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7.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克.经调查，售价每降低0.1元/千克，每天可多售出40千克，则当定价为
2.75
元/千克时，能获得最大利润.答案
7. 2.75
解析
【分析】
解决这类利润最值问题，首先要牢记核心等量关系：总利润=每千克利润×总销售量。我们可以先设每千克降价x元，再分别用含x的式子表示出降价后的每千克利润和每日总销售量，进而列出总利润关于x的二次函数表达式，最后根据二次函数的性质求出利润最大时对应的x值，即可计算出对应的定价。
【解析】
设每千克西瓜降价x元，每天获得的利润为y元。
由题意得：
降价后每千克利润为：$3 - x - 2 = (1 - x)$元
降价后每日总销售量为：$200 + \frac{x}{0.1} × 40 = (200 + 400x)$千克
因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(1 - x)(200 + 400x)\\&=-400x^2 + 200x + 200\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2×(-400)} = 0.25$时，y取得最大值。
此时定价为$3 - 0.25 = 2.75$元/千克。
【答案】
2.75
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数最值求法
【点评】
本题是销售利润最值类的常规题型，解题的关键是结合题意找准等量关系，正确列出二次函数表达式，再利用二次函数顶点坐标公式求最值，求解过程中要注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
解决这类利润最值问题，首先要牢记核心等量关系：总利润=每千克利润×总销售量。我们可以先设每千克降价x元，再分别用含x的式子表示出降价后的每千克利润和每日总销售量，进而列出总利润关于x的二次函数表达式，最后根据二次函数的性质求出利润最大时对应的x值，即可计算出对应的定价。
【解析】
设每千克西瓜降价x元，每天获得的利润为y元。
由题意得：
降价后每千克利润为：$3 - x - 2 = (1 - x)$元
降价后每日总销售量为：$200 + \frac{x}{0.1} × 40 = (200 + 400x)$千克
因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(1 - x)(200 + 400x)\\&=-400x^2 + 200x + 200\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2×(-400)} = 0.25$时，y取得最大值。
此时定价为$3 - 0.25 = 2.75$元/千克。
【答案】
2.75
【知识点】
二次函数的应用；利润问题计算；二次函数最值求法
【点评】
本题是销售利润最值类的常规题型，解题的关键是结合题意找准等量关系，正确列出二次函数表达式，再利用二次函数顶点坐标公式求最值，求解过程中要注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
8.某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件.如果该商品每件的售价每上涨1元，那么每个月将少卖7件(每件的单价不能高于70元).若上涨的金额为正整数，则每件商品的售价上涨
7或8
元时，每个月可获得最大利润.答案
8. 7或8
解析
【分析】
要解决这个利润最值问题，首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先设上涨金额为x元，结合售价上限确定x的取值范围；第二步分别用含x的代数式表示出涨价后的单件利润和月销售量；第三步列出总利润关于x的二次函数解析式；最后结合二次函数的开口方向、对称轴，以及x为正整数的限制，找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月获得的利润为y元。
1. 确定x的取值范围：
每件售价不能高于70元，因此$50+x≤70$，解得$x≤20$，结合x是正整数，得x的取值范围为$1≤x≤20$且x为整数。
2. 表示单件利润和销售量：
涨价后单件利润为：$50+x-35=(15+x)$元
涨价后月销售量为：$(210-7x)$件
3. 列利润函数解析式：
$y=(15+x)(210-7x)$
展开整理得：$y=-7x^2+105x+3150$
4. 求最值：
该函数是二次函数，其中$a=-7＜0$，抛物线开口向下，存在最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{105}{2×(-7)}=7.5$
由于x必须取正整数，且抛物线开口向下，因此距离对称轴$x=7.5$最近的整数$x=7$和$x=8$对应的y值相等，均为最大值，且7、8都在x的取值范围内，符合要求。
【答案】
7或8
【知识点】
销售利润计算、二次函数最值、自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的典型应用，解题的关键是正确梳理数量关系列出函数解析式，要特别注意自变量的实际限制条件（正整数、售价上限），不能直接取对称轴处的小数作为最终结果，需结合实际取值求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最值问题，首先回忆销售利润的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步先设上涨金额为x元，结合售价上限确定x的取值范围；第二步分别用含x的代数式表示出涨价后的单件利润和月销售量；第三步列出总利润关于x的二次函数解析式；最后结合二次函数的开口方向、对称轴，以及x为正整数的限制，找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月获得的利润为y元。
1. 确定x的取值范围：
每件售价不能高于70元，因此$50+x≤70$，解得$x≤20$，结合x是正整数，得x的取值范围为$1≤x≤20$且x为整数。
2. 表示单件利润和销售量：
涨价后单件利润为：$50+x-35=(15+x)$元
涨价后月销售量为：$(210-7x)$件
3. 列利润函数解析式：
$y=(15+x)(210-7x)$
展开整理得：$y=-7x^2+105x+3150$
4. 求最值：
该函数是二次函数，其中$a=-7＜0$，抛物线开口向下，存在最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{105}{2×(-7)}=7.5$
由于x必须取正整数，且抛物线开口向下，因此距离对称轴$x=7.5$最近的整数$x=7$和$x=8$对应的y值相等，均为最大值，且7、8都在x的取值范围内，符合要求。
【答案】
7或8
【知识点】
销售利润计算、二次函数最值、自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数在销售利润问题中的典型应用，解题的关键是正确梳理数量关系列出函数解析式，要特别注意自变量的实际限制条件（正整数、售价上限），不能直接取对称轴处的小数作为最终结果，需结合实际取值求解。
【难度系数】
0.7
9.端午节吃粽子是中国传统习俗.在端午节来临前,某超市购进某品牌粽子,每盒进价是40元,并规定每盒售价不得少于50元,且不高于65元.根据以往销售经验,当每盒售价定为50元时,日销售量为500盒,每盒售价每提高1元,日销售量减少10盒.设每盒售价为x元,日销售利润为W元.
(1)当每盒售价定为多少元时,日销售利润W(单位:元)最大?最大利润是多少?
(2)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大.”你认为他的说法正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请直接写出正确的结论.
(1)当每盒售价定为多少元时,日销售利润W(单位:元)最大?最大利润是多少?
(2)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大.”你认为他的说法正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请直接写出正确的结论.
答案
9. 解:(1) 由题意, 得 $W = (x - 40)[500 - 10(x - 50)] = -10x^2 + 1400x - 40000 = -10(x - 70)^2 + 9000.$ $\because -10 ＜ 0, 50 ≤ x ≤ 65, \therefore$ 当 $x = 65$ 时, $W$ 取得最大值, 最大值为 8750. 答: 当每盒售价定为 65 元时, 日销售利润 $W$ 最大, 最大利润是 8750 元. (2) 正确. 理由如下: 设日销售额为 $y$ 元, 则 $y = x[500 - 10(x - 50)] = -10x^2 + 1000x = -10(x - 50)^2 + 25000,$ $\because -10 ＜ 0, 50 ≤ x ≤ 65, \therefore$ 当 $x = 50$ 时, $y$ 取得最大值, 即日销售额最大. $\because$ 当 $x = 65$ 时, 日销售利润最大, 且 $50 ≠ 65, \therefore$ 小强的说法正确.
解析
【分析】
（1）解第一问时，先依据“日销售利润=每盒利润×日销售量”的基本关系列函数式：每盒利润为$(x-40)$元，售价为$x$元时比50元高$(x-50)$元，每提价1元销量减少10盒，因此日销售量为$[500-10(x-50)]$盒，代入即可得到$W$关于$x$的二次函数。再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及题目限定的售价范围$50≤x≤65$判断最值，注意顶点横坐标超出取值范围时，要在取值区间内找最值。
（2）解第二问时，先根据“日销售额=每盒售价×日销售量”列出销售额$y$关于$x$的二次函数，求出给定范围内销售额最大时对应的售价，再和利润最大时的售价对比，若二者不相等则小强说法正确。
【解析】
(1) 由题意得：
$\begin{aligned}W &= (x - 40)[500 - 10(x - 50)] \\&= -10x^2 + 1400x - 40000 \\&= -10(x - 70)^2 + 9000\end{aligned}$
$\because -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，且售价范围为$50 ≤ x ≤ 65$，在对称轴$x=70$左侧，$W$随$x$的增大而增大
$\therefore$ 当$x = 65$时，$W$取得最大值，代入得$W=-10×(65-70)^2+9000=8750$
(2) 小强的说法正确，理由如下：
设日销售额为$y$元，由题意得：
$\begin{aligned}y &= x[500 - 10(x - 50)] \\&= -10x^2 + 1000x \\&= -10(x - 50)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，且$50 ≤ x ≤ 65$
$\therefore$ 当$x = 50$时，$y$取得最大值，即日销售额最大时售价为50元
$\because$ 日销售利润最大时售价为65元，$50 ≠ 65$，因此当日销售利润最大时，日销售额不是最大，小强的说法正确。
【答案】
(1) 当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元；
(2) 小强的说法正确。
【知识点】
二次函数最值；销售利润问题；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活销售场景考查二次函数的应用，核心是根据数量关系正确列出函数解析式，易错点是忽略自变量的取值范围，直接取二次函数顶点横坐标计算最值，解题时一定要结合限定区间判断最值位置。
【难度系数】
0.6
（1）解第一问时，先依据“日销售利润=每盒利润×日销售量”的基本关系列函数式：每盒利润为$(x-40)$元，售价为$x$元时比50元高$(x-50)$元，每提价1元销量减少10盒，因此日销售量为$[500-10(x-50)]$盒，代入即可得到$W$关于$x$的二次函数。再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及题目限定的售价范围$50≤x≤65$判断最值，注意顶点横坐标超出取值范围时，要在取值区间内找最值。
（2）解第二问时，先根据“日销售额=每盒售价×日销售量”列出销售额$y$关于$x$的二次函数，求出给定范围内销售额最大时对应的售价，再和利润最大时的售价对比，若二者不相等则小强说法正确。
【解析】
(1) 由题意得：
$\begin{aligned}W &= (x - 40)[500 - 10(x - 50)] \\&= -10x^2 + 1400x - 40000 \\&= -10(x - 70)^2 + 9000\end{aligned}$
$\because -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，且售价范围为$50 ≤ x ≤ 65$，在对称轴$x=70$左侧，$W$随$x$的增大而增大
$\therefore$ 当$x = 65$时，$W$取得最大值，代入得$W=-10×(65-70)^2+9000=8750$
(2) 小强的说法正确，理由如下：
设日销售额为$y$元，由题意得：
$\begin{aligned}y &= x[500 - 10(x - 50)] \\&= -10x^2 + 1000x \\&= -10(x - 50)^2 + 25000\end{aligned}$
$\because -10 ＜ 0$，抛物线开口向下，且$50 ≤ x ≤ 65$
$\therefore$ 当$x = 50$时，$y$取得最大值，即日销售额最大时售价为50元
$\because$ 日销售利润最大时售价为65元，$50 ≠ 65$，因此当日销售利润最大时，日销售额不是最大，小强的说法正确。
【答案】
(1) 当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元；
(2) 小强的说法正确。
【知识点】
二次函数最值；销售利润问题；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活销售场景考查二次函数的应用，核心是根据数量关系正确列出函数解析式，易错点是忽略自变量的取值范围，直接取二次函数顶点横坐标计算最值，解题时一定要结合限定区间判断最值位置。
【难度系数】
0.6
10.小黄做小商品的批发生意,其中某款“中国结”每件的成本为15元,这款“中国结”的批发单价y(单位:元)与一次性批发量x(x为正整数)(单位:件)之间满足如图所示的函数关系.
(1)当$200≤ x≤ 400$时,求y与x的函数关系式.
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”,共支付7280元,求此次批发量.
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”$x(200≤ x≤ 600)$件,小黄获得的利润为w元.当x为何值时,小黄获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)当$200≤ x≤ 400$时,求y与x的函数关系式.
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”,共支付7280元,求此次批发量.
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”$x(200≤ x≤ 600)$件,小黄获得的利润为w元.当x为何值时,小黄获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
10. 解:(1) 设当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$. 把 $(200, 30)$ 和 $(400, 20)$ 代入关系式, 得 $\begin{cases}200k + b = 30, \\400k + b = 20,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\dfrac{1}{20}, \\b = 40.\end{cases}$ $\therefore$ 当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -\dfrac{1}{20}x + 40.$ (2) 由图可知, 当 $x = 200$ 时, 需支付 $30 × 200 = 6000$(元), 当 $x = 400$ 时, 需支付 $20 × 400 = 8000$(元). $\because 6000 ＜ 7280 ＜ 8000, \therefore$ 一次性批发量位于 200 件与 400 件之间, 即 $200 ＜ x ＜ 400.$ $\therefore (-\dfrac{1}{20}x + 40)x = 7280,$ 解得 $x_1 = 280, x_2 = 520$(舍去). 答: 此次批发量为 280 件. (3) 当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $w = (-\dfrac{1}{20}x + 40 - 15)x = -\dfrac{1}{20}x^2 + 25x = -\dfrac{1}{20}(x - 250)^2 + 3125.$ $\because -\dfrac{1}{20} ＜ 0, \therefore$ 当 $x = 250$ 时, $w$ 有最大值, 最大值为 3125. 当 $400 ＜ x ≤ 600$ 时, $w = (20 - 15)x = 5x.$ $\therefore$ 当 $x = 600$ 时, $w$ 有最大值, 最大值为 $5 × 600 = 3000.$ $\because 3000 ＜ 3125, \therefore$ 当 $x = 250$ 时, 小黄获得的利润最大, 最大利润是 3125 元.
解析
【分析】
(1) 第一问求$200≤x≤400$时$y$与$x$的函数关系式，该段图像为直线，属于一次函数，用待定系数法求解：先设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入端点坐标$(200,30)$和$(400,20)$，解二元一次方程组即可得到解析式。
(2) 第二问已知总支付金额求批发量，先计算边界值的总金额：$x=200$时总金额为6000元，$x=400$时总金额为8000元，对比7280元可知批发量在200~400之间，用该段单价乘数量等于总金额列一元二次方程，求解后舍去超出范围的根即可。
(3) 第三问求利润最大值，为分段函数问题：分$200≤x≤400$和$400＜x≤600$两段分别写利润表达式，第一段是二次函数，用顶点式求最大值；第二段是一次函数，根据单调性求最大值，最后比较两段的最大值，取较大值即为所求。
【解析】
(1) 设当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$，把 $(200, 30)$ 和 $(400, 20)$ 代入关系式，得：
$\begin{cases}200k + b = 30 \\400k + b = 20\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = -\dfrac{1}{20} \\b = 40\end{cases}$
$\therefore$ 当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -\dfrac{1}{20}x + 40$（x为正整数）。
(2) 由图可知，当 $x = 200$ 时，总支付金额为 $30 × 200 = 6000$ 元，当 $x = 400$ 时，总支付金额为 $20 × 400 = 8000$ 元。
$\because 6000 ＜ 7280 ＜ 8000$，$\therefore$ 批发量满足 $200 ＜ x ＜ 400$。
列方程得：$(-\dfrac{1}{20}x + 40)x = 7280$
整理得$x^2 - 800x + 145600=0$，解得 $x_1 = 280, x_2 = 520$。
$\because 520＞400$，不符合取值范围，舍去，$\therefore x=280$。
答：此次批发量为280件。
(3) 分两种情况讨论：
①当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时，每件利润为$(y-15)$元：
$w = (-\dfrac{1}{20}x + 40 - 15)x = -\dfrac{1}{20}x^2 + 25x = -\dfrac{1}{20}(x - 250)^2 + 3125$
$\because -\dfrac{1}{20} ＜ 0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当 $x = 250$ 时，$w$ 取最大值3125元。
②当 $400 ＜ x ≤ 600$ 时，批发单价固定为20元，每件利润为$20-15=5$元：
$w = (20 - 15)x = 5x$
$\because 5＞0$，$w$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 当 $x = 600$ 时，$w$取最大值$5×600=3000$元。
$\because 3000 ＜ 3125$，$\therefore$ 当$x=250$时，小黄获得的利润最大。
【答案】
(1) $y = -\dfrac{1}{20}x + 40\quad(200 ≤ x ≤ 400)$
(2) 280件
(3) 当$x=250$时，利润最大，最大利润为3125元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；二次函数利润最值问题
【点评】
本题结合实际经营场景，综合考查一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，解题时需注意分段函数的取值范围，求解方程后要验证根是否符合实际意义，求最值时需分别计算不同区间的最值再比较，能有效考查分类讨论思想和数学应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求$200≤x≤400$时$y$与$x$的函数关系式，该段图像为直线，属于一次函数，用待定系数法求解：先设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入端点坐标$(200,30)$和$(400,20)$，解二元一次方程组即可得到解析式。
(2) 第二问已知总支付金额求批发量，先计算边界值的总金额：$x=200$时总金额为6000元，$x=400$时总金额为8000元，对比7280元可知批发量在200~400之间，用该段单价乘数量等于总金额列一元二次方程，求解后舍去超出范围的根即可。
(3) 第三问求利润最大值，为分段函数问题：分$200≤x≤400$和$400＜x≤600$两段分别写利润表达式，第一段是二次函数，用顶点式求最大值；第二段是一次函数，根据单调性求最大值，最后比较两段的最大值，取较大值即为所求。
【解析】
(1) 设当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$，把 $(200, 30)$ 和 $(400, 20)$ 代入关系式，得：
$\begin{cases}200k + b = 30 \\400k + b = 20\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = -\dfrac{1}{20} \\b = 40\end{cases}$
$\therefore$ 当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -\dfrac{1}{20}x + 40$（x为正整数）。
(2) 由图可知，当 $x = 200$ 时，总支付金额为 $30 × 200 = 6000$ 元，当 $x = 400$ 时，总支付金额为 $20 × 400 = 8000$ 元。
$\because 6000 ＜ 7280 ＜ 8000$，$\therefore$ 批发量满足 $200 ＜ x ＜ 400$。
列方程得：$(-\dfrac{1}{20}x + 40)x = 7280$
整理得$x^2 - 800x + 145600=0$，解得 $x_1 = 280, x_2 = 520$。
$\because 520＞400$，不符合取值范围，舍去，$\therefore x=280$。
答：此次批发量为280件。
(3) 分两种情况讨论：
①当 $200 ≤ x ≤ 400$ 时，每件利润为$(y-15)$元：
$w = (-\dfrac{1}{20}x + 40 - 15)x = -\dfrac{1}{20}x^2 + 25x = -\dfrac{1}{20}(x - 250)^2 + 3125$
$\because -\dfrac{1}{20} ＜ 0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当 $x = 250$ 时，$w$ 取最大值3125元。
②当 $400 ＜ x ≤ 600$ 时，批发单价固定为20元，每件利润为$20-15=5$元：
$w = (20 - 15)x = 5x$
$\because 5＞0$，$w$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 当 $x = 600$ 时，$w$取最大值$5×600=3000$元。
$\because 3000 ＜ 3125$，$\therefore$ 当$x=250$时，小黄获得的利润最大。
【答案】
(1) $y = -\dfrac{1}{20}x + 40\quad(200 ≤ x ≤ 400)$
(2) 280件
(3) 当$x=250$时，利润最大，最大利润为3125元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；二次函数利润最值问题
【点评】
本题结合实际经营场景，综合考查一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，解题时需注意分段函数的取值范围，求解方程后要验证根是否符合实际意义，求最值时需分别计算不同区间的最值再比较，能有效考查分类讨论思想和数学应用能力。
【难度系数】
0.6
