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3. 若一个圆内接正多边形的中心角是$40°$，则这个多边形是（
A.正十边形
B.正九边形
C.正八边形
D.正七边形
B
）。A.正十边形
B.正九边形
C.正八边形
D.正七边形
答案
3. B
解析
【分析】
要确定这个正多边形的边数，首先回忆正多边形与圆的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的大小相等。因此只需用周角的总度数除以单个中心角的度数，就能得到正多边形的边数，进而确定多边形类型。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$，
因为正$n$边形的$n$个中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，
所以单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，
已知该正多边形的中心角为$40°$，代入得：
$\frac{360°}{n}=40°$
解得$n=360°÷40°=9$，即该多边形是正九边形。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，考查正多边形中心角的相关计算，解题关键是牢记正多边形所有中心角之和为360°且每个中心角度数相等的性质。
【难度系数】
0.9
要确定这个正多边形的边数，首先回忆正多边形与圆的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的大小相等。因此只需用周角的总度数除以单个中心角的度数，就能得到正多边形的边数，进而确定多边形类型。
【解析】
设该正多边形的边数为$n$，
因为正$n$边形的$n$个中心角相等，且所有中心角的和为$360°$，
所以单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，
已知该正多边形的中心角为$40°$，代入得：
$\frac{360°}{n}=40°$
解得$n=360°÷40°=9$，即该多边形是正九边形。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；中心角计算
【点评】
本题属于基础题型，考查正多边形中心角的相关计算，解题关键是牢记正多边形所有中心角之和为360°且每个中心角度数相等的性质。
【难度系数】
0.9
4. 若正六边形的半径是3，则该正六边形的边长是（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
C
）。A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先要明确正六边形的半径指的是它的外接圆半径，我们可以通过构造中心三角形推导边长和半径的关系：第一步计算正六边形的中心角，正n边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$；第二步判断连接中心和相邻两个顶点得到的三角形的形状，结合三角形性质即可得到边长和半径的关系。
【解析】
解：正六边形的半径就是它外接圆的半径。
连接正六边形的中心与任意两个相邻的顶点，得到一个三角形：
1. 该三角形的两条边都是外接圆的半径，长度均为3，属于等腰三角形；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即上述等腰三角形的顶角为60°；
3. 根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知该三角形三条边长度相等，因此正六边形的边长等于外接圆的半径。
已知正六边形半径为3，所以它的边长为3。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察正六边形的基本性质，牢记正六边形的边长与外接圆半径相等的结论可以快速解题，是正多边形相关计算的基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正六边形的半径指的是它的外接圆半径，我们可以通过构造中心三角形推导边长和半径的关系：第一步计算正六边形的中心角，正n边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$；第二步判断连接中心和相邻两个顶点得到的三角形的形状，结合三角形性质即可得到边长和半径的关系。
【解析】
解：正六边形的半径就是它外接圆的半径。
连接正六边形的中心与任意两个相邻的顶点，得到一个三角形：
1. 该三角形的两条边都是外接圆的半径，长度均为3，属于等腰三角形；
2. 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即上述等腰三角形的顶角为60°；
3. 根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知该三角形三条边长度相等，因此正六边形的边长等于外接圆的半径。
已知正六边形半径为3，所以它的边长为3。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察正六边形的基本性质，牢记正六边形的边长与外接圆半径相等的结论可以快速解题，是正多边形相关计算的基础考点。
【难度系数】
0.8
5. 如图 30.3-2，正六边形螺帽的边长为 4，则这个螺帽的面积是（
A.$\sqrt{3}$
B.6
C.$24\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
图 30.3-2
图 30.3-3
图 30.3-4
C
）.A.$\sqrt{3}$
B.6
C.$24\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
图 30.3-2
图 30.3-3
图 30.3-4
答案
5. C
解析
【分析】
本题要求正六边形螺帽的面积，解题时可结合正六边形的性质思考：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，因此我们可以通过连接正六边形中心和各个顶点，将正六边形分割为6个全等的等边三角形，那么正六边形的面积就等于6个等边三角形的面积之和。接下来先计算单个边长为4的等边三角形的面积，再乘以6即可得到最终结果。
【解析】
连接正六边形的中心与各个顶点，可将正六边形分为6个边长为4的全等等边三角形。
边长为$a$的等边三角形面积公式为$S_{\mathrm{等边三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，将$a=4$代入得：
单个等边三角形的面积$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$
因此正六边形的面积$S=6× S_1=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形面积求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形面积的计算方法，解题关键是掌握将正六边形转化为多个全等等边三角形的转化思路，这类方法也是解决正多边形相关面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
本题要求正六边形螺帽的面积，解题时可结合正六边形的性质思考：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，因此我们可以通过连接正六边形中心和各个顶点，将正六边形分割为6个全等的等边三角形，那么正六边形的面积就等于6个等边三角形的面积之和。接下来先计算单个边长为4的等边三角形的面积，再乘以6即可得到最终结果。
【解析】
连接正六边形的中心与各个顶点，可将正六边形分为6个边长为4的全等等边三角形。
边长为$a$的等边三角形面积公式为$S_{\mathrm{等边三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，将$a=4$代入得：
单个等边三角形的面积$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$
因此正六边形的面积$S=6× S_1=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；等边三角形面积计算；正多边形面积求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形面积的计算方法，解题关键是掌握将正六边形转化为多个全等等边三角形的转化思路，这类方法也是解决正多边形相关面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
6. 如图30.3-3，点A，B，C，D，E是以点O为中心的正多边形的顶点，若$∠ ADB=18°$，则该正多边形的边数为（
A.7
B.8
C.10
D.11
C
）.A.7
B.8
C.10
D.11
答案
6. C
解析
【分析】
遇到正多边形顶点共外接圆的问题，首先明确正多边形的每条边对应的中心角相等，所有中心角总和为360°。题目给出的∠ADB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角（即正多边形的一个中心角），再用360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵ 正多边形的所有顶点都在以O为圆心的外接圆上，
∴ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ AOB = 2∠ ADB = 2×18°=36°$。
∵ 正n边形的中心角公式为$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$，
∴ $n=\frac{360°}{36°}=10$，即该正多边形的边数为10。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形性质，中心角计算
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础常考题，解题核心是通过圆周角定理推导得到正多边形的中心角，再利用中心角和边数的对应关系求解，熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
遇到正多边形顶点共外接圆的问题，首先明确正多边形的每条边对应的中心角相等，所有中心角总和为360°。题目给出的∠ADB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角（即正多边形的一个中心角），再用360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵ 正多边形的所有顶点都在以O为圆心的外接圆上，
∴ ∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴ $∠ AOB = 2∠ ADB = 2×18°=36°$。
∵ 正n边形的中心角公式为$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$，
∴ $n=\frac{360°}{36°}=10$，即该正多边形的边数为10。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形性质，中心角计算
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础常考题，解题核心是通过圆周角定理推导得到正多边形的中心角，再利用中心角和边数的对应关系求解，熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
7. 设正三角形的边长为$a_3$，正四边形的边长为$a_4$，若它们的外接圆半径相等，则$\frac{a_3}{a_4}=$
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
。答案
7. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，设正三角形和正方形的公共外接圆半径为R；第二步，分别结合正三角形、正方形的中心角，利用垂径定理构造直角三角形，将两种正多边形的边长用含R的式子表示；第三步，代入边长比的式子，消去R后化简即可得到结果。
【解析】
设正三角形和正方形的外接圆半径均为R。
1. 求正三角形边长$a_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过外接圆圆心作正三角形一边的垂线，由垂径定理可得，边长的一半、外接圆半径、弦心距构成直角三角形，且边长的一半所对的锐角为$\frac{120°}{2}=60°$。
由三角函数得：$\frac{a_3}{2}=R·\sin60°=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$a_3=\sqrt{3}R$。
2. 求正方形边长$a_4$：
正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，同理，过圆心作正方形一边的垂线，边长的一半所对的锐角为$\frac{90°}{2}=45°$。
由三角函数得：$\frac{a_4}{2}=R·\sin45°=R·\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$a_4=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$\frac{a_3}{a_4}=\frac{\sqrt{3}R}{\sqrt{2}R}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆、垂径定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，建立正多边形边长与外接圆半径的数量关系，要熟练掌握常见正多边形的相关换算规律，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，设正三角形和正方形的公共外接圆半径为R；第二步，分别结合正三角形、正方形的中心角，利用垂径定理构造直角三角形，将两种正多边形的边长用含R的式子表示；第三步，代入边长比的式子，消去R后化简即可得到结果。
【解析】
设正三角形和正方形的外接圆半径均为R。
1. 求正三角形边长$a_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，过外接圆圆心作正三角形一边的垂线，由垂径定理可得，边长的一半、外接圆半径、弦心距构成直角三角形，且边长的一半所对的锐角为$\frac{120°}{2}=60°$。
由三角函数得：$\frac{a_3}{2}=R·\sin60°=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$a_3=\sqrt{3}R$。
2. 求正方形边长$a_4$：
正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，同理，过圆心作正方形一边的垂线，边长的一半所对的锐角为$\frac{90°}{2}=45°$。
由三角函数得：$\frac{a_4}{2}=R·\sin45°=R·\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$a_4=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$\frac{a_3}{a_4}=\frac{\sqrt{3}R}{\sqrt{2}R}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆、垂径定理、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，建立正多边形边长与外接圆半径的数量关系，要熟练掌握常见正多边形的相关换算规律，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8. 如图30.3-4，AB是$\odot O$内接正多边形的一条边，点C是$\odot O$上一点，连接AC，BC。若$∠ C=36°$，则正多边形的边数为
5
。答案
8. 5
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件∠C是圆上的圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角；再根据AB是圆内接正多边形的边，可知所求圆心角就是正多边形的中心角；最后利用正多边形边数与中心角的关系（边数=360°÷中心角）即可计算出边数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠C=36°，
∴弧AB所对的圆心角∠AOB=2×36°=72°。
∵AB是⊙O内接正多边形的一条边，
∴该正多边形的中心角为72°，
∴正多边形的边数$n=\frac{360°}{72°}=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆的性质
【点评】
本题核心是结合圆周角定理求出正多边形的中心角，再利用正多边形边数和中心角的关系求解，侧重对基础性质的应用，掌握相关知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件∠C是圆上的圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角；再根据AB是圆内接正多边形的边，可知所求圆心角就是正多边形的中心角；最后利用正多边形边数与中心角的关系（边数=360°÷中心角）即可计算出边数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠C=36°，
∴弧AB所对的圆心角∠AOB=2×36°=72°。
∵AB是⊙O内接正多边形的一条边，
∴该正多边形的中心角为72°，
∴正多边形的边数$n=\frac{360°}{72°}=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆的性质
【点评】
本题核心是结合圆周角定理求出正多边形的中心角，再利用正多边形边数和中心角的关系求解，侧重对基础性质的应用，掌握相关知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 如图30.3-5，AB是$\odot O$的直径，$AB=6$，AC是$\odot O$的弦，$∠ BAC=30°$，延长AB到点D，连接CD，$AC=CD$。
（1）求证：CD是$\odot O$的切线；
（2）求$\odot O$的以BC为边的内接正多边形的周长。
（1）求证：CD是$\odot O$的切线；
（2）求$\odot O$的以BC为边的内接正多边形的周长。
答案
9. （1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∴∠COD=60°.
∵AC=CD，
∴∠OAC=∠ODC=30°.
∴∠OCD=180°−30°−60°=90°，
即OC⊥CD.
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC.
∵∠BOC=60°，
∴⊙O的以BC为边的内接正多边形是内接正六边形.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴⊙O的以BC为边的内接正六边形的周长为3×6=18.
解析
【分析】
（1）要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点C的半径，因此先作辅助线连接OC。结合已知OA=OC、AC=CD的等腰三角形性质，通过角度计算推导∠OCD的度数，若为90°即可证明OC⊥CD，进而证明CD是切线。
（2）要求以BC为边的⊙O内接正多边形的周长，首先需确定正多边形的边数：正多边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$（n为边数），先求出弦BC对应的中心角∠BOC的度数，即可算出边数；再结合直径AB的长度求出BC的边长，用边长乘边数即可得到周长。
【解析】
（1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∴∠COD=60°.
∵AC=CD，
∴∠OAC=∠ODC=30°.
∴∠OCD=180°−30°−60°=90°，
即OC⊥CD.
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC.
∵∠BOC=60°，
∴⊙O的以BC为边的内接正多边形是内接正六边形.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴⊙O的以BC为边的内接正六边形的周长为3×6=18.
【答案】
（1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∴∠COD=60°.
∵AC=CD，
∴∠OAC=∠ODC=30°.
∴∠OCD=180°−30°−60°=90°，
即OC⊥CD.
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）⊙O的以BC为边的内接正六边形的周长为18.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；正多边形与圆
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径、证垂直），同时能结合正多边形中心角的特征确定正多边形的边数，考查基础的逻辑推理能力和角度、长度计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点C的半径，因此先作辅助线连接OC。结合已知OA=OC、AC=CD的等腰三角形性质，通过角度计算推导∠OCD的度数，若为90°即可证明OC⊥CD，进而证明CD是切线。
（2）要求以BC为边的⊙O内接正多边形的周长，首先需确定正多边形的边数：正多边形的中心角等于$\frac{360°}{n}$（n为边数），先求出弦BC对应的中心角∠BOC的度数，即可算出边数；再结合直径AB的长度求出BC的边长，用边长乘边数即可得到周长。
【解析】
（1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∴∠COD=60°.
∵AC=CD，
∴∠OAC=∠ODC=30°.
∴∠OCD=180°−30°−60°=90°，
即OC⊥CD.
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图，连接BC.
∵∠BOC=60°，
∴⊙O的以BC为边的内接正多边形是内接正六边形.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴⊙O的以BC为边的内接正六边形的周长为3×6=18.
【答案】
（1）证明：如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∴∠COD=60°.
∵AC=CD，
∴∠OAC=∠ODC=30°.
∴∠OCD=180°−30°−60°=90°，
即OC⊥CD.
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）⊙O的以BC为边的内接正六边形的周长为18.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；正多边形与圆
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径、证垂直），同时能结合正多边形中心角的特征确定正多边形的边数，考查基础的逻辑推理能力和角度、长度计算能力。
【难度系数】
0.7
