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1. 一般地，对于方程$x^2 = p$，
（1）当
（2）当
（3）当
（1）当
p＞0
时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根$x_1 = \sqrt{p}$，$x_2 = -\sqrt{p}$；（2）当
p=0
时，方程有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = 0$；（3）当
p＜0
时，因为对任意实数$x$，都有$x^2 ≥ 0$，所以方程无实数根。答案
1.（1）p＞0
（2）p=0
（3）p＜0
（2）p=0
（3）p＜0
解析
【分析】
本题考查利用平方根的性质判断一元二次方程$x^2=p$的根的情况，解题思路如下：首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；再结合题目给出的根的情况，对应推导p的取值范围即可。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析：
（1）要使方程有两个不相等的实数根，说明p存在两个互为相反数的平方根，只有正数满足该性质，因此$p＞0$；
（2）要使方程有两个相等的实数根且根为0，只有0的平方根是它本身，因此$p=0$；
（3）要使方程无实数根，说明p不存在平方根，负数没有平方根，因此$p＜0$。
【答案】
（1）$p＞0$；（2）$p=0$；（3）$p＜0$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根性质与一元二次方程根的情况的对应关系，是后续学习一元二次方程求解的基础，需要熟练掌握不同取值下对应的根的特征。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方根的性质判断一元二次方程$x^2=p$的根的情况，解题思路如下：首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；再结合题目给出的根的情况，对应推导p的取值范围即可。
【解析】
根据平方根的性质逐一分析：
（1）要使方程有两个不相等的实数根，说明p存在两个互为相反数的平方根，只有正数满足该性质，因此$p＞0$；
（2）要使方程有两个相等的实数根且根为0，只有0的平方根是它本身，因此$p=0$；
（3）要使方程无实数根，说明p不存在平方根，负数没有平方根，因此$p＜0$。
【答案】
（1）$p＞0$；（2）$p=0$；（3）$p＜0$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查平方根性质与一元二次方程根的情况的对应关系，是后续学习一元二次方程求解的基础，需要熟练掌握不同取值下对应的根的特征。
【难度系数】
0.9
2. 通过配成
完全平方
形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。答案
2. 完全平方
解析
【分析】
本题考查配方法的基础定义，解题时先回忆配方法的核心特征：配方法是解一元二次方程的常用方法，其核心操作是把方程中含未知数的项凑成完全平方的形式，再用直接开平方法求解，直接对应定义中的空缺内容即可。
【解析】
根据配方法的官方定义：通过将一元二次方程配成完全平方的形式来求解的方法，叫作配方法，因此横线处应填写“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对配方法核心定义的掌握，只要牢记相关基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法的基础定义，解题时先回忆配方法的核心特征：配方法是解一元二次方程的常用方法，其核心操作是把方程中含未知数的项凑成完全平方的形式，再用直接开平方法求解，直接对应定义中的空缺内容即可。
【解析】
根据配方法的官方定义：通过将一元二次方程配成完全平方的形式来求解的方法，叫作配方法，因此横线处应填写“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对配方法核心定义的掌握，只要牢记相关基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 一元二次方程$(x+1)^2=16$直接开平方可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是$x+1=4$，则另一个一元一次方程是（
A.$x-1=-4$
B.$x-1=4$
C.$x+1=-4$
D.$x+1=4$
C
）。A.$x-1=-4$
B.$x-1=4$
C.$x+1=-4$
D.$x+1=4$
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题需要用到直接开平方法解一元二次方程的思路，首先回忆平方根的性质：若一个数的平方等于非负数a，那么这个数是a的平方根，共有两个，且互为相反数。本题中将$x+1$看作一个整体，它的平方等于16，因此$x+1$就是16的两个平方根，已知其中一个平方根是4，对应的方程是$x+1=4$，那么另一个平方根就是-4，对应的方程即可推导得出。
【解析】
根据直接开平方法的运算规则，对于形如$m^2 = n$（$n≥0$）的方程，开平方后可得$m=\sqrt{n}$或$m=-\sqrt{n}$。
本题中方程为$(x+1)^2=16$，将$x+1$看作整体$m$，对等式两边开平方得：
$x+1=4$ 或 $x+1=-4$
因此另一个一元一次方程是$x+1=-4$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，主要考查对直接开平方法的理解和应用，只要熟练掌握正数有两个互为相反数的平方根这一性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题需要用到直接开平方法解一元二次方程的思路，首先回忆平方根的性质：若一个数的平方等于非负数a，那么这个数是a的平方根，共有两个，且互为相反数。本题中将$x+1$看作一个整体，它的平方等于16，因此$x+1$就是16的两个平方根，已知其中一个平方根是4，对应的方程是$x+1=4$，那么另一个平方根就是-4，对应的方程即可推导得出。
【解析】
根据直接开平方法的运算规则，对于形如$m^2 = n$（$n≥0$）的方程，开平方后可得$m=\sqrt{n}$或$m=-\sqrt{n}$。
本题中方程为$(x+1)^2=16$，将$x+1$看作整体$m$，对等式两边开平方得：
$x+1=4$ 或 $x+1=-4$
因此另一个一元一次方程是$x+1=-4$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，主要考查对直接开平方法的理解和应用，只要熟练掌握正数有两个互为相反数的平方根这一性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解一元二次方程$x^2 -4x -8=0$，配方后的方程是（
A.$(x+2)^2=8$
B.$(x-2)^2=8$
C.$(x+2)^2=12$
D.$(x-2)^2=12$
D
）.A.$(x+2)^2=8$
B.$(x-2)^2=8$
C.$(x+2)^2=12$
D.$(x-2)^2=12$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法的操作步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，本题二次项系数为1，可直接进行下一步；②将常数项移到等号右侧；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑为完全平方式，即可得到配方后的方程，再对应选项选择即可。
【解析】
解：第一步，移项，将常数项移到方程右侧：
$x^2 - 4x = 8$
第二步，配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 8 +4$
左边根据完全平方公式可整理为$(x-2)^2$，右侧计算得12，因此配方后的方程为：
$(x-2)^2=12$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项要变号，配方时需给等式两边同时加相同的数，避免只给左侧加而遗漏右侧的情况，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法的操作步骤：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，本题二次项系数为1，可直接进行下一步；②将常数项移到等号右侧；③给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑为完全平方式，即可得到配方后的方程，再对应选项选择即可。
【解析】
解：第一步，移项，将常数项移到方程右侧：
$x^2 - 4x = 8$
第二步，配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4：
$x^2 -4x +4 = 8 +4$
左边根据完全平方公式可整理为$(x-2)^2$，右侧计算得12，因此配方后的方程为：
$(x-2)^2=12$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项要变号，配方时需给等式两边同时加相同的数，避免只给左侧加而遗漏右侧的情况，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若方程$(x+2)^2 = m - 1$有实数根，则$m$的取值范围是
$m≥1$
。答案
3. $m≥1$
解析
【分析】
拿到题目首先观察方程形式，左边是完全平方式$(x+2)^2$，根据实数的性质，任意实数的平方都是非负数，即永远大于等于0。要使方程有实数根，等式右边的$m-1$必须和左边的取值范围匹配，也就是$m-1$也得是非负数，接下来只需解关于$m$的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$x$，平方具有非负性，即$\boldsymbol{(x+2)^2 ≥ 0}$
又
∵ 方程$(x+2)^2 = m - 1$有实数根
∴ 等式右边的取值需满足：$m - 1 ≥ 0$
解该不等式，移项得：$m ≥ 1$
【答案】
$m≥1$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平方非负性的理解与应用，属于一元二次方程相关的基础考点，掌握实数平方的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先观察方程形式，左边是完全平方式$(x+2)^2$，根据实数的性质，任意实数的平方都是非负数，即永远大于等于0。要使方程有实数根，等式右边的$m-1$必须和左边的取值范围匹配，也就是$m-1$也得是非负数，接下来只需解关于$m$的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$x$，平方具有非负性，即$\boldsymbol{(x+2)^2 ≥ 0}$
又
∵ 方程$(x+2)^2 = m - 1$有实数根
∴ 等式右边的取值需满足：$m - 1 ≥ 0$
解该不等式，移项得：$m ≥ 1$
【答案】
$m≥1$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查对平方非负性的理解与应用，属于一元二次方程相关的基础考点，掌握实数平方的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 阅读下面解一元二次方程的过程，并解答下列问题.
解方程：$x^2 + 2x - 3 = 0$.
解：移项，得$x^2 + 2x = 3$， ……………………………………………………第一步
配方，得$x^2 + 2x + 1^2 = 3 + 1^2$， ……………………………………………………第二步
$(x+1)^2 = 4$， ……………………………………………………第三步
由此可得$x+1 = ±2$， ……………………………………………………第四步
$x_1 = -3$，$x_2 = 1$. ……………………………………………………第五步
(1) 第二步变形的依据是
(2) 用配方法解方程：$x^2 -4x +1 =0$.
解方程：$x^2 + 2x - 3 = 0$.
解：移项，得$x^2 + 2x = 3$， ……………………………………………………第一步
配方，得$x^2 + 2x + 1^2 = 3 + 1^2$， ……………………………………………………第二步
$(x+1)^2 = 4$， ……………………………………………………第三步
由此可得$x+1 = ±2$， ……………………………………………………第四步
$x_1 = -3$，$x_2 = 1$. ……………………………………………………第五步
(1) 第二步变形的依据是
等式的性质
；(2) 用配方法解方程：$x^2 -4x +1 =0$.
答案
4. 解：(1) 等式的性质
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$.
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）针对第一问，观察第二步的变形：方程左右两边同时加了$1^2$，回忆等式的基本性质，等式两边同时加上相同的整式，等式仍然成立，即可得出变形依据。
（2）针对第二问，按照配方法解一元二次方程的标准步骤思考：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；第三步开平方降次，转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 第二步的操作是在等式两边同时加上$1^2$，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，因此变形依据是等式的性质。
(2) 解方程$x^2 -4x +1 =0$：
第一步，移项，得$x^2 -4x = -1$；
第二步，配方，给等式两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得$x^2 -4x +4 = -1 +4$，整理得$(x-2)^2 = 3$；
第三步，开平方，得$x-2 = ±\sqrt{3}$；
第四步，求解得：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 等式的性质
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的原理和应用，第一问侧重基础概念的考查，第二问侧重配方步骤的实际操作，熟练掌握配方法“移项、配方、开方、求解”的步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）针对第一问，观察第二步的变形：方程左右两边同时加了$1^2$，回忆等式的基本性质，等式两边同时加上相同的整式，等式仍然成立，即可得出变形依据。
（2）针对第二问，按照配方法解一元二次方程的标准步骤思考：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；第三步开平方降次，转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 第二步的操作是在等式两边同时加上$1^2$，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，因此变形依据是等式的性质。
(2) 解方程$x^2 -4x +1 =0$：
第一步，移项，得$x^2 -4x = -1$；
第二步，配方，给等式两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得$x^2 -4x +4 = -1 +4$，整理得$(x-2)^2 = 3$；
第三步，开平方，得$x-2 = ±\sqrt{3}$；
第四步，求解得：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 等式的性质
(2) $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的原理和应用，第一问侧重基础概念的考查，第二问侧重配方步骤的实际操作，熟练掌握配方法“移项、配方、开方、求解”的步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
