☑️一题多问串重难
【例】已知二次函数$y=ax^2 - 2x - 3$，根据下列要求回答问题：
(1)当$a=0$时，$y=$，是函数(填“一次”或“二次”)，函数图象经过第象限，$y$随$x$的增大而.
(2)当$a≠0$时，$y=ax^2 - 2x - 3$是函数(填“一次”或“二次”).若$a=1$，回答下列问题：
①将其化为顶点式为.
②【画函数图象】请在下面的方框内画出该函数图象的示意图.

③【与坐标轴的交点问题】抛物线与$x$轴的交点坐标为；与$y$轴的交点坐标为.
④【图象平移问题】将抛物线先向上平移7个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得到的抛物线的表达式是.
⑤【最值问题】a.当$-1≤x≤4$时，函数$y$的最大值为，最小值为.
b.若当$t≤x≤6$时，函数$y$的最小值为$-2$，则$t$的值为.
c.若当$x≤t$时，函数$y$有最小值$-4$，则$t$的取值范围是.
d.若当$t≤x≤t+2$时，函数$y$的最大值是5，则$t$的值为.

(1) $y=-2x-3$，是一次函数，函数图象经过第二、三、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 是二次函数：
① $y=(x-1)^2-4$
② 图略
③ 抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),(3,0)$；与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$
④ 平移后抛物线的表达式是$y=(x+4)^2+3$（或$y=x^2+8x+19$）
⑤ a. 当$-1≤x≤4$时，函数$y$的最大值为5，最小值为$-4$
b. 当$t≤x≤6$时，函数$y$的最小值为$-2$，$t$的值为$1+\sqrt{2}$
c. 当$x≤t$时，函数$y$有最小值$-4$，$t$的取值范围是$t≥1$
d. 当$t≤x≤t+2$时，函数$y$的最大值是5，$t$的值为2或-2

【分析】
本题围绕函数分类、一次函数性质、二次函数核心知识点展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：a=0时二次项消失，函数变为一次函数，根据一次函数的k、b值即可判断图象经过的象限和增减性。
2. 第(2)问：a≠0时函数最高次为2次，符合二次函数定义。当a=1时：
① 化为顶点式可采用配方法对含x的项配方即可；
② 画图象先确定顶点、与坐标轴的交点，再用平滑曲线连接即可；
③ 求与x轴交点令y=0解一元二次方程，求与y轴交点令x=0计算y值即可；
④ 平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对常数项）”的规律计算；
⑤ 最值问题：先确定抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点为最小值点，再结合给定的x区间，判断区间内离对称轴最远的点取最大值，若区间包含顶点则顶点为最小值，不包含则靠近顶点的端点取最小值，分情况讨论即可得到对应结果。
【解析】
(1) 当a=0时，代入表达式得$y=-2x-3$，符合一次函数$y=kx+b(k≠0)$的形式，属于一次函数；其中$k=-2＜0$，$b=-3＜0$，因此函数图象经过第二、三、四象限，且$k＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
(2) 当$a≠0$时，函数最高次项为二次项，属于二次函数。若$a=1$，函数为$y=x^2-2x-3$：
① 用配方法化顶点式：$y=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$；
② 画示意图：先确定顶点$(1,-4)$、与x轴交点$(-1,0)$和$(3,0)$、与y轴交点$(0,-3)$，开口向上，用平滑曲线连接各点即可（图略）；
③ 求与x轴交点：令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x=-1$或$x=3$，因此交点坐标为$(-1,0)$、$(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，因此与y轴交点坐标为$(0,-3)$；
④ 平移：先向上平移7个单位，得$y=(x-1)^2-4+7=(x-1)^2+3$，再向左平移5个单位，将x替换为$x+5$，得$y=(x-1+5)^2+3=(x+4)^2+3$，展开也可写为$y=x^2+8x+19$；
⑤ a. 对称轴为$x=1$，在$-1≤x≤4$区间内，$x=1$时取最小值$y=-4$；离对称轴最远的点为$x=4$，代入得$y=(4-1)^2-4=5$，因此最大值为5，最小值为-4；
b. 函数顶点最小值为-4，现在区间$t≤x≤6$内最小值为-2，说明区间不含顶点，且最小值在区间左端点取得，令$y=-2$，即$(x-1)^2-4=-2$，解得$x=1±\sqrt{2}$，因为区间右边界$6＞1$，可知区间在对称轴右侧，因此左端点$t=1+\sqrt{2}$；
c. 函数最小值-4在$x=1$处取得，要使$x≤t$时有最小值-4，说明区间$x≤t$包含$x=1$，即$t≥1$；
d. 令$y=5$，即$(x-1)^2-4=5$，解得$x=4$或$x=-2$，区间$[t,t+2]$长度为2，最大值为5说明区间端点刚好取到5：若右端点$t+2=4$，则$t=2$，区间$[2,4]$最大值在$x=4$处取5；若左端点$t=-2$，区间$[-2,0]$最大值在$x=-2$处取5，因此$t=2$或$t=-2$。
【答案】
(1) $-2x-3$；一次；二、三、四；减小
(2) 二次
① $y=(x-1)^2-4$
② 图略
③ $(-1,0),(3,0)$；$(0,-3)$
④ $y=(x+4)^2+3$（或$y=x^2+8x+19$）
⑤ a. $5$；$-4$
b. $1+\sqrt{2}$
c. $t≥1$
d. $2$或$-2$
【知识点】
1. 一次函数性质
2. 二次函数性质
3. 函数图象平移
【点评】
本题从基础的函数分类入手，逐层考查二次函数的顶点式转化、交点求解、图象平移、区间最值等核心知识点，题型经典，覆盖全面，能有效检验对二次函数相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

方法指导
针对【例】(2)⑤d问,解法如下:
第一步:画函数图象的草图,分情况讨论.
①$t≥1$,如图.
当$x=$时,$y$有最大值,$y_{\mathrm{max}}=(t+2-1)^2 -4=5$,
解得$t_1=$,
$t_2=$.
$\because t≥1,\therefore t=$.
②$t+2≤1$,即$t≤-1$,如图.
当$x=\_\_\_\_\_\_=5$,
解得$t_1=$,
$t_2=$.
$\because t≤-1,\therefore t=$.
③$t＜1$且$t+2＞1$,即$-1＜t＜1$,如图.
$\therefore1＜t+2＜3$.
当$t≤ x≤ t+2$时,函数值均0(填“＞”“＜”或“=”),不合题意,舍去.
第二步:得出结论,$t$的值为.

①$t+2$，解得$t_1=2$，$t_2=-4$，$t≥1$时$t=2$
②$x=t$，解得$t_1=-2$，$t_2=4$，$t≤-1$时$t=-2$
③函数值均$＜0$，舍去
最终结论：$t$的值为2或-2

【分析】
首先明确本题涉及的二次函数为$y=(x-1)^2-4$，其开口向上，对称轴为直线$x=1$，属于动区间$[t,t+2]$上的二次函数最值问题。解题思路为：根据动区间与对称轴的位置关系分三类讨论：1.区间在对称轴右侧；2.区间在对称轴左侧；3.区间包含对称轴。每一类先根据二次函数单调性确定区间内取最大值的自变量取值，代入最大值为5列方程求解，再结合对应分类下$t$的取值范围对解进行取舍，排除不符合范围的解，最后汇总符合要求的$t$值。
【解析】
已知二次函数$y=(x-1)^2-4$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，函数在$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，在$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，顶点处$y$取最小值$-4$，分三类讨论：
① 当$t≥1$时，区间$[t,t+2]$在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，因此最大值在$x=t+2$处取得：
代入得$(t+2-1)^2-4=5$，整理得$(t+1)^2=9$，开方得$t+1=\pm3$，解得$t_1=2$，$t_2=-4$，
$\because t≥1$，$\therefore t=2$，舍去不符合范围的$t=-4$。
② 当$t+2≤1$即$t≤-1$时，区间$[t,t+2]$在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，因此最大值在$x=t$处取得：
代入得$(t-1)^2-4=5$，整理得$(t-1)^2=9$，开方得$t-1=\pm3$，解得$t_1=4$，$t_2=-2$，
$\because t≤-1$，$\therefore t=-2$，舍去不符合范围的$t=4$。
③ 当$t＜1$且$t+2＞1$即$-1＜t＜1$时，区间包含对称轴$x=1$，此时区间两端点的函数值分别为：
$x=t$时，$y=(t-1)^2-4$，$\because -1＜t＜1$，$\therefore 0＜(t-1)^2＜4$，故$y＜0$；
$x=t+2$时，$y=(t+1)^2-4$，$\because -1＜t＜1$，$\therefore 0＜(t+1)^2＜4$，故$y＜0$；
区间顶点处函数值为$-4＜0$，因此区间内所有函数值均小于0，不可能取到最大值5，舍去该情况。
综上，符合要求的$t$的值为2或-2。
【答案】
①$t+2$；$2$；$-4$；$2$
②$t$；$4$；$-2$；$-2$
③$＜$
最终结论：$2$或$-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题考查动区间下二次函数的最值求解，解题关键是结合二次函数的开口方向、对称轴，判断动区间与对称轴的位置关系，再根据函数单调性确定最值对应的自变量取值，求解后要结合分类的前提条件对结果进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7