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【例】 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，对称轴是直线$x=1$，分析函数图象，用“＞”“＜”“≥”“≤”或“=”填空。
(1)根据函数图象判断$a,b,c$类问题：
①$a$$0,b$$0,c$$0.$
(2)$-\frac{b}{2a},2a+b$类问题：
②$-\frac{b}{2a}\_\_\_\_\_\_0.$
③$2a+b$$0.$
(3)$b^2-4ac$类问题：
④$b^2-4ac$$0.$
(4)当$x=±1,±2$类问题：
⑤$a+b+c$$0,a-b+c$$0.$
⑥$4a+2b+c$$0,4a-2b+c$$0.$
(5)最值问题：
⑦$a+b+c$$am^2+bm+c$（$m$为任意实数）.
见题出招
由开口方向可判断$a$的正负；对称轴在$y$轴左侧，则$-\frac{b}{2a}＜0$，进而可知$a,b$同号，对称轴在$y$轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，进而可知$a,b$异号（左同右异）；将$-\frac{b}{2a}$与1比较，即可得到$2a+b$的取值范围；由抛物线与$y$轴的交点位置可判断$c$的取值范围。
见题出招
由函数图象与$x$轴的交点个数可判断$b^2-4ac$的取值范围。
见题出招
令$x$的值为1或-1或2或-2，看函数图象上对应的点的位置，即可判断出对应式子$a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c$的取值范围。
见题出招
即抛物线顶点的函数值与其他点的函数值的比较。
(1)根据函数图象判断$a,b,c$类问题：
①$a$$0,b$$0,c$$0.$
(2)$-\frac{b}{2a},2a+b$类问题：
②$-\frac{b}{2a}\_\_\_\_\_\_0.$
③$2a+b$$0.$
(3)$b^2-4ac$类问题：
④$b^2-4ac$$0.$
(4)当$x=±1,±2$类问题：
⑤$a+b+c$$0,a-b+c$$0.$
⑥$4a+2b+c$$0,4a-2b+c$$0.$
(5)最值问题：
⑦$a+b+c$$am^2+bm+c$（$m$为任意实数）.
见题出招
由开口方向可判断$a$的正负；对称轴在$y$轴左侧，则$-\frac{b}{2a}＜0$，进而可知$a,b$同号，对称轴在$y$轴右侧，则$-\frac{b}{2a}＞0$，进而可知$a,b$异号（左同右异）；将$-\frac{b}{2a}$与1比较，即可得到$2a+b$的取值范围；由抛物线与$y$轴的交点位置可判断$c$的取值范围。
见题出招
由函数图象与$x$轴的交点个数可判断$b^2-4ac$的取值范围。
见题出招
令$x$的值为1或-1或2或-2，看函数图象上对应的点的位置，即可判断出对应式子$a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c$的取值范围。
见题出招
即抛物线顶点的函数值与其他点的函数值的比较。
答案
①＜ ＞ ＞ ②＞ ③= ④＞ ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题时可按以下思路逐步推导：1. 先根据抛物线开口方向判断a的符号，结合对称轴位置用“左同右异”判断b的符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c的符号；2. 结合对称轴为直线x=1，可直接判断$-\frac{b}{2a}$的符号，同时变形得到$2a+b$的取值；3. 根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；4. 分别将$x=1、-1、2、-2$代入函数解析式，结合对应点在图象上的位置判断对应代数式的符号；5. 根据二次函数的最值性质，顶点处为函数最大值，即可比较两个代数式的大小。
【解析】
① 抛物线开口向下，因此$a＜0$；对称轴为直线$x=1$，在y轴右侧，根据“左同右异”，a、b异号，故$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。
② 对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，$1＞0$，故$-\frac{b}{2a}＞0$。
③ 由$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$。
④ 抛物线与x轴有2个不同的交点，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故$b^2-4ac＞0$。
⑤ 当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，对应图象的顶点，在x轴上方，故$a+b+c＞0$；当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，对应图象上的点在x轴下方，故$a-b+c＜0$。
⑥ 对称轴为$x=1$，因此$x=2$与$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，故$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$；当$x=-2$时，对应图象上的点在x轴下方，故$y=4a-2b+c＜0$。
⑦ $x=1$时函数取得最大值，因此对任意实数m，都有$a+b+c≥am^2+bm+c$。
【答案】
①＜；＞；＞ ②＞ ③= ④＞ ⑤＞；＜ ⑥＞；＜ ⑦≥
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，核心是结合图象特征推导系数及相关代数式的符号，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点、特殊点函数值等性质是解题的关键，这类题型能很好地考查数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题时可按以下思路逐步推导：1. 先根据抛物线开口方向判断a的符号，结合对称轴位置用“左同右异”判断b的符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c的符号；2. 结合对称轴为直线x=1，可直接判断$-\frac{b}{2a}$的符号，同时变形得到$2a+b$的取值；3. 根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；4. 分别将$x=1、-1、2、-2$代入函数解析式，结合对应点在图象上的位置判断对应代数式的符号；5. 根据二次函数的最值性质，顶点处为函数最大值，即可比较两个代数式的大小。
【解析】
① 抛物线开口向下，因此$a＜0$；对称轴为直线$x=1$，在y轴右侧，根据“左同右异”，a、b异号，故$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。
② 对称轴$-\frac{b}{2a}=1$，$1＞0$，故$-\frac{b}{2a}＞0$。
③ 由$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$。
④ 抛物线与x轴有2个不同的交点，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故$b^2-4ac＞0$。
⑤ 当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，对应图象的顶点，在x轴上方，故$a+b+c＞0$；当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，对应图象上的点在x轴下方，故$a-b+c＜0$。
⑥ 对称轴为$x=1$，因此$x=2$与$x=0$的函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，故$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$；当$x=-2$时，对应图象上的点在x轴下方，故$y=4a-2b+c＜0$。
⑦ $x=1$时函数取得最大值，因此对任意实数m，都有$a+b+c≥am^2+bm+c$。
【答案】
①＜；＞；＞ ②＞ ③= ④＞ ⑤＞；＜ ⑥＞；＜ ⑦≥
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，核心是结合图象特征推导系数及相关代数式的符号，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、交点、特殊点函数值等性质是解题的关键，这类题型能很好地考查数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x=-1$，则点$A(b^2-4ac,a-b+c)$的位置在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先根据二次函数图象特征判断判别式$b^2-4ac$的符号，得到点A的横坐标正负；②再明确$a-b+c$的含义：即$x=-1$时二次函数的函数值，结合图象判断其正负，得到点A的纵坐标正负；③最后根据象限内点的坐标符号特征判断点A所在象限。
【解析】
1. 判断$b^2-4ac$的符号：由图象可知，二次函数图象与$x$轴没有交点，根据二次函数判别式的性质，可得$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，即点$A$的横坐标为负数。
2. 判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，由图象可知对称轴$x=-1$对应的顶点在$x$轴上方，即此时函数值大于0，因此$a-b+c＞0$，即点$A$的纵坐标为正数。
3. 判断象限：横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，因此点A在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是掌握判别式的图象意义以及特殊$x$值对应函数值的含义，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先根据二次函数图象特征判断判别式$b^2-4ac$的符号，得到点A的横坐标正负；②再明确$a-b+c$的含义：即$x=-1$时二次函数的函数值，结合图象判断其正负，得到点A的纵坐标正负；③最后根据象限内点的坐标符号特征判断点A所在象限。
【解析】
1. 判断$b^2-4ac$的符号：由图象可知，二次函数图象与$x$轴没有交点，根据二次函数判别式的性质，可得$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，即点$A$的横坐标为负数。
2. 判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，由图象可知对称轴$x=-1$对应的顶点在$x$轴上方，即此时函数值大于0，因此$a-b+c＞0$，即点$A$的纵坐标为正数。
3. 判断象限：横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，因此点A在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是掌握判别式的图象意义以及特殊$x$值对应函数值的含义，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 $ x=2 $，且图象经过点(6,0)，则下列结论错误的是（
A.$ bc＞0 $
B.$ 4a+b=0 $
C.若 $ ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2 $ 且 $ x_1≠x_2 $，则 $ x_1+x_2=4 $
D.若 $ (-1,y_1),(3,y_2) $ 两点都在抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 上，则 $ y_2＜y_1 $
D
）A.$ bc＞0 $
B.$ 4a+b=0 $
C.若 $ ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2 $ 且 $ x_1≠x_2 $，则 $ x_1+x_2=4 $
D.若 $ (-1,y_1),(3,y_2) $ 两点都在抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 上，则 $ y_2＜y_1 $
答案
2.D
解析
【分析】
首先根据二次函数图象提取已知信息：开口向下得$a＜0$，对称轴为$x=2$可推出$a$与$b$的关系，与$y$轴交点在正半轴得$c＞0$，再结合二次函数的对称性、增减性、代数变形等逐个判断每个选项的正误。
【解析】
1. 推导系数基本性质：
① 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
② 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，代入$a＜0$得$b＞0$；
③ 抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
2. 逐个判断选项：
选项A：$b＞0$，$c＞0$，故$bc＞0$，A结论正确，不符合题意；
选项B：由$b=-4a$移项可得$4a+b=0$，B结论正确，不符合题意；
选项C：将$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解：
$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，即$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
代入$b=-4a$得$x_1+x_2=4$，C结论正确，不符合题意；
选项D：开口向下的抛物线上的点，到对称轴$x=2$的距离越小，函数值越大：
点$(-1,y_1)$到对称轴的距离为$|-1-2|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
因$1＜3$，故$y_2＞y_1$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础综合题，需要熟练掌握系数符号判断方法、对称轴公式、二次函数的对称性和增减性，解题时可结合图象性质简化推导过程，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据二次函数图象提取已知信息：开口向下得$a＜0$，对称轴为$x=2$可推出$a$与$b$的关系，与$y$轴交点在正半轴得$c＞0$，再结合二次函数的对称性、增减性、代数变形等逐个判断每个选项的正误。
【解析】
1. 推导系数基本性质：
① 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
② 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，代入$a＜0$得$b＞0$；
③ 抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
2. 逐个判断选项：
选项A：$b＞0$，$c＞0$，故$bc＞0$，A结论正确，不符合题意；
选项B：由$b=-4a$移项可得$4a+b=0$，B结论正确，不符合题意；
选项C：将$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解：
$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，即$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
代入$b=-4a$得$x_1+x_2=4$，C结论正确，不符合题意；
选项D：开口向下的抛物线上的点，到对称轴$x=2$的距离越小，函数值越大：
点$(-1,y_1)$到对称轴的距离为$|-1-2|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
因$1＜3$，故$y_2＞y_1$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础综合题，需要熟练掌握系数符号判断方法、对称轴公式、二次函数的对称性和增减性，解题时可结合图象性质简化推导过程，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·广安改编)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,有下列结论:①$abc＜0$;②$4a+c＞2b$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$;④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$.其中正确的有
①③④
.(填序号)答案
3.①③④
解析
【分析】
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点坐标，再结合二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断结论：
1. 先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴位置判断b的符号，结合与y轴交点位置判断c的符号，即可判断结论①；
2. 将结论②变形为$4a-2b+c＞0$，对应x=-2时的函数值，结合图象判断x=-2时y的符号即可判断②；
3. 二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，据此判断③；
4. 二次函数与x轴两个交点的横坐标的平均值就是对称轴的横坐标，结合对称轴公式即可判断④。
【解析】
首先根据图象获取信息：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$。
逐个判断结论：
① $\because a＜0，b＞0，c＞0$，$\therefore abc＜0$，故①正确；
② 结论$4a+c＞2b$可变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时的函数值y。由图象可知，x＜-1时，y随x的增大而减小，x=-2在点A(-1,0)左侧，因此$x=-2$时的函数值小于$x=-1$时的函数值0，即$4a-2b+c＜0$，也就是$4a+c＜2b$，故②错误；
③ 二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点为$A(-1,0)、B(n,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解就是两个交点的横坐标，即$x_1=-1，x_2=n$，故③正确；
④ 抛物线与x轴两个交点的横坐标的平均值等于对称轴横坐标，$\therefore$对称轴$-\frac{b}{2a}=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题核心是熟练掌握图象特征与系数、函数性质的对应关系，能结合图象进行代数结论的判断，是二次函数的经典常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点坐标，再结合二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断结论：
1. 先根据开口方向判断a的符号，结合对称轴位置判断b的符号，结合与y轴交点位置判断c的符号，即可判断结论①；
2. 将结论②变形为$4a-2b+c＞0$，对应x=-2时的函数值，结合图象判断x=-2时y的符号即可判断②；
3. 二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，据此判断③；
4. 二次函数与x轴两个交点的横坐标的平均值就是对称轴的横坐标，结合对称轴公式即可判断④。
【解析】
首先根据图象获取信息：
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$。
逐个判断结论：
① $\because a＜0，b＞0，c＞0$，$\therefore abc＜0$，故①正确；
② 结论$4a+c＞2b$可变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时的函数值y。由图象可知，x＜-1时，y随x的增大而减小，x=-2在点A(-1,0)左侧，因此$x=-2$时的函数值小于$x=-1$时的函数值0，即$4a-2b+c＜0$，也就是$4a+c＜2b$，故②错误；
③ 二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点为$A(-1,0)、B(n,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解就是两个交点的横坐标，即$x_1=-1，x_2=n$，故③正确；
④ 抛物线与x轴两个交点的横坐标的平均值等于对称轴横坐标，$\therefore$对称轴$-\frac{b}{2a}=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题核心是熟练掌握图象特征与系数、函数性质的对应关系，能结合图象进行代数结论的判断，是二次函数的经典常考题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$(x_1,0),(2,0)$，其中$0＜x_1＜1$，则下列结论中正确的是
①$abc＜0$；
②$a+b+c＞0$；
③$-3a＜b＜-2a$；
④关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的解集为$0＜x＜2$.
①③④
.(填序号)①$abc＜0$；
②$a+b+c＞0$；
③$-3a＜b＜-2a$；
④关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的解集为$0＜x＜2$.
答案
4.①③④
解析
【分析】
解题时先从抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点特征确定a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、对称轴的取值范围、函数图象的高低关系逐个验证结论：第一步先通过开口、对称轴、y轴交点判断①；第二步代入x=1，结合图象对应点的位置判断②；第三步根据两个零点的范围推导对称轴的范围，结合对称轴公式变形判断③；第四步将不等式转化为两个函数的大小比较，结合交点和图象位置判断④。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
则$abc$为正×负×正，结果小于0，故①正确。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，代入抛物线解析式得$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$时抛物线在x轴下方，即$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，故②错误。
3. 判断结论③：
抛物线与x轴交点为$(x_1,0)$和$(2,0)$，且$0＜x_1＜1$，
则对称轴$x=\frac{x_1+2}{2}$，代入$0＜x_1＜1$可得$1＜\frac{x_1+2}{2}＜\frac{3}{2}$，即$1＜-\frac{b}{2a}＜\frac{3}{2}$，
由于$a＞0$，不等式三边同乘$2a$，不等号方向不变，得$2a＜-b＜3a$，
三边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-2a＞b＞-3a$，即$-3a＜b＜-2a$，故③正确。
4. 判断结论④：
不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的几何意义是抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象在一次函数$y=-\frac{c}{2}x+c$图象下方的x的取值范围；
一次函数$y=-\frac{c}{2}x+c$：当$x=0$时$y=c$，当$x=2$时$y=-\frac{c}{2}×2 +c=0$，即该一次函数恰好经过抛物线与y轴交点$(0,c)$和x轴交点$(2,0)$；
结合图象可知，在$0＜x＜2$范围内，抛物线在该一次函数的下方，因此不等式的解集为$0＜x＜2$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数与不等式；二次函数的对称性
【点评】
本题核心是利用二次函数的图象特征推导系数关系和不等式解集，解题关键是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点与系数的对应关系，能通过图象的高低直观判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.65
解题时先从抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点特征确定a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、对称轴的取值范围、函数图象的高低关系逐个验证结论：第一步先通过开口、对称轴、y轴交点判断①；第二步代入x=1，结合图象对应点的位置判断②；第三步根据两个零点的范围推导对称轴的范围，结合对称轴公式变形判断③；第四步将不等式转化为两个函数的大小比较，结合交点和图象位置判断④。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
则$abc$为正×负×正，结果小于0，故①正确。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，代入抛物线解析式得$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$时抛物线在x轴下方，即$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，故②错误。
3. 判断结论③：
抛物线与x轴交点为$(x_1,0)$和$(2,0)$，且$0＜x_1＜1$，
则对称轴$x=\frac{x_1+2}{2}$，代入$0＜x_1＜1$可得$1＜\frac{x_1+2}{2}＜\frac{3}{2}$，即$1＜-\frac{b}{2a}＜\frac{3}{2}$，
由于$a＞0$，不等式三边同乘$2a$，不等号方向不变，得$2a＜-b＜3a$，
三边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-2a＞b＞-3a$，即$-3a＜b＜-2a$，故③正确。
4. 判断结论④：
不等式$ax^2+bx+c＜-\frac{c}{2}x+c$的几何意义是抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象在一次函数$y=-\frac{c}{2}x+c$图象下方的x的取值范围；
一次函数$y=-\frac{c}{2}x+c$：当$x=0$时$y=c$，当$x=2$时$y=-\frac{c}{2}×2 +c=0$，即该一次函数恰好经过抛物线与y轴交点$(0,c)$和x轴交点$(2,0)$；
结合图象可知，在$0＜x＜2$范围内，抛物线在该一次函数的下方，因此不等式的解集为$0＜x＜2$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数与不等式；二次函数的对称性
【点评】
本题核心是利用二次函数的图象特征推导系数关系和不等式解集，解题关键是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点与系数的对应关系，能通过图象的高低直观判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.65
