登录
三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上.求证：$BE=CE$.
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上.求证：$BE=CE$.
答案
证明：
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
解析
【分析】
首先从已知条件入手，由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合D是BC的中点，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直且平分BC；再观察到点E在AD上，对应线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可推导出BE=CE。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又
∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
【答案】
证明：
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又
∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查对等腰三角形三线合一、线段垂直平分线性质的理解与应用，解题时需先根据已知条件推导得到线段的垂直平分线，再结合对应性质即可完成证明，需熟练掌握相关几何性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件入手，由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合D是BC的中点，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直且平分BC；再观察到点E在AD上，对应线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可推导出BE=CE。
【解析】
证明：
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又
∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
【答案】
证明：
∵ $AB = AC$，$D$是$BC$的中点，
∴ $AD⊥ BC$，$BD = CD$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合），
即$AD$垂直平分$BC$。
又
∵ 点$E$在$AD$上，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查对等腰三角形三线合一、线段垂直平分线性质的理解与应用，解题时需先根据已知条件推导得到线段的垂直平分线，再结合对应性质即可完成证明，需熟练掌握相关几何性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
8. 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD. 求证：F是边CD的中点.
答案
证明：
连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
∴ AC = AD。
又∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD。
∴ F是边CD的中点。
连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
∴ AC = AD。
又∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD。
∴ F是边CD的中点。
解析
【分析】
要证明F是CD的中点，即需证CF=FD。已知AF⊥CD，若能推出△ACD是等腰三角形（AC=AD），就可利用等腰三角形三线合一的性质得到CF=FD。观察已知条件有AB=AE、∠B=∠E、BC=ED，可先连接AC、AD，通过证明△ABC≌△AED得到AC=AD，再推导结论即可。
【解析】
证明：连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）
∴ AC = AD，即△ACD为等腰三角形。
又
∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD，
∴ F是边CD的中点。
【答案】
证明：连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
∴ AC = AD。
又
∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD。
∴ F是边CD的中点。
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形结合的典型基础题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，再结合等腰三角形性质完成证明，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
要证明F是CD的中点，即需证CF=FD。已知AF⊥CD，若能推出△ACD是等腰三角形（AC=AD），就可利用等腰三角形三线合一的性质得到CF=FD。观察已知条件有AB=AE、∠B=∠E、BC=ED，可先连接AC、AD，通过证明△ABC≌△AED得到AC=AD，再推导结论即可。
【解析】
证明：连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）
∴ AC = AD，即△ACD为等腰三角形。
又
∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD，
∴ F是边CD的中点。
【答案】
证明：连接AC、AD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ B=∠ E \\ BC=ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
∴ AC = AD。
又
∵ AF ⊥ CD，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得CF = FD。
∴ F是边CD的中点。
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形结合的典型基础题，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，再结合等腰三角形性质完成证明，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$中，$AC=2AB$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$E$是$AD$上一点，且$EA=EC$. 求证：$EB ⊥ AB$.
答案
证明：过点E作EF⊥AC于点F。
∵ EA = EC，EF⊥AC，
∴ AF = FC = $\frac{1}{2}$AC（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AC = 2AB，
∴ AB = $\frac{1}{2}$AC，
∴ AB = AF。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠FAE。
在△ABE和△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AF \\∠BAE = ∠FAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △AFE（SAS）。
∴ ∠ABE = ∠AFE = 90°，
∴ EB ⊥ AB。
∵ EA = EC，EF⊥AC，
∴ AF = FC = $\frac{1}{2}$AC（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AC = 2AB，
∴ AB = $\frac{1}{2}$AC，
∴ AB = AF。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠FAE。
在△ABE和△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AF \\∠BAE = ∠FAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △AFE（SAS）。
∴ ∠ABE = ∠AFE = 90°，
∴ EB ⊥ AB。
解析
【分析】
要证明$EB⊥AB$，本质是要证$∠ABE=90°$。首先观察已知条件$EA=EC$，属于等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此先过点$E$作$AC$的垂线，即可得到$AF$等于$AC$的一半；结合$AC=2AB$的条件，可推导出$AB=AF$；再结合$AD$平分$∠BAC$可得一组相等的角，加上公共边$AE$，就能通过SAS证明$△ ABE$和$△ AFE$全等，利用全等三角形对应角相等，即可得到$∠ABE=90°$，完成证明。
【解析】
证明：过点E作$EF⊥AC$于点F。
∵ $EA = EC$，$EF⊥AC$，
∴ $AF = FC = \frac{1}{2}AC$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ $AC = 2AB$，
∴ $AB = \frac{1}{2}AC$，
∴ $AB = AF$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE = ∠FAE$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AF \\∠BAE = ∠FAE \\AE = AE\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ AFE$（SAS）。
∴ $∠ABE = ∠AFE = 90°$，
∴ $EB ⊥ AB$。
【答案】
$EB⊥AB$，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何证明的常见题型，解题的核心是合理构造辅助线，结合等腰三角形性质得到相等线段，再通过全等三角形转化角度关系，能够有效考查逻辑推理能力和几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
要证明$EB⊥AB$，本质是要证$∠ABE=90°$。首先观察已知条件$EA=EC$，属于等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此先过点$E$作$AC$的垂线，即可得到$AF$等于$AC$的一半；结合$AC=2AB$的条件，可推导出$AB=AF$；再结合$AD$平分$∠BAC$可得一组相等的角，加上公共边$AE$，就能通过SAS证明$△ ABE$和$△ AFE$全等，利用全等三角形对应角相等，即可得到$∠ABE=90°$，完成证明。
【解析】
证明：过点E作$EF⊥AC$于点F。
∵ $EA = EC$，$EF⊥AC$，
∴ $AF = FC = \frac{1}{2}AC$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ $AC = 2AB$，
∴ $AB = \frac{1}{2}AC$，
∴ $AB = AF$。
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE = ∠FAE$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AF \\∠BAE = ∠FAE \\AE = AE\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ AFE$（SAS）。
∴ $∠ABE = ∠AFE = 90°$，
∴ $EB ⊥ AB$。
【答案】
$EB⊥AB$，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何证明的常见题型，解题的核心是合理构造辅助线，结合等腰三角形性质得到相等线段，再通过全等三角形转化角度关系，能够有效考查逻辑推理能力和几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.7
