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1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $y=ax^2+bx(a＜0)$ 与正比例函数 $y=kx$ 的图象都经过点 $A(3,3)$,点 $P$ 为二次函数图象上点 $O$ 与点 $A$ 之间的一点,过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,交 $OA$ 于点 $C$,交 $x$ 轴于点 $D$.
(1)假设点 $A$ 为该二次函数图象的顶点.
①求二次函数的表达式.
②求线段 $PC$ 长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(m,0)$,且 $m＞4$,求 $a$ 的取值范围.
(1)假设点 $A$ 为该二次函数图象的顶点.
①求二次函数的表达式.
②求线段 $PC$ 长度的最大值.
(2)若该二次函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(m,0)$,且 $m＞4$,求 $a$ 的取值范围.
答案
(1)①$\because A(3,3)$为二次函数图象的顶点,$\therefore \begin{cases}9a+3b=3,\\-\dfrac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3},\\b=2.\end{cases}$$\therefore$二次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$.
②$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点$A(3,3)$,$\therefore 3k=3$,解得$k=1$.$\therefore$正比例函数的表达式为 $y=x$. 设 $OD=t(0≤ t≤ 3)$,则 $CD=t$,$PD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t$.$\therefore PC=PD-CD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$.$\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$0≤ t≤ 3$,$\therefore$当 $t=\dfrac{3}{2}$时,线段 $PC$ 的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because$二次函数 $y=ax^2+bx$ 的图象经过点 $A(3,3)$,$\therefore 9a+3b=3$,即 $b=1-3a$. 令 $ax^2+bx=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=-\dfrac{b}{a}$.$\because$二次函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(m,0)$,$m＞4$,$\therefore m=-\dfrac{b}{a}$.$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$.$\because a＜0$,$\therefore b＞-4a$.$\therefore 1-3a＞-4a$,解得 $a＞-1$.$\therefore a$ 的取值范围是$-1＜a＜0$.
②$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点$A(3,3)$,$\therefore 3k=3$,解得$k=1$.$\therefore$正比例函数的表达式为 $y=x$. 设 $OD=t(0≤ t≤ 3)$,则 $CD=t$,$PD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t$.$\therefore PC=PD-CD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$.$\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$0≤ t≤ 3$,$\therefore$当 $t=\dfrac{3}{2}$时,线段 $PC$ 的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$.
(2)$\because$二次函数 $y=ax^2+bx$ 的图象经过点 $A(3,3)$,$\therefore 9a+3b=3$,即 $b=1-3a$. 令 $ax^2+bx=0$,解得 $x_1=0$,$x_2=-\dfrac{b}{a}$.$\because$二次函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(m,0)$,$m＞4$,$\therefore m=-\dfrac{b}{a}$.$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$.$\because a＜0$,$\therefore b＞-4a$.$\therefore 1-3a＞-4a$,解得 $a＞-1$.$\therefore a$ 的取值范围是$-1＜a＜0$.
解析
【分析】
(1)①已知二次函数顶点为$A(3,3)$且函数过点$A$，可结合二次函数顶点横坐标公式$-\frac{b}{2a}$，以及点在函数图象上的坐标关系，联立二元一次方程组求解$a、b$的值，即可得到二次函数表达式。
②先求出正比例函数的解析式，设点$D$的横坐标为$t$（取值范围为$0≤ t≤3$），分别用含$t$的代数式表示$P、C$两点的纵坐标，二者的差即为线段$PC$的长度，将$PC$的长度转化为关于$t$的二次函数，根据二次函数性质即可求出最大值。
(2)先将点$A$代入二次函数解析式，得到$b$与$a$的数量关系，再求出二次函数与$x$轴的非零交点坐标，结合交点横坐标大于4、$a＜0$的条件解不等式，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)①$\because A(3,3)$为二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$的顶点，
$\therefore$可得方程组：
$\begin{cases}9a+3b=3\\-\dfrac{b}{2a}=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3}\\b=2\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$。
②$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点$A(3,3)$，
代入得$3k=3$，解得$k=1$，
$\therefore$正比例函数的表达式为$y=x$。
设$OD=t(0≤ t≤ 3)$，则$CD=t$，$PD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t$，
$\therefore PC=PD-CD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t$，
配方得$PC=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$。
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$，且$0≤ t≤ 3$，
$\therefore$当$t=\dfrac{3}{2}$时，线段$PC$的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$。
(2)$\because$二次函数$y=ax^2+bx$的图象经过点$A(3,3)$，
代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，即$ax^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\dfrac{b}{a}$。
$\because$二次函数与$x$轴的交点$B(m,0)$满足$m＞4$，
$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$。
又$\because a＜0$，不等式两边乘$a$不等号方向改变，可得$b＞-4a$，
将$b=1-3a$代入得$1-3a＞-4a$，解得$a＞-1$，
结合已知$a＜0$，可得$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x}$；②$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
(2)$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数最值计算；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数典型综合题，覆盖了解析式求解、最值计算、参数范围求解三类核心考点，解题时需结合数形结合思想，将线段长度、交点坐标等几何条件转化为代数表达式，再结合二次函数和不等式的性质逐步求解，是巩固二次函数基础的优质习题。
【难度系数】
0.6
(1)①已知二次函数顶点为$A(3,3)$且函数过点$A$，可结合二次函数顶点横坐标公式$-\frac{b}{2a}$，以及点在函数图象上的坐标关系，联立二元一次方程组求解$a、b$的值，即可得到二次函数表达式。
②先求出正比例函数的解析式，设点$D$的横坐标为$t$（取值范围为$0≤ t≤3$），分别用含$t$的代数式表示$P、C$两点的纵坐标，二者的差即为线段$PC$的长度，将$PC$的长度转化为关于$t$的二次函数，根据二次函数性质即可求出最大值。
(2)先将点$A$代入二次函数解析式，得到$b$与$a$的数量关系，再求出二次函数与$x$轴的非零交点坐标，结合交点横坐标大于4、$a＜0$的条件解不等式，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)①$\because A(3,3)$为二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$的顶点，
$\therefore$可得方程组：
$\begin{cases}9a+3b=3\\-\dfrac{b}{2a}=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{3}\\b=2\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x$。
②$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点$A(3,3)$，
代入得$3k=3$，解得$k=1$，
$\therefore$正比例函数的表达式为$y=x$。
设$OD=t(0≤ t≤ 3)$，则$CD=t$，$PD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t$，
$\therefore PC=PD-CD=-\dfrac{1}{3}t^2+2t-t=-\dfrac{1}{3}t^2+t$，
配方得$PC=-\dfrac{1}{3}(t-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}$。
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$，且$0≤ t≤ 3$，
$\therefore$当$t=\dfrac{3}{2}$时，线段$PC$的长度取得最大值$\dfrac{3}{4}$。
(2)$\because$二次函数$y=ax^2+bx$的图象经过点$A(3,3)$，
代入得$9a+3b=3$，整理得$b=1-3a$。
令$y=0$，即$ax^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\dfrac{b}{a}$。
$\because$二次函数与$x$轴的交点$B(m,0)$满足$m＞4$，
$\therefore -\dfrac{b}{a}＞4$。
又$\because a＜0$，不等式两边乘$a$不等号方向改变，可得$b＞-4a$，
将$b=1-3a$代入得$1-3a＞-4a$，解得$a＞-1$，
结合已知$a＜0$，可得$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x}$；②$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
(2)$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数最值计算；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数典型综合题，覆盖了解析式求解、最值计算、参数范围求解三类核心考点，解题时需结合数形结合思想，将线段长度、交点坐标等几何条件转化为代数表达式，再结合二次函数和不等式的性质逐步求解，是巩固二次函数基础的优质习题。
【难度系数】
0.6
2. (2025·山东)已知二次函数 $ y = x(x - a) + (x - a)(x - b) + x(x - b) $，其中 $ a,b $ 为两个不相等的实数.
(1) 当 $ a = 0, b = 3 $ 时，求此函数图象的对称轴.
(2) 当 $ b = 2a $ 时，若该函数在 $ 0 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ 3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，求 $ a $ 的取值范围.
(3) 若点 $ A(a, y_1), B( \frac{a + b}{2}, y_2 ), C(b, y_3) $ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $ m $，使得 $ y_1 + m y_2 + y_3 = 0 $？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，说明理由.
(1) 当 $ a = 0, b = 3 $ 时，求此函数图象的对称轴.
(2) 当 $ b = 2a $ 时，若该函数在 $ 0 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ 3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，求 $ a $ 的取值范围.
(3) 若点 $ A(a, y_1), B( \frac{a + b}{2}, y_2 ), C(b, y_3) $ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $ m $，使得 $ y_1 + m y_2 + y_3 = 0 $？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，说明理由.
答案
(1)当$a=0,b=3$时,$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$,$\therefore$此函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$.
(2)当$b=2a$时,$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$,$\therefore$函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0$,$\therefore$函数图象的开口方向向上. $\because$在 $0≤ x≤ 1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore a≥1$. $\because$在 $3≤ x≤ 4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$.
(3)$\because$点$A(a,y_1),B(\dfrac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$均在该函数的图象上,$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,$\therefore y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$;$y_2=3(\dfrac{a+b}{2})^2-2(a+b)·\dfrac{a+b}{2}+ab=\dfrac{3(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\dfrac{(a+b)^2}{4}+ab=-\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{ab}{2}-\dfrac{1}{4}b^2=-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$;$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$. $\because y_1+my_2+y_3=0$,$\therefore a^2-ab+m[-\dfrac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$. $\therefore (a-b)^2(1-\dfrac{1}{4}m)=0$. $\because a,b$ 为两个不相等的实数,$\therefore a-b≠0$. $\therefore 1-\dfrac{1}{4}m=0$,解得 $m=4$.
(2)当$b=2a$时,$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$,$\therefore$函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6a}{2×3}=a$. $\because 3＞0$,$\therefore$函数图象的开口方向向上. $\because$在 $0≤ x≤ 1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore a≥1$. $\because$在 $3≤ x≤ 4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore a≤3$. $\therefore 1≤ a≤3$.
(3)$\because$点$A(a,y_1),B(\dfrac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$均在该函数的图象上,$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,$\therefore y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$;$y_2=3(\dfrac{a+b}{2})^2-2(a+b)·\dfrac{a+b}{2}+ab=\dfrac{3(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\dfrac{(a+b)^2}{4}+ab=-\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{ab}{2}-\dfrac{1}{4}b^2=-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$;$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$. $\because y_1+my_2+y_3=0$,$\therefore a^2-ab+m[-\dfrac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$. $\therefore (a-b)^2(1-\dfrac{1}{4}m)=0$. $\because a,b$ 为两个不相等的实数,$\therefore a-b≠0$. $\therefore 1-\dfrac{1}{4}m=0$,解得 $m=4$.
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：先将a=0、b=3代入给定函数表达式，展开并合并同类项得到二次函数一般式$y=Ax^2+Bx+C$，再利用对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$计算即可得到对称轴。
(2) 第二问解题思路：先将$b=2a$代入函数表达式，化简得到一般式后求出对称轴。由于二次项系数为正，函数图象开口向上，此时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。结合题目给出的增减性区间，可得对称轴需≥1（保证$0≤x≤1$在对称轴左侧）、≤3（保证$3≤x≤4$在对称轴右侧），解不等式即可得到a的取值范围。
(3) 第三问解题思路：首先将原函数展开化简为一般式，再分别将点A、B、C的横坐标代入函数，求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式，代入$y_1+my_2+y_3=0$中整理式子，结合$a≠b$的条件即可求出m的值。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，
$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
$\therefore$此函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，
$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
$\therefore$函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6a}{2×3}=a$。
$\because 3＞0$，$\therefore$函数图象的开口方向向上。
$\because$在 $0≤ x≤ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$。
$\because$在 $3≤ x≤ 4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$。
$\therefore 1≤ a≤3$。
(3) 先化简原函数：
$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
分别代入三点横坐标求函数值：
$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$；
$y_2=3(\dfrac{a+b}{2})^2-2(a+b)·\dfrac{a+b}{2}+ab=\dfrac{3(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\dfrac{(a+b)^2}{4}+ab=-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$；
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
将$y_1、y_2、y_3$代入$y_1+my_2+y_3=0$得：
$a^2-ab+m[-\dfrac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$，
整理得$(a-b)^2(1-\dfrac{1}{4}m)=0$。
$\because a,b$ 为两个不相等的实数，$\therefore a-b≠0$，
$\therefore 1-\dfrac{1}{4}m=0$，解得 $m=4$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$；
(2) $a$的取值范围是$1≤a≤3$；
(3) 存在，$m=4$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，代数式化简，二次函数增减性应用
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，涉及对称轴计算、增减性的应用以及代数式的化简运算，解题关键是先准确化简函数表达式，再结合二次函数性质逐步推导，能有效考查基础运算能力和性质应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问解题思路：先将a=0、b=3代入给定函数表达式，展开并合并同类项得到二次函数一般式$y=Ax^2+Bx+C$，再利用对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$计算即可得到对称轴。
(2) 第二问解题思路：先将$b=2a$代入函数表达式，化简得到一般式后求出对称轴。由于二次项系数为正，函数图象开口向上，此时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。结合题目给出的增减性区间，可得对称轴需≥1（保证$0≤x≤1$在对称轴左侧）、≤3（保证$3≤x≤4$在对称轴右侧），解不等式即可得到a的取值范围。
(3) 第三问解题思路：首先将原函数展开化简为一般式，再分别将点A、B、C的横坐标代入函数，求出$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式，代入$y_1+my_2+y_3=0$中整理式子，结合$a≠b$的条件即可求出m的值。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，
$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$，
$\therefore$此函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，
$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$，
$\therefore$函数图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6a}{2×3}=a$。
$\because 3＞0$，$\therefore$函数图象的开口方向向上。
$\because$在 $0≤ x≤ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，$\therefore a≥1$。
$\because$在 $3≤ x≤ 4$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore a≤3$。
$\therefore 1≤ a≤3$。
(3) 先化简原函数：
$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$，
分别代入三点横坐标求函数值：
$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$；
$y_2=3(\dfrac{a+b}{2})^2-2(a+b)·\dfrac{a+b}{2}+ab=\dfrac{3(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\dfrac{(a+b)^2}{4}+ab=-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$；
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$。
将$y_1、y_2、y_3$代入$y_1+my_2+y_3=0$得：
$a^2-ab+m[-\dfrac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$，
整理得$(a-b)^2(1-\dfrac{1}{4}m)=0$。
$\because a,b$ 为两个不相等的实数，$\therefore a-b≠0$，
$\therefore 1-\dfrac{1}{4}m=0$，解得 $m=4$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$；
(2) $a$的取值范围是$1≤a≤3$；
(3) 存在，$m=4$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，代数式化简，二次函数增减性应用
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，涉及对称轴计算、增减性的应用以及代数式的化简运算，解题关键是先准确化简函数表达式，再结合二次函数性质逐步推导，能有效考查基础运算能力和性质应用能力。
【难度系数】
0.65
