直接推出等腰三角形，熟练掌握这类常用模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=12\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC=30°$，那么$△ ABC$的边$BC$上的高$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

5. 6

【分析】
首先由AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°。已知∠ABC=30°，AB=12cm，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，30°角∠ABC对的直角边是AD，斜边是AB，直接代入数值即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，AB=12cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；三角形高的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是明确AD为30°角所对的直角边，准确应用含30°角的直角三角形的边长关系即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8