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1.(新知回顾)如果参加一次聚会的每两人握一次手,所有人共握手15次,那么有多少个人参加聚会?
【思维过程】设有x个人参加聚会.第1个人分别与其他
2.小川一家春节期间团圆相聚,他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物,若他们一共赠送了90份礼物,则小川及其兄弟姐妹一共有多少人?若设小川及其兄弟姐妹一共有x人,则可列方程为
【思维过程】设有x个人参加聚会.第1个人分别与其他
(x-1)
个人握手,第2个人分别与其他(x-1)
个人握手……依次类推,共x个人,如此共握手x(x-1)
次,但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的,因此,x个人每两人之间握一次手共握了$\frac{1}{2}x(x-1)$
次,我们就得到方程:$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
.2.小川一家春节期间团圆相聚,他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物,若他们一共赠送了90份礼物,则小川及其兄弟姐妹一共有多少人?若设小川及其兄弟姐妹一共有x人,则可列方程为
$x(x-1)=90$
.答案
1. (x-1)；(x-1)；$x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
2. $x(x-1)=90$
2. $x(x-1)=90$
解析
【分析】
这两道题属于一元二次方程实际应用中的循环类问题，解题核心是区分单循环和双循环的计数逻辑：1. 握手问题属于单循环问题：每两人之间仅握手1次，计数时若直接按每人握手次数累加，每一次握手会被重复计算2次，因此最终要除以2；2. 互赠礼物属于双循环问题：A赠B礼物和B赠A礼物是两份不同的礼物，无需去重，直接按每人赠送次数累加即可。第一题中设有x人参加聚会，每个人都要和除自己之外的其余人互动，以此逐步推导握手总次数的表达式，再结合总握手15次列方程；第二题根据互赠礼物的计数规则直接列方程即可。
【解析】
1. 设有x个人参加聚会：
第1个人不需要和自己握手，因此要与其他$(x-1)$个人握手；
第2个人同样不需要和自己握手，因此要与其他$(x-1)$个人握手；
依次类推，x个人按上述方式计数，总握手次数为$x(x-1)$次；
由于每两人的握手被分别计算了2次，因此实际每两人握一次手的总次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
已知所有人共握手15次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
2. 设小川及其兄弟姐妹一共有x人，互赠礼物时，每个人要给其余$(x-1)$人各赠送1份礼物，且两人之间互赠的2份礼物不重复，因此总礼物数为$x(x-1)$份，已知共赠送90份礼物，因此可列方程为$x(x-1)=90$。
【答案】
1. $(x-1)$；$(x-1)$；$x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
2. $x(x-1)=90$
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数，双循环计数
【点评】
本题是循环类问题的典型考题，解题的关键是明确题意，区分单循环、双循环两种不同的计数规则，避免重复计数或漏算即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8
这两道题属于一元二次方程实际应用中的循环类问题，解题核心是区分单循环和双循环的计数逻辑：1. 握手问题属于单循环问题：每两人之间仅握手1次，计数时若直接按每人握手次数累加，每一次握手会被重复计算2次，因此最终要除以2；2. 互赠礼物属于双循环问题：A赠B礼物和B赠A礼物是两份不同的礼物，无需去重，直接按每人赠送次数累加即可。第一题中设有x人参加聚会，每个人都要和除自己之外的其余人互动，以此逐步推导握手总次数的表达式，再结合总握手15次列方程；第二题根据互赠礼物的计数规则直接列方程即可。
【解析】
1. 设有x个人参加聚会：
第1个人不需要和自己握手，因此要与其他$(x-1)$个人握手；
第2个人同样不需要和自己握手，因此要与其他$(x-1)$个人握手；
依次类推，x个人按上述方式计数，总握手次数为$x(x-1)$次；
由于每两人的握手被分别计算了2次，因此实际每两人握一次手的总次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
已知所有人共握手15次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=15$。
2. 设小川及其兄弟姐妹一共有x人，互赠礼物时，每个人要给其余$(x-1)$人各赠送1份礼物，且两人之间互赠的2份礼物不重复，因此总礼物数为$x(x-1)$份，已知共赠送90份礼物，因此可列方程为$x(x-1)=90$。
【答案】
1. $(x-1)$；$(x-1)$；$x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)$；$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
2. $x(x-1)=90$
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数，双循环计数
【点评】
本题是循环类问题的典型考题，解题的关键是明确题意，区分单循环、双循环两种不同的计数规则，避免重复计数或漏算即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8
3. 能力训练点·批判性思维一次围棋比赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各比赛1局),且参赛者少于15人.下图是小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计:
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说得有道理吗?请通过计算说明.
(3)他们经过查询,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数.
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说得有道理吗?请通过计算说明.
(3)他们经过查询,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数.
答案
解：(1)由题意,得5人需比赛的局数为$\frac{5×(5-1)}{2}=10$。
(2)小哲说得有道理,理由略。
(3)13人。
(2)小哲说得有道理,理由略。
(3)13人。
解析
【分析】
(1) 单循环赛制中，每位选手要和其余所有选手各赛1局，n位选手的总对局数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，将n=5代入即可求解。
(2) 设参赛者共x人（x为正整数且x＜15），令总对局数等于70，解方程判断是否存在符合条件的正整数x，即可验证小哲的说法是否正确。
(3) 设报名人数为n（n＜15），中途退出的选手少赛了m局（m为正整数，且$1≤ m≤ n-1$），可得$\frac{n(n-1)}{2}-m=70$，结合n的取值范围和m的限制条件验证即可求出n的值。
【解析】
(1) 5名参赛者的总对局数为：
$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（局）
(2) 小哲说得有道理，理由如下：
设参赛者共有x人，x为正整数，且$x＜15$。
根据赛制总对局数为$\frac{x(x-1)}{2}$，令$\frac{x(x-1)}{2}=70$，整理得$x^2 -x -140=0$。
判别式$\Delta=1+4×140=561$，561不是完全平方数，该方程无正整数解，不存在符合条件的参赛人数，因此总局数不可能为70局，小哲说法正确。
(3) 设报名人数为n，$n＜15$，中途退出选手少赛m局，$1≤ m≤ n-1$，由题意得$\frac{n(n-1)}{2}=70+m$，因此$\frac{n(n-1)}{2}＞70$，解不等式得$n＞\frac{1+\sqrt{561}}{2}\approx12.3$，则n可取13或14：
① 当n=13时，总对局数为$\frac{13×12}{2}=78$，$m=78-70=8$，符合$1≤8≤12$；
② 当n=14时，总对局数为$\frac{14×13}{2}=91$，$m=91-70=21＞13$，不符合要求舍去。
故报名人数为13人。
【答案】
(1) 10局；(2) 小哲说得有道理；(3) 13人
【知识点】
单循环赛计算，一元二次方程应用，不等式应用
【点评】
本题结合实际比赛场景考查数学知识的应用，需要掌握单循环赛的计数规则，能结合方程和不等式分析实际问题中未知数的取值范围，锻炼逻辑推理能力和批判性思维。
【难度系数】
0.6
(1) 单循环赛制中，每位选手要和其余所有选手各赛1局，n位选手的总对局数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，将n=5代入即可求解。
(2) 设参赛者共x人（x为正整数且x＜15），令总对局数等于70，解方程判断是否存在符合条件的正整数x，即可验证小哲的说法是否正确。
(3) 设报名人数为n（n＜15），中途退出的选手少赛了m局（m为正整数，且$1≤ m≤ n-1$），可得$\frac{n(n-1)}{2}-m=70$，结合n的取值范围和m的限制条件验证即可求出n的值。
【解析】
(1) 5名参赛者的总对局数为：
$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（局）
(2) 小哲说得有道理，理由如下：
设参赛者共有x人，x为正整数，且$x＜15$。
根据赛制总对局数为$\frac{x(x-1)}{2}$，令$\frac{x(x-1)}{2}=70$，整理得$x^2 -x -140=0$。
判别式$\Delta=1+4×140=561$，561不是完全平方数，该方程无正整数解，不存在符合条件的参赛人数，因此总局数不可能为70局，小哲说法正确。
(3) 设报名人数为n，$n＜15$，中途退出选手少赛m局，$1≤ m≤ n-1$，由题意得$\frac{n(n-1)}{2}=70+m$，因此$\frac{n(n-1)}{2}＞70$，解不等式得$n＞\frac{1+\sqrt{561}}{2}\approx12.3$，则n可取13或14：
① 当n=13时，总对局数为$\frac{13×12}{2}=78$，$m=78-70=8$，符合$1≤8≤12$；
② 当n=14时，总对局数为$\frac{14×13}{2}=91$，$m=91-70=21＞13$，不符合要求舍去。
故报名人数为13人。
【答案】
(1) 10局；(2) 小哲说得有道理；(3) 13人
【知识点】
单循环赛计算，一元二次方程应用，不等式应用
【点评】
本题结合实际比赛场景考查数学知识的应用，需要掌握单循环赛的计数规则，能结合方程和不等式分析实际问题中未知数的取值范围，锻炼逻辑推理能力和批判性思维。
【难度系数】
0.6
4.某商场将每件进价为20元的玩具以每件30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查发现:当单价每涨1元时，每天少售出5件.若商场想每天获得4125元利润，设每件玩具涨价x元，则下列说法错误的是 (
A.(30+x)元表示涨价后玩具的单价
B.5x件表示涨价后每天少售出玩具的数量
C.(300−5x)件表示涨价后每天销售玩具的数量
D.可列方程为(30+x)(300−5x)=4125
D
)A.(30+x)元表示涨价后玩具的单价
B.5x件表示涨价后每天少售出玩具的数量
C.(300−5x)件表示涨价后每天销售玩具的数量
D.可列方程为(30+x)(300−5x)=4125
答案
4.D
解析
【分析】
本题属于营销类利润问题，解题思路如下：首先根据涨价金额x元，逐一推导涨价后商品单价、减少的销量、实际销量的代数式，再结合“总利润=单件利润×销售数量”的核心公式判断方程是否正确，最终筛选出错误的说法。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 玩具原售价为每件30元，涨价x元后，单价为(30+x)元，该说法正确，不符合题意；
B. 已知单价每涨1元少售出5件，那么涨价x元后，每天少售出的玩具数量为5x件，该说法正确，不符合题意；
C. 原本每天可售出300件，涨价后少售出5x件，因此涨价后每天的销售量为(300-5x)件，该说法正确，不符合题意；
D. 总利润的计算公式为：总利润=（售价-进价）×销售量，本题中单件进价为20元，因此单件利润为(30+x-20)元，正确的方程应为(30+x-20)(300-5x)=4125，即(10+x)(300-5x)=4125。选项D中的方程左边是售价×销售量，计算的是总销售额而非总利润，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
销售利润计算，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是销售问题的常规考查题型，核心是理清销售场景下各数量之间的关系，尤其要注意区分总销售额和总利润的计算逻辑，避免列方程时忽略进价导致出错。
【难度系数】
0.7
本题属于营销类利润问题，解题思路如下：首先根据涨价金额x元，逐一推导涨价后商品单价、减少的销量、实际销量的代数式，再结合“总利润=单件利润×销售数量”的核心公式判断方程是否正确，最终筛选出错误的说法。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 玩具原售价为每件30元，涨价x元后，单价为(30+x)元，该说法正确，不符合题意；
B. 已知单价每涨1元少售出5件，那么涨价x元后，每天少售出的玩具数量为5x件，该说法正确，不符合题意；
C. 原本每天可售出300件，涨价后少售出5x件，因此涨价后每天的销售量为(300-5x)件，该说法正确，不符合题意；
D. 总利润的计算公式为：总利润=（售价-进价）×销售量，本题中单件进价为20元，因此单件利润为(30+x-20)元，正确的方程应为(30+x-20)(300-5x)=4125，即(10+x)(300-5x)=4125。选项D中的方程左边是售价×销售量，计算的是总销售额而非总利润，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
销售利润计算，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是销售问题的常规考查题型，核心是理清销售场景下各数量之间的关系，尤其要注意区分总销售额和总利润的计算逻辑，避免列方程时忽略进价导致出错。
【难度系数】
0.7
5. 立德树人·增强安全意识一人一盔，安全守规.为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，商店计划将头盔降价销售，经调查发现：单价每降低10元，每月可多售出200顶.
（1）头盔每降价1元，每月可多售出
（2）若该商店某月获得的利润为8000元，求该月每顶头盔的售价为多少元.
（1）头盔每降价1元，每月可多售出
20
顶；（2）若该商店某月获得的利润为8000元，求该月每顶头盔的售价为多少元.
答案
解：(1)20
(2)该月每顶头盔的售价为70元。
(2)该月每顶头盔的售价为70元。
解析
【分析】
（1）已知单价每降低10元，每月多售出200顶，求每降价1元的多售数量，只需用多售的总数量除以降价的总金额即可。
（2）本题属于营销利润问题，核心等量关系为：总利润=每顶头盔的利润×月销售量。我们可以先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单顶利润和月销售量，再根据总利润为8000元列一元二次方程求解，最后将降价金额代入算出售价即可。
【解析】
（1）每降价1元多售出的数量为：$200÷10=20$（顶）
（2）设每顶头盔降价$x$元，根据题意可得：
单顶头盔的利润为：$80 - x - 50 = (30 - x)$元
降价后的月销售量为：$200 + 20x$顶
根据总利润为8000元列方程：
$(30 - x)(200 + 20x) = 8000$
整理方程：
$6000 + 600x - 200x - 20x^2 = 8000$
$-20x^2 + 400x - 2000 = 0$
两边同时除以$-20$得：
$x^2 - 20x + 100 = 0$
因式分解得：$(x - 10)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 10$
则该月每顶头盔的售价为：$80 - 10 = 70$（元）
【答案】
（1）$\boxed{20}$；（2）$\boxed{70}$元
【知识点】
1. 利润问题公式
2. 一元二次方程应用
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题结合安全出行的生活背景命题，难度不大，解题的关键是找准利润问题的核心等量关系，正确列出方程求解，注意计算结果要符合实际销售的逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）已知单价每降低10元，每月多售出200顶，求每降价1元的多售数量，只需用多售的总数量除以降价的总金额即可。
（2）本题属于营销利润问题，核心等量关系为：总利润=每顶头盔的利润×月销售量。我们可以先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单顶利润和月销售量，再根据总利润为8000元列一元二次方程求解，最后将降价金额代入算出售价即可。
【解析】
（1）每降价1元多售出的数量为：$200÷10=20$（顶）
（2）设每顶头盔降价$x$元，根据题意可得：
单顶头盔的利润为：$80 - x - 50 = (30 - x)$元
降价后的月销售量为：$200 + 20x$顶
根据总利润为8000元列方程：
$(30 - x)(200 + 20x) = 8000$
整理方程：
$6000 + 600x - 200x - 20x^2 = 8000$
$-20x^2 + 400x - 2000 = 0$
两边同时除以$-20$得：
$x^2 - 20x + 100 = 0$
因式分解得：$(x - 10)^2 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 10$
则该月每顶头盔的售价为：$80 - 10 = 70$（元）
【答案】
（1）$\boxed{20}$；（2）$\boxed{70}$元
【知识点】
1. 利润问题公式
2. 一元二次方程应用
3. 一元二次方程解法
【点评】
本题结合安全出行的生活背景命题，难度不大，解题的关键是找准利润问题的核心等量关系，正确列出方程求解，注意计算结果要符合实际销售的逻辑。
【难度系数】
0.7
