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6. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4 cm，面积是12 cm²，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为
8
cm. 答案
6. 8
解析
【分析】
要计算△BDM周长的最小值，首先拆分周长：△BDM的周长=BD+DM+BM，其中BD是定值（D为BC中点，BC长固定），因此只需找到DM+BM的最小值即可。首先利用线段垂直平分线的性质：EF是AB的垂直平分线，因此线段EF上任意一点M到A、B的距离相等，即BM=AM，由此可将DM+BM转化为DM+AM。根据“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。再结合等腰三角形“三线合一”的性质可知AD是BC边上的高，利用三角形面积公式即可求出AD的长度，最终计算出最小周长。
【解析】
1. 计算定值BD：
∵ BC=4cm，D为BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=2\mathrm{cm}$，且等腰△ABC中，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
2. 求AD的长度：
已知$S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×BC×AD=12$，代入BC=4cm，
即$\frac{1}{2}×4×AD=12$，解得$AD=6\mathrm{cm}$。
3. 求DM+BM的最小值：
∵ EF是AB的垂直平分线，点M在EF上，
∴ BM=AM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ $BM+DM=AM+DM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，AM+DM取得最小值，最小值为AD的长度6cm。
4. 计算最小周长：
△BDM周长的最小值 = BD + (BM+DM)的最小值 = $2+6=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型题型，解题核心是通过线段垂直平分线的性质将待求的线段和进行转化，再结合等腰三角形的性质求出相关线段长度，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算△BDM周长的最小值，首先拆分周长：△BDM的周长=BD+DM+BM，其中BD是定值（D为BC中点，BC长固定），因此只需找到DM+BM的最小值即可。首先利用线段垂直平分线的性质：EF是AB的垂直平分线，因此线段EF上任意一点M到A、B的距离相等，即BM=AM，由此可将DM+BM转化为DM+AM。根据“两点之间线段最短”，当A、M、D三点共线时，DM+AM取得最小值，最小值为线段AD的长度。再结合等腰三角形“三线合一”的性质可知AD是BC边上的高，利用三角形面积公式即可求出AD的长度，最终计算出最小周长。
【解析】
1. 计算定值BD：
∵ BC=4cm，D为BC的中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=2\mathrm{cm}$，且等腰△ABC中，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
2. 求AD的长度：
已知$S_{△ ABC}=12\mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×BC×AD=12$，代入BC=4cm，
即$\frac{1}{2}×4×AD=12$，解得$AD=6\mathrm{cm}$。
3. 求DM+BM的最小值：
∵ EF是AB的垂直平分线，点M在EF上，
∴ BM=AM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ $BM+DM=AM+DM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，AM+DM取得最小值，最小值为AD的长度6cm。
4. 计算最小周长：
△BDM周长的最小值 = BD + (BM+DM)的最小值 = $2+6=8\mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题属于轴对称最短路径的典型题型，解题核心是通过线段垂直平分线的性质将待求的线段和进行转化，再结合等腰三角形的性质求出相关线段长度，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且$∠ QPN＝30°$，在点A 处有一所中学，$AP＝160\ \mathrm{m}$. 假设拖拉机行驶时周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪声影响？请你说明理由.
7. 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且$∠ QPN＝30°$，在点A 处有一所中学，$AP＝160\ \mathrm{m}$. 假设拖拉机行驶时周围100 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪声影响？请你说明理由.
答案
7. 提示：作AB⊥MN于点B，则AB的长为点A到道路MN的最短距离.在Rt△APB中，AB=80 m＜100 m，所以学校会受到噪声影响
解析
【分析】
要判断学校是否受噪声影响，本质是比较学校A到公路MN的最短距离和100m的大小关系：若最短距离小于100m就会受影响，反之则不受。根据“垂线段最短”的性质，过A作MN的垂线段，该垂线段就是A到MN的最短距离，再结合已知的30°角和AP的长度，利用含30°角的直角三角形的性质算出垂线段长度，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B，此时AB是点A到公路MN的最短距离。
在Rt△APB中，∠APB=∠QPN=30°，AP=160m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$AB=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80\ \mathrm{m}$
∵$80\ \mathrm{m}＜100\ \mathrm{m}$
∴学校会受到噪声影响。
【答案】
学校会受到噪声影响，理由见解析。
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于几何实际应用题，核心是将生活场景转化为数学模型求解，解题的关键是正确作出垂线段找到最短距离，结合特殊直角三角形的性质快速计算，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断学校是否受噪声影响，本质是比较学校A到公路MN的最短距离和100m的大小关系：若最短距离小于100m就会受影响，反之则不受。根据“垂线段最短”的性质，过A作MN的垂线段，该垂线段就是A到MN的最短距离，再结合已知的30°角和AP的长度，利用含30°角的直角三角形的性质算出垂线段长度，最后比较大小即可得出结论。
【解析】
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B，此时AB是点A到公路MN的最短距离。
在Rt△APB中，∠APB=∠QPN=30°，AP=160m，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$AB=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80\ \mathrm{m}$
∵$80\ \mathrm{m}＜100\ \mathrm{m}$
∴学校会受到噪声影响。
【答案】
学校会受到噪声影响，理由见解析。
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于几何实际应用题，核心是将生活场景转化为数学模型求解，解题的关键是正确作出垂线段找到最短距离，结合特殊直角三角形的性质快速计算，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$△ ABC$是等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，$AD=BE=CF$，则$△ DEF$是等边三角形吗？请说明理由。
答案
△DEF是等边三角形.理由：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA.又
∵ AD=BE=CF，
∴ DB=EC=FA.
∴ △ADF≌△BED≌△CFE.
∴ FD=DE=EF，即△DEF是等边三角形
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA.又
∵ AD=BE=CF，
∴ DB=EC=FA.
∴ △ADF≌△BED≌△CFE.
∴ FD=DE=EF，即△DEF是等边三角形
解析
【分析】
要判断△DEF是否为等边三角形，可通过证明其三边相等来判定。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC的三个内角相等、三条边相等，结合已知AD=BE=CF，可推出AB-AD=BC-BE=AC-CF，即DB=EC=FA，再根据全等三角形的判定定理证明△ADF、△BED、△CFE两两全等，由全等三角形对应边相等得到FD=DE=EF，即可得出结论。
【解析】
△DEF是等边三角形，理由：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ DB=EC=FA。
∴ △ADF≌△BED≌△CFE（SAS）。
∴ FD=DE=EF，即△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等边三角形和全等三角形的综合应用，解题的关键是从等边三角形的边角性质出发，结合已知相等线段推导全等条件，进而得到待证三角形的三边关系，有助于巩固相关几何性质和证明的规范书写能力。
【难度系数】
0.7
要判断△DEF是否为等边三角形，可通过证明其三边相等来判定。首先利用等边三角形的性质，得到△ABC的三个内角相等、三条边相等，结合已知AD=BE=CF，可推出AB-AD=BC-BE=AC-CF，即DB=EC=FA，再根据全等三角形的判定定理证明△ADF、△BED、△CFE两两全等，由全等三角形对应边相等得到FD=DE=EF，即可得出结论。
【解析】
△DEF是等边三角形，理由：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ DB=EC=FA。
∴ △ADF≌△BED≌△CFE（SAS）。
∴ FD=DE=EF，即△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等边三角形和全等三角形的综合应用，解题的关键是从等边三角形的边角性质出发，结合已知相等线段推导全等条件，进而得到待证三角形的三边关系，有助于巩固相关几何性质和证明的规范书写能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,DC=6 cm.求BD的长.
答案
∵ AB=AC,∠BAC=120°,
∴ ∠B=∠C=30°.
∵ ∠C=30°, AD ⊥ AC, DC=6 cm,
∴ AD=1/2 CD=3 cm, ∠ADC=60°.
∴ ∠BAD=∠B=30°.
∴ BD=AD=3 cm
解析
【分析】
首先，已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且顶角∠BAC=120°，可先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出两个底角∠B、∠C的度数；接下来由AD⊥AC得到Rt△ADC，结合∠C=30°的条件，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长度；最后通过角度计算推出∠BAD=∠B，再根据等角对等边的性质得到BD=AD，即可求出BD的长度。
【解析】
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。
∵ AD⊥AC，即∠DAC=90°，DC=6 cm，∠C=30°，
∴ AD=½CD=3 cm，∠ADC=90°-30°=60°。
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAC=120°-90°=30°，
∴ ∠BAD=∠B=30°，
∴ BD=AD=3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于基础的几何综合题，综合考查了等腰三角形的判定与性质、特殊直角三角形的性质，解题的关键是通过角度计算找到相等的角，进而得到边的等量关系，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
首先，已知△ABC是等腰三角形（AB=AC）且顶角∠BAC=120°，可先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，求出两个底角∠B、∠C的度数；接下来由AD⊥AC得到Rt△ADC，结合∠C=30°的条件，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长度；最后通过角度计算推出∠BAD=∠B，再根据等角对等边的性质得到BD=AD，即可求出BD的长度。
【解析】
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。
∵ AD⊥AC，即∠DAC=90°，DC=6 cm，∠C=30°，
∴ AD=½CD=3 cm，∠ADC=90°-30°=60°。
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAC=120°-90°=30°，
∴ ∠BAD=∠B=30°，
∴ BD=AD=3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于基础的几何综合题，综合考查了等腰三角形的判定与性质、特殊直角三角形的性质，解题的关键是通过角度计算找到相等的角，进而得到边的等量关系，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
