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1.有1人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均每人传染的人数是（
A.12
B.11
C.10
D.9
2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的分支，若主干、枝干和分支的总数是57，则每个枝干长出
B
）A.12
B.11
C.10
D.9
2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的分支，若主干、枝干和分支的总数是57，则每个枝干长出
7
个分支。答案
1.B 2.7
解析
【分析】
这两道题均属于一元二次方程在实际问题中的应用，解题核心是先梳理清楚每一轮（层）的数量变化规律，设出未知量，根据总数量的等量关系列方程求解，最后注意舍去不符合实际意义的负根。
第1题：明确传染规律，初始1个患者，每轮每人传染x人，第一轮结束后总患病人数为初始患者加第一轮新增患者，即1+x；第二轮中这1+x个患者每人再传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为(1+x)的平方，根据两轮后共144人患病即可列方程求解。
第2题：明确三层结构：1个主干，x个枝干，每个枝干长x个小分支，因此小分支总数为x²，根据三者总和为57列方程求解即可。
【解析】
1. 解：设每轮传染中平均每人传染的人数为x。
第一轮传染后总患病人数为：$1+x$
第二轮由$(1+x)$个患者作为传染源，每人传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为：$(1+x)+x(1+x)=(1+x)^2$
根据题意列方程：$(1+x)^2=144$
开平方得：$1+x=\pm12$
因为传染人数不能为负数，所以$1+x=12$，解得$x=11$
2. 解：设每个枝干长出x个分支。
由题意得：主干数量+枝干数量+小分支数量=57，即$1+x+x^2=57$
整理得：$x^2+x-56=0$
因式分解得：$(x+8)(x-7)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$（分支数量不能为负，舍去）
【答案】
1.B 2.7
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题建模，一元二次方程求解
【点评】
这两道题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理数量变化规律建立方程，求解后要注意结合实际意义验根，属于常考的基础类应用题。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于一元二次方程在实际问题中的应用，解题核心是先梳理清楚每一轮（层）的数量变化规律，设出未知量，根据总数量的等量关系列方程求解，最后注意舍去不符合实际意义的负根。
第1题：明确传染规律，初始1个患者，每轮每人传染x人，第一轮结束后总患病人数为初始患者加第一轮新增患者，即1+x；第二轮中这1+x个患者每人再传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为(1+x)的平方，根据两轮后共144人患病即可列方程求解。
第2题：明确三层结构：1个主干，x个枝干，每个枝干长x个小分支，因此小分支总数为x²，根据三者总和为57列方程求解即可。
【解析】
1. 解：设每轮传染中平均每人传染的人数为x。
第一轮传染后总患病人数为：$1+x$
第二轮由$(1+x)$个患者作为传染源，每人传染x人，因此第二轮结束后总患病人数为：$(1+x)+x(1+x)=(1+x)^2$
根据题意列方程：$(1+x)^2=144$
开平方得：$1+x=\pm12$
因为传染人数不能为负数，所以$1+x=12$，解得$x=11$
2. 解：设每个枝干长出x个分支。
由题意得：主干数量+枝干数量+小分支数量=57，即$1+x+x^2=57$
整理得：$x^2+x-56=0$
因式分解得：$(x+8)(x-7)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$（分支数量不能为负，舍去）
【答案】
1.B 2.7
【知识点】
一元二次方程应用，传播问题建模，一元二次方程求解
【点评】
这两道题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理数量变化规律建立方程，求解后要注意结合实际意义验根，属于常考的基础类应用题。
【难度系数】
0.8
3.某药企为了适应市场需求，不断改进生产工艺，降本增效，使两年前生产的某种药品的成本由60元降低到今年的40元.设这种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程中正确的是（
A.$60(1-x^2)=40$
B.$40(1+x)^2=60$
C.$60(1-x)^2=40$
D.$60(1-2x)=40$
4.新情境 为了深刻践行低碳环保的生活理念，点点所在学校发起了“拒绝外卖，走出寝室”的活动.该校原来每周的外卖量为3000单，若计划两周后外卖量下降到1920单，则这两周该校外卖量平均每周的下降率为
C
）A.$60(1-x^2)=40$
B.$40(1+x)^2=60$
C.$60(1-x)^2=40$
D.$60(1-2x)=40$
4.新情境 为了深刻践行低碳环保的生活理念，点点所在学校发起了“拒绝外卖，走出寝室”的活动.该校原来每周的外卖量为3000单，若计划两周后外卖量下降到1920单，则这两周该校外卖量平均每周的下降率为
20%
.答案
3.C 4.20%
解析
【分析】
这两道题都属于平均下降率的实际应用问题，解题核心是掌握平均变化率的通用公式：若初始数值为a，每期的平均下降率为x，经过n期后的最终数值为$a(1-x)^n$。解题时首先定位题目中的初始量、变化期数、最终量三个核心量，代入公式即可列出方程，求解下降率时注意要舍去不符合实际意义的根。
第3题中，初始成本是两年前的60元，变化期数n=2，最终成本是今年的40元，直接代入公式即可匹配正确选项；第4题中初始外卖量3000单，变化期数n=2，最终外卖量1920单，代入公式列一元二次方程求解即可得到下降率。
【解析】
3. 设药品成本的年平均下降率为x，已知初始成本（两年前）为60元，经过2年下降到今年的40元，根据平均下降率公式：$\mathrm{初始量} × (1-\mathrm{下降率})^n=\mathrm{最终量}$，代入数据可得：
$60(1-x)^2=40$，故选C。
4. 设这两周外卖量平均每周的下降率为x，已知初始每周外卖量为3000单，经过2周下降到1920单，代入平均下降率公式得：
$3000(1-x)^2=1920$
两边同时除以3000得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
由于下降率x满足$0＜x＜1$，因此$1-x＞0$，故取$1-x=0.8$
解得$x=0.2=20\%$
【答案】
3.C 4.20%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用；下降率计算
【点评】
这两道题是平均变化率类问题的基础题型，核心是找准初始量、变化周期、最终量三个关键量，正确区分下降率和增长率的公式差异，求解后注意验证结果是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于平均下降率的实际应用问题，解题核心是掌握平均变化率的通用公式：若初始数值为a，每期的平均下降率为x，经过n期后的最终数值为$a(1-x)^n$。解题时首先定位题目中的初始量、变化期数、最终量三个核心量，代入公式即可列出方程，求解下降率时注意要舍去不符合实际意义的根。
第3题中，初始成本是两年前的60元，变化期数n=2，最终成本是今年的40元，直接代入公式即可匹配正确选项；第4题中初始外卖量3000单，变化期数n=2，最终外卖量1920单，代入公式列一元二次方程求解即可得到下降率。
【解析】
3. 设药品成本的年平均下降率为x，已知初始成本（两年前）为60元，经过2年下降到今年的40元，根据平均下降率公式：$\mathrm{初始量} × (1-\mathrm{下降率})^n=\mathrm{最终量}$，代入数据可得：
$60(1-x)^2=40$，故选C。
4. 设这两周外卖量平均每周的下降率为x，已知初始每周外卖量为3000单，经过2周下降到1920单，代入平均下降率公式得：
$3000(1-x)^2=1920$
两边同时除以3000得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
由于下降率x满足$0＜x＜1$，因此$1-x＞0$，故取$1-x=0.8$
解得$x=0.2=20\%$
【答案】
3.C 4.20%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用；下降率计算
【点评】
这两道题是平均变化率类问题的基础题型，核心是找准初始量、变化周期、最终量三个关键量，正确区分下降率和增长率的公式差异，求解后注意验证结果是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
5.安徽特产黄山毛峰是中国十大名茶之一，茶叶颜色鲜亮，茶香扑鼻，被誉为黄山一绝.在某次茶品交易会上，茶农小林参展首日签单100份，第三天签单144份，若设签单数日平均增长率为x，则x满足的方程为
$100(1+x)^2=144$
.答案
5.$100(1+x)^2=144$
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本模型：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后得到的量为$a(1+x)^n$。本题中首日签单量是初始量，需要先确定从首日到第三天的增长次数：首日是第1天，到第2天增长1次，到第3天共增长2次，再结合第三天的签单量即可列出方程。
【解析】
已知首日签单100份，日平均增长率为x：
1. 第二天的签单量为：$100(1+x)$
2. 第三天的签单量是在第二天的基础上再增长x，因此第三天签单量为：$100(1+x) × (1+x) = 100(1+x)^2$
3. 题目已知第三天签单144份，因此可列方程：$100(1+x)^2 = 144$
【答案】
$100(1+x)^2=144$
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确判断增长的次数，牢记平均增长率的计算公式，易错点是误将增长次数算为3次，导致指数写错。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本模型：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后得到的量为$a(1+x)^n$。本题中首日签单量是初始量，需要先确定从首日到第三天的增长次数：首日是第1天，到第2天增长1次，到第3天共增长2次，再结合第三天的签单量即可列出方程。
【解析】
已知首日签单100份，日平均增长率为x：
1. 第二天的签单量为：$100(1+x)$
2. 第三天的签单量是在第二天的基础上再增长x，因此第三天签单量为：$100(1+x) × (1+x) = 100(1+x)^2$
3. 题目已知第三天签单144份，因此可列方程：$100(1+x)^2 = 144$
【答案】
$100(1+x)^2=144$
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确判断增长的次数，牢记平均增长率的计算公式，易错点是误将增长次数算为3次，导致指数写错。
【难度系数】
0.8
6.黄山烧饼是安徽省黄山市的一种特色传统小吃.刚出炉的黄山烧饼色泽金黄,吃起来酥脆爽口,油而不腻,令人回味无穷.据了解黄山烧饼3月份销售额为200万元,以后每月销售额按相同的增长率增长,预计3~5月份销售额可以累计达700万元.设月销售额的增长率为$x$,则可列方程为 (
A.$200(1+x)^3=700$
B.$200(1+x)^2=700$
C.$200+200x+200x^2=700$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=700$
D
)A.$200(1+x)^3=700$
B.$200(1+x)^2=700$
C.$200+200x+200x^2=700$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=700$
答案
6.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平均增长率下各阶段销售额的计算方法，再结合“3~5月累计销售额达700万元”的条件列方程。第一步先确定各月的销售额：3月销售额已知为200万元，月增长率为x时，后一个月的销售额=前一个月销售额×(1+x)，据此可分别算出4月、5月的销售额；第二步，“累计销售额”是三个月销售额的总和，将三个月的销售额相加等于700万元，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
1. 计算各月销售额：
3月份销售额：已知为200万元；
4月份销售额：在3月基础上增长x，故为$200(1+x)$万元；
5月份销售额：在4月基础上增长x，故为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元。
2. 根据“3~5月份销售额累计达700万元”，即三个月销售额之和为700万元，列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 700$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率的典型应用问题，解题的易错点是忽略“累计”二字，误将5月份的单月销售额当成总销售额错选其他选项，审题时要注意区分单月数值和累计数值。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确平均增长率下各阶段销售额的计算方法，再结合“3~5月累计销售额达700万元”的条件列方程。第一步先确定各月的销售额：3月销售额已知为200万元，月增长率为x时，后一个月的销售额=前一个月销售额×(1+x)，据此可分别算出4月、5月的销售额；第二步，“累计销售额”是三个月销售额的总和，将三个月的销售额相加等于700万元，即可得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
1. 计算各月销售额：
3月份销售额：已知为200万元；
4月份销售额：在3月基础上增长x，故为$200(1+x)$万元；
5月份销售额：在4月基础上增长x，故为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$万元。
2. 根据“3~5月份销售额累计达700万元”，即三个月销售额之和为700万元，列方程得：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 700$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率的典型应用问题，解题的易错点是忽略“累计”二字，误将5月份的单月销售额当成总销售额错选其他选项，审题时要注意区分单月数值和累计数值。
【难度系数】
0.7
7. 立德树人·革命文化 合肥市“渡江战役纪念馆”是国内规模最大、收藏史料最全的纪念渡江战役辉煌历史的专题场馆，是红色主题教育的重要活动基地.某年5月份该馆接待参观人数10万，7月份接待参观人数增加到14.4万.
(1)求5至7月份参观人数的月平均增长率.
(2)若该馆每月的接待量不得超过17万人，按照这个增长率，则8月份该馆能否满足游客的参观量？
(1)求5至7月份参观人数的月平均增长率.
(2)若该馆每月的接待量不得超过17万人，按照这个增长率，则8月份该馆能否满足游客的参观量？
答案
7.解：(1)5至7月份参观人数的月平均增长率为20%.
(2)8月份该馆不能满足游客的参观量.
(2)8月份该馆不能满足游客的参观量.
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：
(1) 平均增长率问题的通用数量关系为：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终量。5月到7月共增长2次，初始参观人数为10万，最终参观人数为14.4万，设月平均增长率为$ x $，代入关系列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
(2) 用7月的参观人数乘(1+增长率)算出8月的预计参观人数，再和场馆最大接待量17万比较大小，即可判断能否满足游客需求。
【解析】
(1) 设5至7月份参观人数的月平均增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 10(1+x)^2 = 14.4 $
方程两边同时除以10得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm 1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
因此5至7月份参观人数的月平均增长率为20%。
(2) 按照20%的增长率，8月份的参观人数为：
$ 14.4 × (1+20\%) = 14.4 × 1.2 = 17.28 $（万）
因为$ 17.28 ＞ 17 $，超出了场馆每月最大接待量，所以8月份该馆不能满足游客的参观量。
【答案】
(1) 5至7月份参观人数的月平均增长率为20%；(2) 8月份该馆不能满足游客的参观量。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题结合红色教育场馆的实际场景命题，贴近现实生活，解题核心是熟练掌握平均增长率问题的等量关系，能正确列方程求解，并结合实际场景对结果进行取舍、判断。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：
(1) 平均增长率问题的通用数量关系为：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数 = 最终量。5月到7月共增长2次，初始参观人数为10万，最终参观人数为14.4万，设月平均增长率为$ x $，代入关系列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际的负根。
(2) 用7月的参观人数乘(1+增长率)算出8月的预计参观人数，再和场馆最大接待量17万比较大小，即可判断能否满足游客需求。
【解析】
(1) 设5至7月份参观人数的月平均增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 10(1+x)^2 = 14.4 $
方程两边同时除以10得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm 1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
因此5至7月份参观人数的月平均增长率为20%。
(2) 按照20%的增长率，8月份的参观人数为：
$ 14.4 × (1+20\%) = 14.4 × 1.2 = 17.28 $（万）
因为$ 17.28 ＞ 17 $，超出了场馆每月最大接待量，所以8月份该馆不能满足游客的参观量。
【答案】
(1) 5至7月份参观人数的月平均增长率为20%；(2) 8月份该馆不能满足游客的参观量。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题结合红色教育场馆的实际场景命题，贴近现实生活，解题核心是熟练掌握平均增长率问题的等量关系，能正确列方程求解，并结合实际场景对结果进行取舍、判断。
【难度系数】
0.8
