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10. 如图30.3-6，$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，五边形$ADEFG$是$\odot O$的内接正五边形. 若线段$BE$恰好是$\odot O$的一个内接正多边形的一条边，则该正多边形的边数为（
A.15
B.16
C.17
D.18
图30.3-6
图30.3-7
A
）.A.15
B.16
C.17
D.18
图30.3-6
图30.3-7
答案
10. A
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用“同圆中内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$”的性质。我们先分别求出正三角形、正五边形各边对应的中心角，再计算出线段BE对应的圆心角（即BE作为边的正多边形的中心角），最后用$360°$除以该中心角，就能得到对应正多边形的边数。
【解析】
设$\odot O$的圆心为$O$，连接$OA$、$OB$、$OE$。
1. 因为$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，所以它的中心角$∠ AOB = 360°÷3 = 120°$；
2. 因为五边形$ADEFG$是$\odot O$的内接正五边形，所以单条边对应的中心角为$360°÷5 = 72°$，弧$AE$对应2条正五边形的边，因此$∠ AOE = 2×72° = 144°$；
3. 则弧$BE$对应的中心角$∠ BOE = ∠ AOE - ∠ AOB = 144° - 120° = 24°$；
4. 若$BE$是某内接正多边形的边，则该正多边形的中心角为$24°$，因此边数$n = 360°÷24° = 15$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的典型应用题型，解题的关键是找准所求线段对应的圆心角，熟练掌握正n边形中心角的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.65
要解决本题，核心是利用“同圆中内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$”的性质。我们先分别求出正三角形、正五边形各边对应的中心角，再计算出线段BE对应的圆心角（即BE作为边的正多边形的中心角），最后用$360°$除以该中心角，就能得到对应正多边形的边数。
【解析】
设$\odot O$的圆心为$O$，连接$OA$、$OB$、$OE$。
1. 因为$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，所以它的中心角$∠ AOB = 360°÷3 = 120°$；
2. 因为五边形$ADEFG$是$\odot O$的内接正五边形，所以单条边对应的中心角为$360°÷5 = 72°$，弧$AE$对应2条正五边形的边，因此$∠ AOE = 2×72° = 144°$；
3. 则弧$BE$对应的中心角$∠ BOE = ∠ AOE - ∠ AOB = 144° - 120° = 24°$；
4. 若$BE$是某内接正多边形的边，则该正多边形的中心角为$24°$，因此边数$n = 360°÷24° = 15$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，中心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆章节的典型应用题型，解题的关键是找准所求线段对应的圆心角，熟练掌握正n边形中心角的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.65
11. 如图30.3-7，圆心O恰好为正六边形ABCDEF的中心，已知AB=12，$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$，现将$\odot O$在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形ABCDEF的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为$d$，则$d$的取值范围是
$5\sqrt{3}≤ d≤ 10$
.答案
11. $5\sqrt{3}≤ d≤ 10$
解析
【分析】
解题时先利用正六边形的性质求出其边心距（中心到各边的垂直距离）和外接圆半径（中心到顶点的距离）。平移距离的最小值对应圆心沿垂直于某条边的方向平移到与该边相切的情况，此时平移距离等于边心距减去圆的半径；平移距离的最大值对应圆心沿相邻两边的角平分线（即中心到顶点的连线）平移到与这两条相邻边同时相切的情况，结合角平分线的性质和三角函数求出此时的平移距离，最终即可得到d的取值范围。
【解析】
1. 计算正六边形的基本参数：
正六边形边长为12，可划分为6个边长为12的等边三角形，因此：
外接圆半径（中心O到顶点的距离）=边长=12；
边心距（中心O到任意一边的垂直距离）=等边三角形的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}×12=6\sqrt{3}$。
2. 求最小平移距离：
当圆沿垂直于某条边的方向平移到与该边相切时，平移距离最小，此时圆心到边的距离等于圆半径$\sqrt{3}$，则：
$d_{min}=6\sqrt{3}-\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。
3. 求最大平移距离：
当圆沿相邻两边的角平分线（中心到对应顶点的连线）平移到与两条相邻边同时相切时，平移距离最大。
正六边形内角为120°，设新圆心为$O'$，$O'$到两条相邻边的距离均为$\sqrt{3}$，则$O'$到对应顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，因此：
$d_{max}=12-2=10$。
综上，平移距离d的取值范围是$5\sqrt{3}≤d≤10$。
【答案】
$5\sqrt{3}≤d≤10$
【知识点】
正六边形的性质；直线与圆相切的判定；平移的性质
【点评】
本题综合考查平面几何的多个基础知识点，需要学生结合图形分析出平移距离取最值的两种临界情况，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先利用正六边形的性质求出其边心距（中心到各边的垂直距离）和外接圆半径（中心到顶点的距离）。平移距离的最小值对应圆心沿垂直于某条边的方向平移到与该边相切的情况，此时平移距离等于边心距减去圆的半径；平移距离的最大值对应圆心沿相邻两边的角平分线（即中心到顶点的连线）平移到与这两条相邻边同时相切的情况，结合角平分线的性质和三角函数求出此时的平移距离，最终即可得到d的取值范围。
【解析】
1. 计算正六边形的基本参数：
正六边形边长为12，可划分为6个边长为12的等边三角形，因此：
外接圆半径（中心O到顶点的距离）=边长=12；
边心距（中心O到任意一边的垂直距离）=等边三角形的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}×12=6\sqrt{3}$。
2. 求最小平移距离：
当圆沿垂直于某条边的方向平移到与该边相切时，平移距离最小，此时圆心到边的距离等于圆半径$\sqrt{3}$，则：
$d_{min}=6\sqrt{3}-\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。
3. 求最大平移距离：
当圆沿相邻两边的角平分线（中心到对应顶点的连线）平移到与两条相邻边同时相切时，平移距离最大。
正六边形内角为120°，设新圆心为$O'$，$O'$到两条相邻边的距离均为$\sqrt{3}$，则$O'$到对应顶点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，因此：
$d_{max}=12-2=10$。
综上，平移距离d的取值范围是$5\sqrt{3}≤d≤10$。
【答案】
$5\sqrt{3}≤d≤10$
【知识点】
正六边形的性质；直线与圆相切的判定；平移的性质
【点评】
本题综合考查平面几何的多个基础知识点，需要学生结合图形分析出平移距离取最值的两种临界情况，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12. 如图30.3-8，$\odot O$的半径为$R$，六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形.
（1）求$∠ OGF$的度数；
（2）求正六边形与正方形的面积比.
（1）求$∠ OGF$的度数；
（2）求正六边形与正方形的面积比.
答案
12. 解：(1) 如图，连接OE.
∵⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形，
∴∠EOF=$\frac{360°}{6}$=60°，OE=OF，EF=FG.
∴△OEF是等边三角形.
∴OF=EF=FG，∠OFE=60°.
∴△OFG是等腰三角形.
∵∠EFG=90°，∠OFE=60°，
∴∠OFG=150°.
∴∠OGF=$\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$.
(2) 如图，过点O作OM⊥EF，垂足为M.
设正六边形的边长为a.
∴△EOF是边长为a的等边三角形.
∴EF=a，∠EOM=$\frac{1}{2}$∠EOF=30°.
∴正方形EFGH的面积为$a^2$，ME=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}a$.
∴在Rt△OME中，根据勾股定理，可得OM=$\sqrt{OE^2-ME^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
∴正六边形的面积为$6×\frac{1}{2}· a· \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2$.
解析
【分析】
（1）求∠OGF的度数思路：首先回忆圆内接正六边形的性质，其中心角为$360°÷6=60°$，且外接圆半径等于正六边形的边长，因此可推出$△ OEF$是等边三角形，得到$OF=EF$；结合正方形边长相等的性质可得$OF=FG$，即$△ OFG$为等腰三角形；再计算顶角$∠ OFG$的度数：等边三角形内角$∠ OFE=60°$，正方形内角$∠ EFG=90°$，因此$∠ OFG=60°+90°=150°$，最后根据等腰三角形内角和性质即可求出底角$∠ OGF$的度数。
（2）求面积比思路：正六边形的面积可拆分为6个全等的等边三角形的面积之和，正方形面积等于边长的平方，设正六边形边长为$a$，先利用勾股定理求出单个等边三角形的高，计算出6个等边三角形的总面积即正六边形面积，再计算正方形面积，最后作比化简即可。
【解析】
(1) 如图，连接$OE$.
∵$\odot O$的半径为$R$，六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形，
∴$∠ EOF=\frac{360°}{6}=60°$，$OE=OF$，$EF=FG$.
∴$△ OEF$是等边三角形.
∴$OF=EF=FG$，$∠ OFE=60°$.
∴$△ OFG$是等腰三角形.
∵$∠ EFG=90°$，$∠ OFE=60°$，
∴$∠ OFG=60°+90°=150°$.
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$.
(2) 如图，过点$O$作$OM⊥ EF$，垂足为$M$.
设正六边形的边长为$a$.
∴$△ EOF$是边长为$a$的等边三角形.
∴$EF=a$，$∠ EOM=\frac{1}{2}∠ EOF=30°$.
∴正方形$EFGH$的面积为$a^2$，$ME=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}a$.
∴在$Rt△ OME$中，根据勾股定理，可得$OM=\sqrt{OE^2-ME^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
∴正六边形的面积为$6×\frac{1}{2}· a· \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$
(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}:2}$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合圆内接正六边形、正方形的性质考查角度计算和面积比求解，解题的核心是利用正六边形边长等于外接圆半径的特性，建立线段、角度之间的等量关系，能很好地考查对正多边形相关性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求∠OGF的度数思路：首先回忆圆内接正六边形的性质，其中心角为$360°÷6=60°$，且外接圆半径等于正六边形的边长，因此可推出$△ OEF$是等边三角形，得到$OF=EF$；结合正方形边长相等的性质可得$OF=FG$，即$△ OFG$为等腰三角形；再计算顶角$∠ OFG$的度数：等边三角形内角$∠ OFE=60°$，正方形内角$∠ EFG=90°$，因此$∠ OFG=60°+90°=150°$，最后根据等腰三角形内角和性质即可求出底角$∠ OGF$的度数。
（2）求面积比思路：正六边形的面积可拆分为6个全等的等边三角形的面积之和，正方形面积等于边长的平方，设正六边形边长为$a$，先利用勾股定理求出单个等边三角形的高，计算出6个等边三角形的总面积即正六边形面积，再计算正方形面积，最后作比化简即可。
【解析】
(1) 如图，连接$OE$.
∵$\odot O$的半径为$R$，六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形，
∴$∠ EOF=\frac{360°}{6}=60°$，$OE=OF$，$EF=FG$.
∴$△ OEF$是等边三角形.
∴$OF=EF=FG$，$∠ OFE=60°$.
∴$△ OFG$是等腰三角形.
∵$∠ EFG=90°$，$∠ OFE=60°$，
∴$∠ OFG=60°+90°=150°$.
∴$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$.
(2) 如图，过点$O$作$OM⊥ EF$，垂足为$M$.
设正六边形的边长为$a$.
∴$△ EOF$是边长为$a$的等边三角形.
∴$EF=a$，$∠ EOM=\frac{1}{2}∠ EOF=30°$.
∴正方形$EFGH$的面积为$a^2$，$ME=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}a$.
∴在$Rt△ OME$中，根据勾股定理，可得$OM=\sqrt{OE^2-ME^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
∴正六边形的面积为$6×\frac{1}{2}· a· \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
∴正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$
(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}:2}$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合圆内接正六边形、正方形的性质考查角度计算和面积比求解，解题的核心是利用正六边形边长等于外接圆半径的特性，建立线段、角度之间的等量关系，能很好地考查对正多边形相关性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
