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10.(教材习题变式)若函数$y=(a-1)x^2 -4x +2a$的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为
$-1$或$2$或$1$
答案
$-1$或$2$或$1$
解析
【分析】
遇到函数图象与x轴只有一个交点的问题时，首先要明确题目未指定函数类型，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，一次函数的图象是直线，与x轴有且仅有一个交点；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，此时图象与x轴仅有一个交点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应a值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当二次项系数$a-1=0$，即$a=1$时：
函数解析式为$y=-4x+2$，属于一次函数，其图象为直线，与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$时，函数为二次函数：
∵二次函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴对应一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
其中$A=a-1$，$b=-4$，$c=2a$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4Ac$得：
$(-4)^2 -4×(a-1)×2a=0$
化简得：$16-8a(a-1)=0$
两边同时除以8整理得：$a^2 -a -2=0$
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的前提条件。
综上，a的取值为-1、2、1。
【答案】
$-1$或$2$或$1$
【知识点】
一次函数图象特征；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易错点是默认函数为二次函数，漏掉一次函数的情况，解题时要先判断函数类型，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
遇到函数图象与x轴只有一个交点的问题时，首先要明确题目未指定函数类型，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，一次函数的图象是直线，与x轴有且仅有一个交点；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，此时图象与x轴仅有一个交点等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应a值，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当二次项系数$a-1=0$，即$a=1$时：
函数解析式为$y=-4x+2$，属于一次函数，其图象为直线，与x轴有且只有一个交点，符合题意。
2. 当二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$时，函数为二次函数：
∵二次函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴对应一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
其中$A=a-1$，$b=-4$，$c=2a$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4Ac$得：
$(-4)^2 -4×(a-1)×2a=0$
化简得：$16-8a(a-1)=0$
两边同时除以8整理得：$a^2 -a -2=0$
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$的前提条件。
综上，a的取值为-1、2、1。
【答案】
$-1$或$2$或$1$
【知识点】
一次函数图象特征；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易错点是默认函数为二次函数，漏掉一次函数的情况，解题时要先判断函数类型，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^2+ax-b=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先从二次函数图象的开口方向判断a的符号，再由对称轴的位置判断b的符号，最后计算待判断的一元二次方程的根的判别式，根据判别式的正负确定根的情况。第一步：开口向上说明二次项系数a＞0；第二步：对称轴在y轴左侧，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＜0$，代入a＞0可推出b＞0；第三步：对于方程$x^2+ax-b=0$，其判别式$\Delta=a^2+4b$，结合a、b均为正数可判断$\Delta＞0$，即可得出根的情况。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可知：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 抛物线的对称轴在$y$轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$。
对于一元二次方程$x^2+ax-b=0$，其根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4×1×(-b) = a^2 + 4b$
$\because a＞0, b＞0$
$\therefore a^2＞0, 4b＞0$，因此$\Delta = a^2 + 4b ＞ 0$
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象性质与一元二次方程根的判别式结合考查，解题的关键是准确从图象中提取二次项系数、一次项系数的符号，再结合判别式公式判断根的情况，是常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从二次函数图象的开口方向判断a的符号，再由对称轴的位置判断b的符号，最后计算待判断的一元二次方程的根的判别式，根据判别式的正负确定根的情况。第一步：开口向上说明二次项系数a＞0；第二步：对称轴在y轴左侧，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＜0$，代入a＞0可推出b＞0；第三步：对于方程$x^2+ax-b=0$，其判别式$\Delta=a^2+4b$，结合a、b均为正数可判断$\Delta＞0$，即可得出根的情况。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可知：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 抛物线的对称轴在$y$轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$。
对于一元二次方程$x^2+ax-b=0$，其根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4×1×(-b) = a^2 + 4b$
$\because a＞0, b＞0$
$\therefore a^2＞0, 4b＞0$，因此$\Delta = a^2 + 4b ＞ 0$
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将二次函数图象性质与一元二次方程根的判别式结合考查，解题的关键是准确从图象中提取二次项系数、一次项系数的符号，再结合判别式公式判断根的情况，是常见的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
12. A教材经典素材·喷泉 如图1所示的喷泉中某一截面的水流可看作图2中关于y轴对称的两条抛物线，其中水流从垂直于水面的水管OM喷出，两条抛物线分别与水面交于点A，B.已知右侧水流的竖直高度y(单位:m)与距水管的水平距离x(单位:m)之间满足$y=-\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}(x≥0)$，则AB的长为
$2$
m.答案
$2$
解析
【分析】
要计算AB的长度，观察图形可知抛物线关于y轴对称，因此AB=2OB，只需求出点B的横坐标即可。点B是右侧抛物线与x轴的交点，交点处y=0，因此只需将y=0代入右侧抛物线的解析式，求出x≥0时的解，即为OB的长度，再乘2就得到AB的长。
【解析】
解：
∵点B是右侧抛物线与水面（x轴）的交点，
∴点B处的纵坐标y=0。
将y=0代入$y=-\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}(x≥0)$，得：
$-\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}=0$
方程两边同时乘$-2$，得：$3x^2 -2x -1=0$
因式分解得：$(3x+1)(x-1)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$
∵$x≥0$，
∴$x=-\frac{1}{3}$不符合题意，舍去。
∴点B的坐标为$(1,0)$，即$OB=1\mathrm{m}$。
又
∵两条抛物线关于y轴对称，
∴点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1\mathrm{m}$。
∴$AB=OA+OB=1+1=2\mathrm{m}$。
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数与x轴交点；二次函数的对称性
【点评】
本题以喷泉场景为背景，考查二次函数的实际应用，解题的关键是明确x轴交点的纵坐标为0，结合二次函数的对称性即可快速求解，注重了数学知识与实际生活的结合。
【难度系数】
0.8
要计算AB的长度，观察图形可知抛物线关于y轴对称，因此AB=2OB，只需求出点B的横坐标即可。点B是右侧抛物线与x轴的交点，交点处y=0，因此只需将y=0代入右侧抛物线的解析式，求出x≥0时的解，即为OB的长度，再乘2就得到AB的长。
【解析】
解：
∵点B是右侧抛物线与水面（x轴）的交点，
∴点B处的纵坐标y=0。
将y=0代入$y=-\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}(x≥0)$，得：
$-\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}=0$
方程两边同时乘$-2$，得：$3x^2 -2x -1=0$
因式分解得：$(3x+1)(x-1)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$
∵$x≥0$，
∴$x=-\frac{1}{3}$不符合题意，舍去。
∴点B的坐标为$(1,0)$，即$OB=1\mathrm{m}$。
又
∵两条抛物线关于y轴对称，
∴点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1\mathrm{m}$。
∴$AB=OA+OB=1+1=2\mathrm{m}$。
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数与x轴交点；二次函数的对称性
【点评】
本题以喷泉场景为背景，考查二次函数的实际应用，解题的关键是明确x轴交点的纵坐标为0，结合二次函数的对称性即可快速求解，注重了数学知识与实际生活的结合。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知二次函数$y=-x^2+2x+4$的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)求出$△ ABD$的面积.
(3)若将该函数图象向下平移，使其与x轴有唯一公共点，则平移后的函数表达式是
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)求出$△ ABD$的面积.
(3)若将该函数图象向下平移，使其与x轴有唯一公共点，则平移后的函数表达式是
$y=-x^2+2x-1$
.答案
(1)$\because y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$,$\therefore$抛物线的顶点坐标是$(1,5)$.
(2)$\because$令$y=0$,即$-(x-1)^2+5=0$,解得$x=\pm\sqrt{5}+1. \therefore B(\sqrt{5}+1,0),A(-\sqrt{5}+1,0),\therefore AB=(\sqrt{5}+1)-(-\sqrt{5}+1)=\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1=2\sqrt{5}. \because$抛物线的顶点$D$的坐标为$(1,5)$,$\therefore$点$D$到$AB$的距离为$5. \therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×5=5\sqrt{5}$.
(3)$y=-x^2+2x-1$
(2)$\because$令$y=0$,即$-(x-1)^2+5=0$,解得$x=\pm\sqrt{5}+1. \therefore B(\sqrt{5}+1,0),A(-\sqrt{5}+1,0),\therefore AB=(\sqrt{5}+1)-(-\sqrt{5}+1)=\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1=2\sqrt{5}. \because$抛物线的顶点$D$的坐标为$(1,5)$,$\therefore$点$D$到$AB$的距离为$5. \therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×5=5\sqrt{5}$.
(3)$y=-x^2+2x-1$
解析
【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标可采用配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标$(h,k)$，也可使用顶点坐标公式求解，本题用配方法计算更简便。
(2) 求$△ ABD$的面积，需先确定底边$AB$的长度和$AB$边上的高：令$y=0$解一元二次方程可得抛物线与x轴交点A、B的坐标，两点横坐标的差即为$AB$的长度；因为$AB$在x轴上，所以$AB$边上的高就是顶点D的纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 二次函数图象向下平移时，二次项系数、一次项系数不变，仅常数项改变。平移后图象与x轴有唯一公共点，说明平移后的抛物线顶点落在x轴上，即顶点纵坐标为0，据此即可求出平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+4\\&=-(x^2-2x)+4\\&=-(x^2-2x+1-1)+4\\&=-(x-1)^2+5\end{aligned}$
根据顶点式的性质，抛物线的顶点坐标为$(1,5)$。
(2) 令$y=0$，可得方程：
$-(x-1)^2+5=0$
移项得$(x-1)^2=5$，开方得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
因此A点坐标为$(1-\sqrt{5},0)$，B点坐标为$(1+\sqrt{5},0)$，则$AB=(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$。
已知顶点D坐标为$(1,5)$，点D到AB所在x轴的距离为5，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×5=5\sqrt{5}$
(3) 原抛物线顶点纵坐标为5，向下平移后图象与x轴有唯一公共点，说明平移后顶点纵坐标为0，即图象向下平移5个单位，平移后常数项减少5，因此平移后的函数表达式为：
$y=-x^2+2x+4-5=-x^2+2x-1$
【答案】
(1) $(1,5)$
(2) $5\sqrt{5}$
(3) $y=-x^2+2x-1$
【知识点】
二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合类习题，解题逻辑清晰，侧重考察二次函数核心基础知识点的运用，熟练掌握二次函数顶点坐标求解、与坐标轴交点计算、图象平移规律即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型题目。
【难度系数】
0.75
(1) 求二次函数顶点坐标可采用配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标$(h,k)$，也可使用顶点坐标公式求解，本题用配方法计算更简便。
(2) 求$△ ABD$的面积，需先确定底边$AB$的长度和$AB$边上的高：令$y=0$解一元二次方程可得抛物线与x轴交点A、B的坐标，两点横坐标的差即为$AB$的长度；因为$AB$在x轴上，所以$AB$边上的高就是顶点D的纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 二次函数图象向下平移时，二次项系数、一次项系数不变，仅常数项改变。平移后图象与x轴有唯一公共点，说明平移后的抛物线顶点落在x轴上，即顶点纵坐标为0，据此即可求出平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+4\\&=-(x^2-2x)+4\\&=-(x^2-2x+1-1)+4\\&=-(x-1)^2+5\end{aligned}$
根据顶点式的性质，抛物线的顶点坐标为$(1,5)$。
(2) 令$y=0$，可得方程：
$-(x-1)^2+5=0$
移项得$(x-1)^2=5$，开方得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
因此A点坐标为$(1-\sqrt{5},0)$，B点坐标为$(1+\sqrt{5},0)$，则$AB=(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$。
已知顶点D坐标为$(1,5)$，点D到AB所在x轴的距离为5，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×5=5\sqrt{5}$
(3) 原抛物线顶点纵坐标为5，向下平移后图象与x轴有唯一公共点，说明平移后顶点纵坐标为0，即图象向下平移5个单位，平移后常数项减少5，因此平移后的函数表达式为：
$y=-x^2+2x+4-5=-x^2+2x-1$
【答案】
(1) $(1,5)$
(2) $5\sqrt{5}$
(3) $y=-x^2+2x-1$
【知识点】
二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合类习题，解题逻辑清晰，侧重考察二次函数核心基础知识点的运用，熟练掌握二次函数顶点坐标求解、与坐标轴交点计算、图象平移规律即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型题目。
【难度系数】
0.75
14. 传统文化·投壶游戏 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时进行的一种投掷游戏. 投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分. 箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线. 同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(单位长度为1 m). 某同学将箭从$A(0,1.5)$处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线$L:y=ax^2+bx+c$的一部分，且当箭的最大高度为2 m时，距离投出点的水平距离为1 m. 把壶近似看作矩形$DEFG$，已知壶口的宽度$GF=0.2$ m，壶的高度$EF=0.72$ m.
(1)求抛物线$L$的表达式.
(2)若箭刚好由点$G$处擦边投入壶中，求人离壶的距离$OE$.
(3)在(2)的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭投出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请求出$OA$的取值范围.
(1)求抛物线$L$的表达式.
(2)若箭刚好由点$G$处擦边投入壶中，求人离壶的距离$OE$.
(3)在(2)的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭投出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请求出$OA$的取值范围.
答案
(1)由题意,得抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$,$\therefore y=a(x+1)^2+2. \because$抛物线经过点$A(0,1.5)$,$\therefore a+2=1.5$,解得$a=-0.5. \therefore y=-0.5(x+1)^2+2=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$.
(2)令$-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}=0.72$,解得$x=-2.6$或$x=0.6$(不符合题意,舍去).$\therefore OE=2.6-0.2=2.4(\mathrm{m}). \therefore$人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$.
(3)设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线为$y'=-\frac{1}{2}x^2-x+n$.将$(-2.4,0.72)$代入上式,得$-\frac{1}{2}×(-2.4)^2-(-2.4)+n=0.72$,解得$n=1.2$.
$\therefore y'=-\frac{1}{2}x^2-x+1.2. \therefore 1.2\ \mathrm{m}≤ OA≤ 1.5\ \mathrm{m}.$
(2)令$-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}=0.72$,解得$x=-2.6$或$x=0.6$(不符合题意,舍去).$\therefore OE=2.6-0.2=2.4(\mathrm{m}). \therefore$人离壶的距离$OE$为$2.4\ \mathrm{m}$.
(3)设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线为$y'=-\frac{1}{2}x^2-x+n$.将$(-2.4,0.72)$代入上式,得$-\frac{1}{2}×(-2.4)^2-(-2.4)+n=0.72$,解得$n=1.2$.
$\therefore y'=-\frac{1}{2}x^2-x+1.2. \therefore 1.2\ \mathrm{m}≤ OA≤ 1.5\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先根据题意确定顶点坐标：最大高度2m时，距离投出点A水平距离为1m，结合坐标系可得顶点为$(-1,2)$，因此选用顶点式设解析式，再代入点A的坐标求出参数$a$，整理即可得到抛物线表达式。
(2) 箭从G点擦边投入时，G点纵坐标等于壶的高度0.72m，将$y=0.72$代入抛物线解析式解方程，结合G点在y轴左侧舍去正根得到G点横坐标；再根据壶口宽度0.2m计算F点横坐标，F点横坐标的绝对值就是OE的长度。
(3) 调整投出高度、其他条件不变时，新抛物线的开口方向、大小、对称轴均与原抛物线一致，仅常数项改变，设新抛物线解析式后，分别代入壶口两端点的坐标求出常数项的边界值，即可得到OA的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵ 抛物线经过$A(0,1.5)$，代入得：$a+2=1.5$，解得$a=-0.5$。
∴ 抛物线L的表达式为$y=-0.5(x+1)^2+2=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$。
(2) 令$y=0.72$，代入解析式得：$-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}=0.72$，
解得$x=-2.6$或$x=0.6$（G点在y轴左侧，舍去正根）。
∴ G点横坐标为$-2.6$，又
∵ $GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴ F点横坐标为$-2.6+0.2=-2.4$，
∴ $OE=|-2.4|=2.4\ \mathrm{m}$。
(3) 设新抛物线解析式为$y'=-\frac{1}{2}x^2-x+n$，此时$OA=n$。
将$F(-2.4,0.72)$代入解析式得：$-\frac{1}{2}×(-2.4)^2-(-2.4)+n=0.72$，
解得$n=1.2$，当抛物线经过G点时$n=1.5$，因此OA的取值范围为$1.2\ \mathrm{m}≤OA≤1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$
(2) $2.4\ \mathrm{m}$
(3) $1.2\ \mathrm{m}≤ OA≤ 1.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合传统投壶场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际场景中的条件转化为二次函数的坐标、参数信息，再结合方程思想求解，需要注意实际问题中解的取舍。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，先根据题意确定顶点坐标：最大高度2m时，距离投出点A水平距离为1m，结合坐标系可得顶点为$(-1,2)$，因此选用顶点式设解析式，再代入点A的坐标求出参数$a$，整理即可得到抛物线表达式。
(2) 箭从G点擦边投入时，G点纵坐标等于壶的高度0.72m，将$y=0.72$代入抛物线解析式解方程，结合G点在y轴左侧舍去正根得到G点横坐标；再根据壶口宽度0.2m计算F点横坐标，F点横坐标的绝对值就是OE的长度。
(3) 调整投出高度、其他条件不变时，新抛物线的开口方向、大小、对称轴均与原抛物线一致，仅常数项改变，设新抛物线解析式后，分别代入壶口两端点的坐标求出常数项的边界值，即可得到OA的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2+2$。
∵ 抛物线经过$A(0,1.5)$，代入得：$a+2=1.5$，解得$a=-0.5$。
∴ 抛物线L的表达式为$y=-0.5(x+1)^2+2=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$。
(2) 令$y=0.72$，代入解析式得：$-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}=0.72$，
解得$x=-2.6$或$x=0.6$（G点在y轴左侧，舍去正根）。
∴ G点横坐标为$-2.6$，又
∵ $GF=0.2\ \mathrm{m}$，
∴ F点横坐标为$-2.6+0.2=-2.4$，
∴ $OE=|-2.4|=2.4\ \mathrm{m}$。
(3) 设新抛物线解析式为$y'=-\frac{1}{2}x^2-x+n$，此时$OA=n$。
将$F(-2.4,0.72)$代入解析式得：$-\frac{1}{2}×(-2.4)^2-(-2.4)+n=0.72$，
解得$n=1.2$，当抛物线经过G点时$n=1.5$，因此OA的取值范围为$1.2\ \mathrm{m}≤OA≤1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2-x+\frac{3}{2}$
(2) $2.4\ \mathrm{m}$
(3) $1.2\ \mathrm{m}≤ OA≤ 1.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合传统投壶场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际场景中的条件转化为二次函数的坐标、参数信息，再结合方程思想求解，需要注意实际问题中解的取舍。
【难度系数】
0.6
