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1. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔的形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度为20 m，顶点距水面8 m，小孔顶点距水面5 m.求当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度.($\sqrt{6}\approx2.449$，结果保留小数点后一位)
答案
1. 解:建立平面直角坐标系,图略. 设大孔所在的抛物线的表达式为$y=ax^{2}$.由题意,得抛物线经过点$(10,-8)$,可得$-8=a×10^{2}$,解得$a=-\frac{2}{25}$.
∴这条抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{25}x^{2}$.当$y=-3$时,$x=\pm\frac{5\sqrt{6}}{2}$,此时水面宽度为$\frac{5\sqrt{6}}{2}-(-\frac{5\sqrt{6}}{2})=5\sqrt{6}\approx12.2(\mathrm{m}).$
∴当水位上涨到刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度约为12.2 m.
∴这条抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{25}x^{2}$.当$y=-3$时,$x=\pm\frac{5\sqrt{6}}{2}$,此时水面宽度为$\frac{5\sqrt{6}}{2}-(-\frac{5\sqrt{6}}{2})=5\sqrt{6}\approx12.2(\mathrm{m}).$
∴当水位上涨到刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度约为12.2 m.
解析
【分析】
解决抛物线拱桥的实际问题，首先要通过建立合适的平面直角坐标系简化计算：选择大孔抛物线的顶点为坐标原点、对称轴为y轴建系，此时大孔抛物线的解析式可设为最简顶点式$y=ax^2$。第一步，利用正常水位下大孔的水面宽度、顶点距水面的高度，找到抛物线上的已知点代入解析式，求出系数$a$确定解析式；第二步，明确水位刚好淹没小孔时的水面高度：正常水位时小孔顶点距水面5m，大孔顶点距水面8m，因此此时水面距离大孔顶点的高度差为$8-5=3\mathrm{m}$，对应坐标系中水面的纵坐标为$-3$；第三步，将$y=-3$代入解析式求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是此时大孔的水面宽度，最后代入$\sqrt{6}$的近似值计算结果即可。
【解析】
解：以大孔所在抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设大孔所在抛物线的表达式为$y=ax^2$，
由题意得，正常水位时大孔水面宽度为20m，顶点距水面8m，因此抛物线经过点$(10,-8)$，
将点$(10,-8)$代入解析式得：$-8=a×10^2$，
解得$a=-\frac{2}{25}$，
∴大孔所在抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{25}x^2$。
当水位上涨到刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标为$y=-(8-5)=-3$，
将$y=-3$代入解析式得：$-3=-\frac{2}{25}x^2$，
解得$x=\pm\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
此时大孔的水面宽度为$\frac{5\sqrt{6}}{2}-(-\frac{5\sqrt{6}}{2})=5\sqrt{6}\approx5×2.449\approx12.2(\mathrm{m})$。
【答案】
当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度约为12.2 m。
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际的长度、高度关系转化为坐标系内的点坐标，再结合二次函数的性质求解，考查了学生的数学建模思想和计算能力。
【难度系数】
0.6
解决抛物线拱桥的实际问题，首先要通过建立合适的平面直角坐标系简化计算：选择大孔抛物线的顶点为坐标原点、对称轴为y轴建系，此时大孔抛物线的解析式可设为最简顶点式$y=ax^2$。第一步，利用正常水位下大孔的水面宽度、顶点距水面的高度，找到抛物线上的已知点代入解析式，求出系数$a$确定解析式；第二步，明确水位刚好淹没小孔时的水面高度：正常水位时小孔顶点距水面5m，大孔顶点距水面8m，因此此时水面距离大孔顶点的高度差为$8-5=3\mathrm{m}$，对应坐标系中水面的纵坐标为$-3$；第三步，将$y=-3$代入解析式求出对应的$x$值，两个$x$值的差就是此时大孔的水面宽度，最后代入$\sqrt{6}$的近似值计算结果即可。
【解析】
解：以大孔所在抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设大孔所在抛物线的表达式为$y=ax^2$，
由题意得，正常水位时大孔水面宽度为20m，顶点距水面8m，因此抛物线经过点$(10,-8)$，
将点$(10,-8)$代入解析式得：$-8=a×10^2$，
解得$a=-\frac{2}{25}$，
∴大孔所在抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{25}x^2$。
当水位上涨到刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标为$y=-(8-5)=-3$，
将$y=-3$代入解析式得：$-3=-\frac{2}{25}x^2$，
解得$x=\pm\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
此时大孔的水面宽度为$\frac{5\sqrt{6}}{2}-(-\frac{5\sqrt{6}}{2})=5\sqrt{6}\approx5×2.449\approx12.2(\mathrm{m})$。
【答案】
当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度约为12.2 m。
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际的长度、高度关系转化为坐标系内的点坐标，再结合二次函数的性质求解，考查了学生的数学建模思想和计算能力。
【难度系数】
0.6
2. A教材经典素材 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$ h $（单位：m）满足关系式$ h = -5t^2 + v_0 t $，其中$ t $（单位：s）是物体运动的时间，$ v_0 $（单位：m/s）是物体被发射时的速度。社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球。
(1) 小球被发射后
(2) 若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度。
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同。小明说：“这两次间隔的时间为3 s。”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
(1) 小球被发射后
$\frac{v_0}{10}$
s时离地面的高度最大（用含$ v_0 $的式子表示）。(2) 若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度。
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同。小明说：“这两次间隔的时间为3 s。”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由。
答案
2. 解:(1)$\frac{v_0}{10}$ (2)$\because h=-5(t-\frac{v_0}{10})^{2}+\frac{v_0^2}{20}$,$\therefore \frac{v_0^2}{20}=20$,解得$v_0=20$(负值舍去).
∴小球被发射时的速度是20 m/s. (3)小明的说法不正确.理由如下:由(2),得$h=-5t^2+20t$.当$h=15$时,$15=-5t^2+20t$,解得$t_1=1$,$t_2=3$.
∴两次间隔的时间为$3-1=2(\mathrm{s}).$
∴小明的说法不正确.
∴小球被发射时的速度是20 m/s. (3)小明的说法不正确.理由如下:由(2),得$h=-5t^2+20t$.当$h=15$时,$15=-5t^2+20t$,解得$t_1=1$,$t_2=3$.
∴两次间隔的时间为$3-1=2(\mathrm{s}).$
∴小明的说法不正确.
解析
【分析】
(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为$-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，可利用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$计算对应时间，代入$a=-5$、$b=v_0$即可求解；
(2) 最大高度就是二次函数顶点的纵坐标，先将函数解析式配方为顶点式，令顶点纵坐标等于20m，解方程即可求出发射速度，注意速度为正数，需舍去负根；
(3) 先将(2)中求得的$v_0$代入高度关系式，再令$h=15\mathrm{m}$得到关于$t$的一元二次方程，解出两个时间值后计算差值，与3s对比即可判断小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2+v_0t$，$a=-5$，$b=v_0$，取最大值时：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$
(2) 将函数配方得：
$h=-5(t-\frac{v_0}{10})^2+\frac{v_0^2}{20}$
已知最大高度为20m，因此$\frac{v_0^2}{20}=20$，解得$v_0^2=400$，$v_0=\pm20$，因发射速度为正数，舍去$v_0=-20$，即$v_0=20\mathrm{m/s}$。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
由(2)得高度关系式为$h=-5t^2+20t$，令$h=15$，可得：
$15=-5t^2+20t$
整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$
两次间隔时间为$3-1=2\mathrm{s}≠3\mathrm{s}$，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) $\frac{v_0}{10}$；(2) 小球被发射时的速度是20 m/s；(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s。
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题结合竖直上抛的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是熟练掌握二次函数求最值的方法，能根据函数值建立方程求解对应自变量，较好地体现了数学知识解决实际问题的作用。
【难度系数】
0.8
(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为$-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，可利用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$计算对应时间，代入$a=-5$、$b=v_0$即可求解；
(2) 最大高度就是二次函数顶点的纵坐标，先将函数解析式配方为顶点式，令顶点纵坐标等于20m，解方程即可求出发射速度，注意速度为正数，需舍去负根；
(3) 先将(2)中求得的$v_0$代入高度关系式，再令$h=15\mathrm{m}$得到关于$t$的一元二次方程，解出两个时间值后计算差值，与3s对比即可判断小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2+v_0t$，$a=-5$，$b=v_0$，取最大值时：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$
(2) 将函数配方得：
$h=-5(t-\frac{v_0}{10})^2+\frac{v_0^2}{20}$
已知最大高度为20m，因此$\frac{v_0^2}{20}=20$，解得$v_0^2=400$，$v_0=\pm20$，因发射速度为正数，舍去$v_0=-20$，即$v_0=20\mathrm{m/s}$。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
由(2)得高度关系式为$h=-5t^2+20t$，令$h=15$，可得：
$15=-5t^2+20t$
整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t_1=1$，$t_2=3$
两次间隔时间为$3-1=2\mathrm{s}≠3\mathrm{s}$，因此小明的说法错误。
【答案】
(1) $\frac{v_0}{10}$；(2) 小球被发射时的速度是20 m/s；(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s。
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用，一元二次方程的求解
【点评】
本题结合竖直上抛的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是熟练掌握二次函数求最值的方法，能根据函数值建立方程求解对应自变量，较好地体现了数学知识解决实际问题的作用。
【难度系数】
0.8
3. 图1是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.图2是该小组绘制的水滑道截面图,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分,请根据测量和调查得到的数据和信息解决以下问题.
(1)如图2,点B与地面的距离为2米,水滑道最低点C与地面的距离为$\frac{7}{8}$米,点C到点B的水平距离为3米,求水滑道ACB所在抛物线的表达式.
(2)在(1)的条件下,某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①腾空飞出后的最大高度为
②腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE应不少于3米.那么人飞出后的落点D是否在安全距离内?请说明理由.
(1)如图2,点B与地面的距离为2米,水滑道最低点C与地面的距离为$\frac{7}{8}$米,点C到点B的水平距离为3米,求水滑道ACB所在抛物线的表达式.
(2)在(1)的条件下,某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①腾空飞出后的最大高度为
$\frac{25}{8}$
米,抛物线BD的表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$
.②腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE应不少于3米.那么人飞出后的落点D是否在安全距离内?请说明理由.
答案
3. 解:(1)由题意,得$B(0,2)$,$C(-3,\frac{7}{8})$,设水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+\frac{7}{8}$.把$B(0,2)$代入,得$2=a(0+3)^2+\frac{7}{8}$,解得$a=\frac{1}{8}$.
∴水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$. (2)①$\frac{25}{8}$ $y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$ ②人飞出后的落点D在安全距离内.理由如下:把$y=0$代入$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$,得$-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}=0$,解得$x_1=8$,$x_2=-2$(不合题意,舍去).
∴$D(8,0)$.
∴$OD=8$米.$\because OE=12$米,$\therefore 12-8=4＞3$.
∴人飞出后的落点D在安全距离内.
∴水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$. (2)①$\frac{25}{8}$ $y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$ ②人飞出后的落点D在安全距离内.理由如下:把$y=0$代入$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$,得$-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}=0$,解得$x_1=8$,$x_2=-2$(不合题意,舍去).
∴$D(8,0)$.
∴$OD=8$米.$\because OE=12$米,$\therefore 12-8=4＞3$.
∴人飞出后的落点D在安全距离内.
解析
【分析】
(1) 已知水滑道ACB所在抛物线的最低点C为抛物线顶点，因此优先用顶点式设解析式。先根据题意确定顶点C和点B的坐标，代入顶点式求出系数a，即可得到抛物线表达式。
(2) ① 两抛物线关于点B中心对称，则二者顶点关于B对称，开口大小不变、方向相反，先根据中心对称性质求出腾空后抛物线的顶点坐标，即可得到最大高度和BD的表达式；② 落点D是抛物线BD与x轴正半轴的交点，令BD的解析式中y=0，求出x的正值得OD的长度，再计算DE的长度与3比较，即可判断是否安全。
【解析】
(1) 由题意得，$B(0,2)$，抛物线顶点$C(-3,\frac{7}{8})$，设水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+\frac{7}{8}$。
把$B(0,2)$代入得：$2=a(0+3)^2+\frac{7}{8}$，解得$a=\frac{1}{8}$。
∴水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$。
(2) ①
∵抛物线BD与抛物线ACB关于点B中心对称，
∴BD的顶点与C关于B对称，开口大小相同、方向相反，即$a=-\frac{1}{8}$。
设BD的顶点为$(m,n)$，由中点坐标公式得：$\frac{-3+m}{2}=0$，$\frac{\frac{7}{8}+n}{2}=2$，解得$m=3$，$n=\frac{25}{8}$。
因此腾空后的最大高度为$\frac{25}{8}$米，抛物线BD的表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$。
② 人飞出后的落点D在安全距离内，理由如下：
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$，得$-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）。
∴$D(8,0)$，即$OD=8$米。
∵$OE=12$米，
∴$DE=OE-OD=12-8=4$米，$4＞3$，因此落点D在安全距离内。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$
(2) ① $\frac{25}{8}$；$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$ ② 人飞出后的落点D在安全距离内
【知识点】
二次函数的实际应用；中心对称的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题结合娱乐场景考查二次函数相关知识，需要学生将实际问题转化为二次函数数学模型，既考察了二次函数解析式的求法，也考察了中心对称性质和二次函数与一元二次方程的联系，综合性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 已知水滑道ACB所在抛物线的最低点C为抛物线顶点，因此优先用顶点式设解析式。先根据题意确定顶点C和点B的坐标，代入顶点式求出系数a，即可得到抛物线表达式。
(2) ① 两抛物线关于点B中心对称，则二者顶点关于B对称，开口大小不变、方向相反，先根据中心对称性质求出腾空后抛物线的顶点坐标，即可得到最大高度和BD的表达式；② 落点D是抛物线BD与x轴正半轴的交点，令BD的解析式中y=0，求出x的正值得OD的长度，再计算DE的长度与3比较，即可判断是否安全。
【解析】
(1) 由题意得，$B(0,2)$，抛物线顶点$C(-3,\frac{7}{8})$，设水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+\frac{7}{8}$。
把$B(0,2)$代入得：$2=a(0+3)^2+\frac{7}{8}$，解得$a=\frac{1}{8}$。
∴水滑道ACB所在抛物线的表达式为$y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$。
(2) ①
∵抛物线BD与抛物线ACB关于点B中心对称，
∴BD的顶点与C关于B对称，开口大小相同、方向相反，即$a=-\frac{1}{8}$。
设BD的顶点为$(m,n)$，由中点坐标公式得：$\frac{-3+m}{2}=0$，$\frac{\frac{7}{8}+n}{2}=2$，解得$m=3$，$n=\frac{25}{8}$。
因此腾空后的最大高度为$\frac{25}{8}$米，抛物线BD的表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$。
② 人飞出后的落点D在安全距离内，理由如下：
把$y=0$代入$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$，得$-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-2$（不合题意，舍去）。
∴$D(8,0)$，即$OD=8$米。
∵$OE=12$米，
∴$DE=OE-OD=12-8=4$米，$4＞3$，因此落点D在安全距离内。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{8}(x+3)^2+\frac{7}{8}$
(2) ① $\frac{25}{8}$；$y=-\frac{1}{8}(x-3)^2+\frac{25}{8}$ ② 人飞出后的落点D在安全距离内
【知识点】
二次函数的实际应用；中心对称的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题结合娱乐场景考查二次函数相关知识，需要学生将实际问题转化为二次函数数学模型，既考察了二次函数解析式的求法，也考察了中心对称性质和二次函数与一元二次方程的联系，综合性较强。
【难度系数】
0.7
