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1. 一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的两个实数根是
$x_1=1,x_2=-2$
，故抛物线$y = x^2 + x - 2$与x轴的交点坐标为$(1,0),(-2,0)$
。答案
$x_1=1,x_2=-2$；交点坐标为$(1,0),(-2,0)$
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步先求解给定的一元二次方程，可采用九年级所学的因式分解（十字相乘法）求解，得到两个实数根；第二步明确抛物线与x轴交点的特征：x轴上所有点的纵坐标为0，因此抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，结合根的结果即可直接写出交点坐标。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$：
对等式左侧因式分解，可得$(x-1)(x+2)=0$，
令每个因式为0，得$x-1=0$或$x+2=0$，
解得两个实数根为$x_1=1$，$x_2=-2$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
抛物线与x轴相交时，交点纵坐标$y=0$，此时x的取值就是上述一元二次方程的实数根，因此交点坐标为$(1,0)$和$(-2,0)$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-2$；交点坐标为$(1,0),(-2,0)$
【知识点】
解一元二次方程，二次函数与x轴交点，函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的求解方法，以及二次函数与对应一元二次方程的关联，掌握“抛物线与x轴交点的横坐标即为y=0时对应一元二次方程的实数根”这一规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步：第一步先求解给定的一元二次方程，可采用九年级所学的因式分解（十字相乘法）求解，得到两个实数根；第二步明确抛物线与x轴交点的特征：x轴上所有点的纵坐标为0，因此抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，结合根的结果即可直接写出交点坐标。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$：
对等式左侧因式分解，可得$(x-1)(x+2)=0$，
令每个因式为0，得$x-1=0$或$x+2=0$，
解得两个实数根为$x_1=1$，$x_2=-2$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
抛物线与x轴相交时，交点纵坐标$y=0$，此时x的取值就是上述一元二次方程的实数根，因此交点坐标为$(1,0)$和$(-2,0)$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-2$；交点坐标为$(1,0),(-2,0)$
【知识点】
解一元二次方程，二次函数与x轴交点，函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的求解方法，以及二次函数与对应一元二次方程的关联，掌握“抛物线与x轴交点的横坐标即为y=0时对应一元二次方程的实数根”这一规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 已知抛物线的表达式为 $ y = -2x^2 + x - 1 $，则该抛物线与x轴的交点情况为
没有交点
。答案
没有交点
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点情况，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。因此我们先令$y=0$得到对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断方程是否有实数根，即可得出交点情况：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。
【解析】
解：令抛物线表达式中$y=0$，可得方程：
$-2x^2 + x - 1 = 0$
整理为一般形式：$2x^2 - x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-1$，$c=1$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$
由此可知该一元二次方程没有实数根，即对应抛物线与x轴没有交点。
【答案】
没有交点
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数图象与x轴交点的判定，解题核心是掌握抛物线交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练运用根的判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点情况，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。因此我们先令$y=0$得到对应的一元二次方程，再通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断方程是否有实数根，即可得出交点情况：$\Delta＞0$时有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点。
【解析】
解：令抛物线表达式中$y=0$，可得方程：
$-2x^2 + x - 1 = 0$
整理为一般形式：$2x^2 - x + 1 = 0$，其中$a=2$，$b=-1$，$c=1$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×2×1 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$
由此可知该一元二次方程没有实数根，即对应抛物线与x轴没有交点。
【答案】
没有交点
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数图象与x轴交点的判定，解题核心是掌握抛物线交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练运用根的判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.若抛物线$y=x^2+3x+a$与$x$轴只有一个交点，则实数$a$的值是
$\frac{9}{4}$
.答案
$\frac{9}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次函数图象与x轴交点个数和对应的一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有1个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。我们只需先确定二次函数各项的系数，代入判别式公式列方程，求解即可得到a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+3x+a$与x轴只有一个交点
∴ 一元二次方程$x^2+3x+a=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+3x+a$中，二次项系数为1，一次项系数$b=3$，常数项为$a$，代入得：
$3^2 - 4×1× a = 0$
$9 - 4a = 0$
解得$a=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，牢记三类对应关系（$\Delta＞0$对应两个交点、$\Delta=0$对应一个交点、$\Delta＜0$对应无交点）是解题的关键，计算时注意不要混淆各项系数。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆二次函数图象与x轴交点个数和对应的一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有1个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。我们只需先确定二次函数各项的系数，代入判别式公式列方程，求解即可得到a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+3x+a$与x轴只有一个交点
∴ 一元二次方程$x^2+3x+a=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$
在二次函数$y=x^2+3x+a$中，二次项系数为1，一次项系数$b=3$，常数项为$a$，代入得：
$3^2 - 4×1× a = 0$
$9 - 4a = 0$
解得$a=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，牢记三类对应关系（$\Delta＞0$对应两个交点、$\Delta=0$对应一个交点、$\Delta＜0$对应无交点）是解题的关键，计算时注意不要混淆各项系数。
【难度系数】
0.8
4. 如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-3,6),B(1,\frac{2}{3})$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2=bx+c$的解是
$x_1=-3,x_2=1$
。答案
$x_1=-3,x_2=1$
解析
【分析】
要解关于x的一元二次方程$ax^2=bx+c$，可利用函数与方程的联系思考：方程的解对应的就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标，题目已经直接给出两个交点的坐标，提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2=bx+c$的解就是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两图象的交点坐标为$A(-3,6)$、$B(1,\frac{2}{3})$，两个交点的横坐标分别为$-3$和$1$，因此方程$ax^2=bx+c$的解为$x_1=-3,x_2=1$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=1$
【知识点】
二次函数与方程的联系；函数图象交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是理解一元二次方程的解与对应两个函数图象交点横坐标的对应关系，无需计算即可直接得到答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要解关于x的一元二次方程$ax^2=bx+c$，可利用函数与方程的联系思考：方程的解对应的就是抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标，题目已经直接给出两个交点的坐标，提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2=bx+c$的解就是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两图象的交点坐标为$A(-3,6)$、$B(1,\frac{2}{3})$，两个交点的横坐标分别为$-3$和$1$，因此方程$ax^2=bx+c$的解为$x_1=-3,x_2=1$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=1$
【知识点】
二次函数与方程的联系；函数图象交点的含义
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是理解一元二次方程的解与对应两个函数图象交点横坐标的对应关系，无需计算即可直接得到答案，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
5. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象,图象交$x$轴于点$A,B$,交$y$轴于点$C$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的情况为 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。我们可以通过观察抛物线与$x$轴的交点个数判断对应方程根的情况：若抛物线与$x$轴有2个不同交点，方程有两个不等实根；有1个交点，方程有两个相等实根；无交点，方程无实根。观察本题图象，抛物线和$x$轴有两个不同的交点A、B，因此对应方程有两个不相等的实数根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
由题图可知，该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的交点$A$、$B$，因此关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。我们可以通过观察抛物线与$x$轴的交点个数判断对应方程根的情况：若抛物线与$x$轴有2个不同交点，方程有两个不等实根；有1个交点，方程有两个相等实根；无交点，方程无实根。观察本题图象，抛物线和$x$轴有两个不同的交点A、B，因此对应方程有两个不相等的实数根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
由题图可知，该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的交点$A$、$B$，因此关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象
【点评】
本题是基础概念应用题，只要掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
6. A教材经典设问 已知抛物线$y=x^2+bx+3$与x轴有两个不同的交点，则b的值可以为（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：抛物线与x轴的交点横坐标对应y=0时一元二次方程的实根，若有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，因此只需利用根的判别式Δ＞0列出关于b的不等式，求出b的取值范围后对比选项即可得解。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+bx+3$与x轴有两个不同的交点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2+bx+3=0$有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式，得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$c=3$，代入得：
$b^2 - 4×1×3 ＞ 0$
即$b^2 ＞ 12$
逐一验证选项：
A.$1^2=1＜12$，不符合要求；B.$2^2=4＜12$，不符合要求；C.$3^2=9＜12$，不符合要求；D.$4^2=16＞12$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础考点，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练运用判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：抛物线与x轴的交点横坐标对应y=0时一元二次方程的实根，若有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等的实数根，因此只需利用根的判别式Δ＞0列出关于b的不等式，求出b的取值范围后对比选项即可得解。
【解析】
∵抛物线$y=x^2+bx+3$与x轴有两个不同的交点
∴当$y=0$时，一元二次方程$x^2+bx+3=0$有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式，得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$c=3$，代入得：
$b^2 - 4×1×3 ＞ 0$
即$b^2 ＞ 12$
逐一验证选项：
A.$1^2=1＜12$，不符合要求；B.$2^2=4＜12$，不符合要求；C.$3^2=9＜12$，不符合要求；D.$4^2=16＞12$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础考点，解题关键是掌握抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练运用判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
7. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是
(2)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-3$的解是
(3)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解是
(4)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
(5)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-6$的解的情况怎样？
(1)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是
$x_1=-1,x_2=3$
.(2)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-3$的解是
$x_1=0,x_2=2$
.(3)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的解是
$x_1=-2,x_2=4$
.(4)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
$x_1=x_2=1$
.(5)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-6$的解的情况怎样？
答案
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$ (5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
(4)$x_1=x_2=1$ (5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
解析
【分析】
解答本题的核心是理解一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的解与二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=k$交点横坐标的对应关系：方程的解就是两个图象交点的横坐标。首先观察图象可得二次函数的对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，即函数最小值为$-4$，结合二次函数的对称性，找到对应$y$值下的交点横坐标即可求解各小问。
【解析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴（即$y=0$）交点的横坐标，由图象得交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$的解是抛物线与直线$y=-3$交点的横坐标，由图象得交点为$(0,-3)$，结合对称轴$x=1$可得对称的另一个交点为$(2,-3)$，因此方程的解为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=5$的解是抛物线与直线$y=5$交点的横坐标，由图象得交点为$(-2,5)$，结合对称轴$x=1$可得对称的另一个交点为$(4,5)$，因此方程的解为$x_1=-2,x_2=4$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-4$的解是抛物线与直线$y=-4$交点的横坐标，由图象可知该直线过抛物线的顶点$(1,-4)$，仅存在1个交点，因此方程的解为$x_1=x_2=1$。
(5) 由抛物线顶点坐标可知该二次函数的最小值为$-4$，由于$-6＜-4$，因此直线$y=-6$与抛物线没有交点，即方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$ (5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数图象性质，二次函数对称性
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是建立方程的解与函数图象交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性可快速得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.75
解答本题的核心是理解一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的解与二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=k$交点横坐标的对应关系：方程的解就是两个图象交点的横坐标。首先观察图象可得二次函数的对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，即函数最小值为$-4$，结合二次函数的对称性，找到对应$y$值下的交点横坐标即可求解各小问。
【解析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴（即$y=0$）交点的横坐标，由图象得交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$的解是抛物线与直线$y=-3$交点的横坐标，由图象得交点为$(0,-3)$，结合对称轴$x=1$可得对称的另一个交点为$(2,-3)$，因此方程的解为$x_1=0,x_2=2$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=5$的解是抛物线与直线$y=5$交点的横坐标，由图象得交点为$(-2,5)$，结合对称轴$x=1$可得对称的另一个交点为$(4,5)$，因此方程的解为$x_1=-2,x_2=4$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-4$的解是抛物线与直线$y=-4$交点的横坐标，由图象可知该直线过抛物线的顶点$(1,-4)$，仅存在1个交点，因此方程的解为$x_1=x_2=1$。
(5) 由抛物线顶点坐标可知该二次函数的最小值为$-4$，由于$-6＜-4$，因此直线$y=-6$与抛物线没有交点，即方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=0,x_2=2$ (3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$ (5)方程$ax^2+bx+c=-6$无实数解.
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数图象性质，二次函数对称性
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题关键是建立方程的解与函数图象交点横坐标的对应关系，结合二次函数的对称性可快速得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.75
8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + x - m = 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围.
(2)二次函数$y = x^2 + x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围.
(2)二次函数$y = x^2 + x - m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解.
答案
(1)$\because$一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根,$\therefore\Delta＞0$,即$1+4m＞0. \therefore m＞-\frac{1}{4}$.
(2)由图可知,抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0). \because$二次函数$y=x^2+x-m$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-2,0). \therefore$一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1,x_2=-2$.
(2)由图可知,抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0). \because$二次函数$y=x^2+x-m$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-2,0). \therefore$一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1,x_2=-2$.
解析
【分析】
(1) 一元二次方程根的个数和判别式$\Delta$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。因此先写出该方程的判别式，令其大于0，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交点的横坐标。已知图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性（两个交点到对称轴的距离相等），即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta＞0$，即$\Delta=1^2-4×1×(-m)=1+4m＞0$，
解得$m＞-\frac{1}{4}$。
(2) 由图象可知，二次函数$y=x^2+x-m$与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，
二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，
根据抛物线的对称性，两个交点到对称轴的距离相等，可求出另一个交点的横坐标为$-2$，即另一个交点坐标为$(-2,0)$，
$\therefore$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{1}{4}$
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式和根的个数的对应关系，也考查了利用二次函数的对称性求解对应方程的根，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程根的个数和判别式$\Delta$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。因此先写出该方程的判别式，令其大于0，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与$x$轴交点的横坐标。已知图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性（两个交点到对称轴的距离相等），即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个解。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta＞0$，即$\Delta=1^2-4×1×(-m)=1+4m＞0$，
解得$m＞-\frac{1}{4}$。
(2) 由图象可知，二次函数$y=x^2+x-m$与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，
二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，
根据抛物线的对称性，两个交点到对称轴的距离相等，可求出另一个交点的横坐标为$-2$，即另一个交点坐标为$(-2,0)$，
$\therefore$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{1}{4}$
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式和根的个数的对应关系，也考查了利用二次函数的对称性求解对应方程的根，熟练掌握相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.抛物线$y=2x^2 -3x +1$与坐标轴的交点个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与y轴、x轴的交点数量，再求和（注意排除交点重合的情况）。第一步先求与y轴的交点：令x=0，代入解析式求出y值即可得到1个y轴交点；第二步求与x轴的交点：令y=0得到一元二次方程，通过判别式Δ判断方程根的个数，即可得到抛物线与x轴的交点个数；最后验证两类交点是否重合，统计总个数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入解析式得$y=2×0^2 -3×0 +1=1$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,1)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得到一元二次方程$2x^2 -3x +1=0$。
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个不同的交点。
3. 验证交点是否重合：
y轴交点$(0,1)$的纵坐标为$1≠0$，不在x轴上，因此两类交点无重合。
总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础常考题，解题时需注意抛物线与坐标轴的交点包含x轴和y轴两类，不要漏算y轴的交点，熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与y轴、x轴的交点数量，再求和（注意排除交点重合的情况）。第一步先求与y轴的交点：令x=0，代入解析式求出y值即可得到1个y轴交点；第二步求与x轴的交点：令y=0得到一元二次方程，通过判别式Δ判断方程根的个数，即可得到抛物线与x轴的交点个数；最后验证两类交点是否重合，统计总个数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入解析式得$y=2×0^2 -3×0 +1=1$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,1)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得到一元二次方程$2x^2 -3x +1=0$。
其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个不同的交点。
3. 验证交点是否重合：
y轴交点$(0,1)$的纵坐标为$1≠0$，不在x轴上，因此两类交点无重合。
总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础常考题，解题时需注意抛物线与坐标轴的交点包含x轴和y轴两类，不要漏算y轴的交点，熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
