13. 某型号路由器的信号覆盖范围是半径为 10 m 的圆形区域. 现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域.

图30.3-9
(1) 如图30.3-9①，在点O处布置一台路由器，则正方形场地边长最大是m；
(2) 如图30.3-9②，在点P，Q处各布置一台路由器，且PQ=4 m. 请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长；
(3) 若布置三台路由器，则正方形场地边长最大是m.

1. 10√2
2. 如图，设O为PQ的中点，直线PQ交正方形ABDC于点E，F，
∵正方形是轴对称图形，
∴O为对角线AD和BC的交点.
设正方形ABDC的边长AC=2a m.
∵△ACO和△AEO为等腰直角三角形，点E为⊙Q与AC的切点，
∴QE⊥AC.
∴AE=CE=OE=a m.
在Rt△AEP中，EP = EO - PO = OE - 1/2 PQ=(a-2)m，AP=10 m，
AE²+EP²=AP²，
即a²+(a-2)²=100，
解方程，得a=8(负值舍去).
∴AC=2a=16 m.
∴此时正方形场地的边长为16 m.
3. 5√2+5√6

【分析】
(1) 当正方形场地内接于路由器覆盖的圆形区域时，正方形边长最大。此时圆的直径等于正方形的对角线长度，已知圆半径为10m，可先求出对角线长度，再推导正方形边长。
(2) 结合正方形的轴对称性可知，PQ的中点O也是正方形的中心，PQ所在直线垂直于正方形的一组对边。设正方形边长为2a简化计算，用含a的式子表示出直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理列方程求解即可。
(3) 布置三台路由器时，最优布局为三个覆盖圆均与正方形的边相切、且两两相交，结合圆与正方形的性质、勾股定理即可求出最大边长。
【解析】
(1) 路由器覆盖圆的半径为10m，因此直径为20m。当正方形内接于该圆时边长最大，设正方形边长为x，由正方形对角线等于圆的直径可得：$\sqrt{2}x=20$，解得$x=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(2)
设O为PQ的中点，直线PQ交正方形ABDC于点E，F。
∵正方形是轴对称图形，
∴O为对角线AD和BC的交点，PQ所在直线垂直于正方形的一组对边。
设正方形ABDC的边长$AC=2a\ \mathrm{m}$。
∵$△ ACO$和$△ AEO$为等腰直角三角形，点E为$\odot Q$与AC的切点，
∴$QE⊥ AC$，
∴$AE=CE=OE=a\ \mathrm{m}$，
∵$PQ=4\ \mathrm{m}$，
∴$PO=OQ=2\ \mathrm{m}$，
∴$EP = EO - PO = (a-2)\ \mathrm{m}$，
又
∵AP是覆盖圆的半径，$AP=10\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEP$中，由勾股定理得$AE^2+EP^2=AP^2$，
即$a^2+(a-2)^2=100$，
整理得$a^2-2a-48=0$，
解方程得$a_1=8$，$a_2=-6$（负值舍去），
∴$AC=2a=16\ \mathrm{m}$，即此时正方形场地的边长为16 m。
(3) 当布置三台路由器时，结合最优布局的几何性质，可求得正方形最大边长为$5\sqrt{2}+5\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{10\sqrt{2}}$
(2) 示意图见，边长为$\boxed{16\ \mathrm{m}}$
(3) $\boxed{5\sqrt{2}+5\sqrt{6}}$
【知识点】
圆与正方形的位置关系；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题以生活中路由器信号覆盖为实际背景，将几何知识与应用问题结合，需要学生灵活运用圆的性质、正方形的对称性分析图形结构，通过建立勾股方程求解边长，能有效锻炼几何建模和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.3