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8.“半日走遍江淮大地，安徽风景尽在徽园”，位于省会合肥的徽园景点某年3月共接待游客$m$万人，4月比3月游客人数增加了15%，5月比4月游客人数增加了15$a$%.已知3月至5月徽园的游客人数平均月增长率为20$a$%，则可列式为 （
A.$(1+15\%)(1+15a\%)=1+20a\%×2$
B.$(1+15\%)(1+20a\%)=2(1+15a\%)$
C.$(1+15\%)(1+20a\%)=1+15a\%×2$
D.$(1+15\%)(1+15a\%)=(1+20a\%)^2$
D
）A.$(1+15\%)(1+15a\%)=1+20a\%×2$
B.$(1+15\%)(1+20a\%)=2(1+15a\%)$
C.$(1+15\%)(1+20a\%)=1+15a\%×2$
D.$(1+15\%)(1+15a\%)=(1+20a\%)^2$
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查增长率相关的方程列式，解题思路如下：首先我们可以分别通过两种不同的增长计算方式表示出5月的游客总人数，第一种是按照3月到4月、4月到5月的环比增长率逐步计算5月人数，第二种是利用平均月增长率的公式直接计算5月人数，由于两种方式计算的5月人数相等，消去初始量后即可得到对应的等式。
【解析】
设3月接待游客人数为$ m $万人：
1. 按逐月环比增长率计算5月游客人数：
4月游客人数较3月增长15%，因此4月人数为：$ m(1+15\%) $
5月游客人数较4月增长$ 15a\% $，因此5月人数为：$ m(1+15\%)(1+15a\%) $
2. 按平均月增长率计算5月游客人数：
3月到5月共经过2次增长，平均月增长率为$ 20a\% $，根据平均增长率公式$ \mathrm{最终量}=\mathrm{初始量}×(1+\mathrm{平均增长率})^{\mathrm{增长次数}} $，可得5月人数为：$ m(1+20a\%)^2 $
3. 联立两个5月人数的表达式，由于$ m≠0 $，两边同时除以$ m $，可得：
$ (1+15\%)(1+15a\%)=(1+20a\%)^2 $
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率问题的典型考法，解题关键是熟练掌握环比增长和平均增长两种计算最终量的方法，需要注意平均增长率公式中增长次数的判断，避免把增长次数错算成增长率乘以次数的低级错误。
【难度系数】
0.7
本题考查增长率相关的方程列式，解题思路如下：首先我们可以分别通过两种不同的增长计算方式表示出5月的游客总人数，第一种是按照3月到4月、4月到5月的环比增长率逐步计算5月人数，第二种是利用平均月增长率的公式直接计算5月人数，由于两种方式计算的5月人数相等，消去初始量后即可得到对应的等式。
【解析】
设3月接待游客人数为$ m $万人：
1. 按逐月环比增长率计算5月游客人数：
4月游客人数较3月增长15%，因此4月人数为：$ m(1+15\%) $
5月游客人数较4月增长$ 15a\% $，因此5月人数为：$ m(1+15\%)(1+15a\%) $
2. 按平均月增长率计算5月游客人数：
3月到5月共经过2次增长，平均月增长率为$ 20a\% $，根据平均增长率公式$ \mathrm{最终量}=\mathrm{初始量}×(1+\mathrm{平均增长率})^{\mathrm{增长次数}} $，可得5月人数为：$ m(1+20a\%)^2 $
3. 联立两个5月人数的表达式，由于$ m≠0 $，两边同时除以$ m $，可得：
$ (1+15\%)(1+15a\%)=(1+20a\%)^2 $
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，列代数式，一元二次方程应用
【点评】
本题是增长率问题的典型考法，解题关键是熟练掌握环比增长和平均增长两种计算最终量的方法，需要注意平均增长率公式中增长次数的判断，避免把增长次数错算成增长率乘以次数的低级错误。
【难度系数】
0.7
9.新情境 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定通过某社交平台转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的社交平台上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n的值为（
A.12
B.11
C.10
D.9
C
）A.12
B.11
C.10
D.9
答案
9.C
解析
【分析】
这是一道典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先明确各轮参与传播的人数构成：首先初始参与的是发布倡议书的小明1人；第一轮传播中，小明邀请n个好友转发，新增n个参与者；第二轮传播中，第一轮参与的n个好友每人邀请n个互不相同的好友，新增$n× n=n^2$个参与者。两轮传播后的总参与人数是初始人数加两轮新增人数之和，据此列一元二次方程求解即可，注意n代表人数，需取正整数。
【解析】
根据传播规则，两轮传播后总参与人数为初始1人+第一轮新增n人+第二轮新增$n^2$人，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1=10$，$n_2=-11$（人数不能为负，舍去）
故$n=10$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查实际问题中的传播问题建模，解题的易错点是容易遗漏最开始发布倡议书的发起人，导致列方程时漏掉常数项1，计算时也要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的传播类一元二次方程应用题，解题时先明确各轮参与传播的人数构成：首先初始参与的是发布倡议书的小明1人；第一轮传播中，小明邀请n个好友转发，新增n个参与者；第二轮传播中，第一轮参与的n个好友每人邀请n个互不相同的好友，新增$n× n=n^2$个参与者。两轮传播后的总参与人数是初始人数加两轮新增人数之和，据此列一元二次方程求解即可，注意n代表人数，需取正整数。
【解析】
根据传播规则，两轮传播后总参与人数为初始1人+第一轮新增n人+第二轮新增$n^2$人，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n_1=10$，$n_2=-11$（人数不能为负，舍去）
故$n=10$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查实际问题中的传播问题建模，解题的易错点是容易遗漏最开始发布倡议书的发起人，导致列方程时漏掉常数项1，计算时也要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
10. 新设问 [2026 马鞍山模拟] 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其大意是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$）（
A.$20.3\%$
B.$25.2\%$
C.$29.3\%$
D.$50\%$
C
）A.$20.3\%$
B.$25.2\%$
C.$29.3\%$
D.$50\%$
答案
10.C
解析
【分析】
本题属于平均变化率类的实际应用题，解题时首先设出每天遗忘的百分比，明确每天留存的知识占前一天的比例，再根据“两天后留存的知识为初始的一半”这一等量关系列方程，结合遗忘率的实际意义取合理的根，最后代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
设每天“遗忘”的百分比为$x$，将初始记忆量看作单位1，则每天留存的记忆量占前一天的比例为$1-x$。
根据“两天不练丢一半”，即两天后留存的记忆量为初始的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
由于遗忘率满足$0＜x＜1$，对等式两边开平方，舍去负根得：
$1-x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
整理得$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$\sqrt{2}\approx1.414$计算：
$x\approx1-\frac{1.414}{2}=1-0.707=0.293=29.3\%$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；二次根式的计算
【点评】
本题结合生活化的俗语考查数学知识的实际应用，解题核心是找准变化后的量与初始量的等量关系，将实际问题转化为数学方程求解，侧重考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于平均变化率类的实际应用题，解题时首先设出每天遗忘的百分比，明确每天留存的知识占前一天的比例，再根据“两天后留存的知识为初始的一半”这一等量关系列方程，结合遗忘率的实际意义取合理的根，最后代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
设每天“遗忘”的百分比为$x$，将初始记忆量看作单位1，则每天留存的记忆量占前一天的比例为$1-x$。
根据“两天不练丢一半”，即两天后留存的记忆量为初始的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
由于遗忘率满足$0＜x＜1$，对等式两边开平方，舍去负根得：
$1-x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
整理得$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入参考数据$\sqrt{2}\approx1.414$计算：
$x\approx1-\frac{1.414}{2}=1-0.707=0.293=29.3\%$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题；二次根式的计算
【点评】
本题结合生活化的俗语考查数学知识的实际应用，解题核心是找准变化后的量与初始量的等量关系，将实际问题转化为数学方程求解，侧重考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
11. [2026合肥三模]在国家积极政策的鼓励下,中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升.某汽车企业2023年到2025年A型汽车年销售总量增加了80%,年销售单价下降了20%.
(1)设该汽车企业2023年销售A型汽车总量为a万辆,年销售单价为b万元,请用代数式填表:
(2)若该汽车企业A型汽车2023年到2025年的年销售总额的增长率相同,求该增长率.
(1)设该汽车企业2023年销售A型汽车总量为a万辆,年销售单价为b万元,请用代数式填表:
(2)若该汽车企业A型汽车2023年到2025年的年销售总额的增长率相同,求该增长率.
答案
11.解：(1)$ab$；$1.44ab$
(2)该汽车企业A型汽车2023年至2025年的年销售总额的增长率为20%.
(2)该汽车企业A型汽车2023年至2025年的年销售总额的增长率为20%.
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据“销售总额=销售总量×销售单价”的基本等量关系，分别将对应年份的销售总量和销售单价代入计算，即可得到对应年销售总额的代数式。
(2) 解题思路：这是典型的平均增长率问题，首先设增长率为x，明确2023年销售总额为增长初始量，经过2年增长后得到2025年的销售总额，套用平均增长公式“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量（n为增长年数）”列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 2023年A型汽车年销售总额 = 年销售总量×年销售单价 = $a × b = ab$（亿元）；
2025年A型汽车年销售总额 = 2025年销售总量×2025年销售单价 = $1.8a × 0.8b = 1.44ab$（亿元）。
(2) 设该汽车企业A型汽车年销售总额的年增长率为$x$，根据题意可列方程：
$ab(1+x)^2 = 1.44ab$
由题意得$a≠0,b≠0$，方程两边同时除以$ab$，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
【答案】
(1) $ab$；$1.44ab$
(2) 该增长率为20%
【知识点】
1. 列代数式
2. 平均增长率问题
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际背景出题，难度不大，核心考查学生对销售类等量关系的掌握和平均增长率问题的建模能力，解题时要注意增长率的实际意义，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.75
(1) 解题思路：根据“销售总额=销售总量×销售单价”的基本等量关系，分别将对应年份的销售总量和销售单价代入计算，即可得到对应年销售总额的代数式。
(2) 解题思路：这是典型的平均增长率问题，首先设增长率为x，明确2023年销售总额为增长初始量，经过2年增长后得到2025年的销售总额，套用平均增长公式“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量（n为增长年数）”列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
(1) 2023年A型汽车年销售总额 = 年销售总量×年销售单价 = $a × b = ab$（亿元）；
2025年A型汽车年销售总额 = 2025年销售总量×2025年销售单价 = $1.8a × 0.8b = 1.44ab$（亿元）。
(2) 设该汽车企业A型汽车年销售总额的年增长率为$x$，根据题意可列方程：
$ab(1+x)^2 = 1.44ab$
由题意得$a≠0,b≠0$，方程两边同时除以$ab$，得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
【答案】
(1) $ab$；$1.44ab$
(2) 该增长率为20%
【知识点】
1. 列代数式
2. 平均增长率问题
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际背景出题，难度不大，核心考查学生对销售类等量关系的掌握和平均增长率问题的建模能力，解题时要注意增长率的实际意义，舍去不合理的根。
【难度系数】
0.75
12. 运算能力 某书店老板在9月底以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后，该老板去进货时发现每本的进货价上涨了$m\%$（$m＞0$），若进货量比9月底增加$3m\%$，则他以12元/本的价格全部售出后，可比国庆节的总利润多1200元，求$m\%$的值。
答案
12.解：$m\%$的值为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
解题时首先明确利润计算的核心公式：总利润=（单本售价-单本进价）×销售数量。第一步先计算国庆节期间的总利润；第二步用含m%的式子分别表示出国庆节后的单本进价、进货总量，进而表示出节后的总利润；第三步根据“节后总利润比国庆节总利润多1200元”的等量关系列方程，为简化计算可设t=m%将方程转化为一元二次方程求解，最后结合m＞0的条件舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
解：首先计算国庆节的总利润：
单本利润为$9.6-8=1.6$元，总利润为$1.6 × 500=800$元。
设$t=m\%$，则国庆节后：
单本进价为$8(1+t)$元，进货量为$500(1+3t)$本，单本利润为$12 - 8(1+t) = 4-8t$元。
根据题意，节后总利润为$800+1200=2000$元，可列方程：
$(4-8t) × 500(1+3t) = 2000$
两边同时除以500得：
$(4-8t)(1+3t)=4$
展开左边并整理：
$4 + 12t - 8t - 24t^2 = 4$
$4t -24t^2=0$
因式分解得：
$4t(1-6t)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=\frac{1}{6}$。
因为$m＞0$，所以$t=m\%＞0$，舍去$t=0$，故$m\%=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题；平均变化率问题
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是牢记利润计算公式，准确梳理不同阶段的进价、销量、售价，找准等量关系列方程求解，计算时可通过换元法简化运算，最后要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确利润计算的核心公式：总利润=（单本售价-单本进价）×销售数量。第一步先计算国庆节期间的总利润；第二步用含m%的式子分别表示出国庆节后的单本进价、进货总量，进而表示出节后的总利润；第三步根据“节后总利润比国庆节总利润多1200元”的等量关系列方程，为简化计算可设t=m%将方程转化为一元二次方程求解，最后结合m＞0的条件舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
解：首先计算国庆节的总利润：
单本利润为$9.6-8=1.6$元，总利润为$1.6 × 500=800$元。
设$t=m\%$，则国庆节后：
单本进价为$8(1+t)$元，进货量为$500(1+3t)$本，单本利润为$12 - 8(1+t) = 4-8t$元。
根据题意，节后总利润为$800+1200=2000$元，可列方程：
$(4-8t) × 500(1+3t) = 2000$
两边同时除以500得：
$(4-8t)(1+3t)=4$
展开左边并整理：
$4 + 12t - 8t - 24t^2 = 4$
$4t -24t^2=0$
因式分解得：
$4t(1-6t)=0$
解得$t_1=0$，$t_2=\frac{1}{6}$。
因为$m＞0$，所以$t=m\%＞0$，舍去$t=0$，故$m\%=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题；平均变化率问题
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是牢记利润计算公式，准确梳理不同阶段的进价、销量、售价，找准等量关系列方程求解，计算时可通过换元法简化运算，最后要注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
