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5.在-2，-3，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是m，最大是n，则m和n的乘积为
-3
。答案
-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆有理数除法的规则：两数相除，同号得正、异号得负，且0不能做除数。解题思路如下：1. 明确大小关系：正数＞0＞负数，因此最大的商一定是所有正商里数值最大的，最小的商一定是所有负商里数值最小的（即绝对值最大的负数）；2. 列举所有除数不为0的两数相除的组合，分别计算商，再筛选出最小的商m和最大的商n，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
已知四个数为-2、-3、0、4，首先排除除数为0的情况：
1. 求最大的商n：
同号两数相除结果为正，所有正商的组合及结果为：
$(-2)÷(-3)=\frac{2}{3}$，$(-3)÷(-2)=\frac{3}{2}$
比较得最大的正商为$\frac{3}{2}$，即$n=\frac{3}{2}$。
2. 求最小的商m：
异号两数相除结果为负，所有负商的组合及结果为：
$(-2)÷4=-\frac{1}{2}$，$(-3)÷4=-\frac{3}{4}$，$4÷(-2)=-2$，$4÷(-3)=-\frac{4}{3}$
负数比较大小，绝对值大的数更小，因此上述负商从小到大排序为：$-2＜-\frac{4}{3}＜-\frac{3}{4}＜-\frac{1}{2}$，得最小的商$m=-2$。
3. 计算m与n的乘积：
$m× n=(-2)×\frac{3}{2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
有理数除法法则；有理数大小比较；有理数乘法运算
【点评】
本题解题的关键是明确有理数除法的符号规则，注意0不能作为除数，找最大和最小商时要先通过符号分类缩小范围，避免漏算或错算组合。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆有理数除法的规则：两数相除，同号得正、异号得负，且0不能做除数。解题思路如下：1. 明确大小关系：正数＞0＞负数，因此最大的商一定是所有正商里数值最大的，最小的商一定是所有负商里数值最小的（即绝对值最大的负数）；2. 列举所有除数不为0的两数相除的组合，分别计算商，再筛选出最小的商m和最大的商n，最后计算二者的乘积即可。
【解析】
已知四个数为-2、-3、0、4，首先排除除数为0的情况：
1. 求最大的商n：
同号两数相除结果为正，所有正商的组合及结果为：
$(-2)÷(-3)=\frac{2}{3}$，$(-3)÷(-2)=\frac{3}{2}$
比较得最大的正商为$\frac{3}{2}$，即$n=\frac{3}{2}$。
2. 求最小的商m：
异号两数相除结果为负，所有负商的组合及结果为：
$(-2)÷4=-\frac{1}{2}$，$(-3)÷4=-\frac{3}{4}$，$4÷(-2)=-2$，$4÷(-3)=-\frac{4}{3}$
负数比较大小，绝对值大的数更小，因此上述负商从小到大排序为：$-2＜-\frac{4}{3}＜-\frac{3}{4}＜-\frac{1}{2}$，得最小的商$m=-2$。
3. 计算m与n的乘积：
$m× n=(-2)×\frac{3}{2}=-3$
【答案】
-3
【知识点】
有理数除法法则；有理数大小比较；有理数乘法运算
【点评】
本题解题的关键是明确有理数除法的符号规则，注意0不能作为除数，找最大和最小商时要先通过符号分类缩小范围，避免漏算或错算组合。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $(-0.25) ÷ (-\dfrac{1}{16})$；
(2) $3 ÷ (-\dfrac{7}{6}) × (-\dfrac{7}{9})$；
(3) $(-8) ÷ \dfrac{9}{2} ÷ (-\dfrac{8}{3})$；
(4) $(\dfrac{3}{8} - \dfrac{7}{16}) ÷ (-\dfrac{21}{32})$；
(5) $15 ÷ (\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3})$；
(6) $0 ÷ (-99) × (-1) ÷ (-2)$。
(1) $(-0.25) ÷ (-\dfrac{1}{16})$；
(2) $3 ÷ (-\dfrac{7}{6}) × (-\dfrac{7}{9})$；
(3) $(-8) ÷ \dfrac{9}{2} ÷ (-\dfrac{8}{3})$；
(4) $(\dfrac{3}{8} - \dfrac{7}{16}) ÷ (-\dfrac{21}{32})$；
(5) $15 ÷ (\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3})$；
(6) $0 ÷ (-99) × (-1) ÷ (-2)$。
答案
(1)4 (2)2 (3)$\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{2}{21}$ (5)$-\dfrac{225}{2}$ (6)0
解析
【分析】
解决这组有理数乘除运算题，核心思路如下：1.先确定运算结果的符号：同号相除（相乘）得正，异号得负，多个非零数乘除混合时，负因数的个数为偶数结果为正，为奇数结果为负；2.将所有除法运算转化为乘法运算：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；3.运算顺序：有括号先算括号内的，同级运算从左到右计算，能使用运算律简化的可以用运算律；4.牢记0的运算特性：0除以任何非0数都得0，0乘任何数都得0。计算过程中优先约分可以简化计算，降低错误率。
【解析】
(1) 两个负数相除，结果为正，转化为乘法计算：
原式$=0.25 ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4} × 16 = 4$
(2) 共有2个负因数，结果为正，先统一为乘法再约分：
原式$=3 × (-\dfrac{6}{7}) × (-\dfrac{7}{9}) = 3 × \dfrac{6}{7} × \dfrac{7}{9} = 2$
(3) 共有2个负因数，结果为正，统一为乘法后约分：
原式$=(-8) × \dfrac{2}{9} × (-\dfrac{3}{8}) = 8 × \dfrac{2}{9} × \dfrac{3}{8} = \dfrac{2}{3}$
(4) 先将除法转化为乘法，使用乘法分配律简化计算：
原式$=(\dfrac{3}{8} - \dfrac{7}{16}) × (-\dfrac{32}{21}) = \dfrac{3}{8}×(-\dfrac{32}{21}) + (-\dfrac{7}{16})×(-\dfrac{32}{21}) = -\dfrac{12}{21} + \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{21}$
(5) 先计算括号内的减法，再计算除法：
括号内：$\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{15} - \dfrac{5}{15} = -\dfrac{2}{15}$
原式$=15 ÷ (-\dfrac{2}{15}) = 15 × (-\dfrac{15}{2}) = -\dfrac{225}{2}$
(6) 0除以任何非0数都得0，后续乘除运算结果仍为0：
原式$=0 × (-1) ÷ (-2) = 0$
【答案】
(1)4 (2)2 (3)$\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{2}{21}$ (5)$-\dfrac{225}{2}$ (6)0
【知识点】
有理数除法法则、有理数乘除混合运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数乘除运算的基础练习题，解题的关键是先确定运算结果的符号，再将除法转化为乘法后约分计算，有括号时优先计算括号内的部分，注意不要对除法误用分配律，牢记0的特殊运算性质可快速得出相关题目的结果。
【难度系数】
0.75
解决这组有理数乘除运算题，核心思路如下：1.先确定运算结果的符号：同号相除（相乘）得正，异号得负，多个非零数乘除混合时，负因数的个数为偶数结果为正，为奇数结果为负；2.将所有除法运算转化为乘法运算：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数；3.运算顺序：有括号先算括号内的，同级运算从左到右计算，能使用运算律简化的可以用运算律；4.牢记0的运算特性：0除以任何非0数都得0，0乘任何数都得0。计算过程中优先约分可以简化计算，降低错误率。
【解析】
(1) 两个负数相除，结果为正，转化为乘法计算：
原式$=0.25 ÷ \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4} × 16 = 4$
(2) 共有2个负因数，结果为正，先统一为乘法再约分：
原式$=3 × (-\dfrac{6}{7}) × (-\dfrac{7}{9}) = 3 × \dfrac{6}{7} × \dfrac{7}{9} = 2$
(3) 共有2个负因数，结果为正，统一为乘法后约分：
原式$=(-8) × \dfrac{2}{9} × (-\dfrac{3}{8}) = 8 × \dfrac{2}{9} × \dfrac{3}{8} = \dfrac{2}{3}$
(4) 先将除法转化为乘法，使用乘法分配律简化计算：
原式$=(\dfrac{3}{8} - \dfrac{7}{16}) × (-\dfrac{32}{21}) = \dfrac{3}{8}×(-\dfrac{32}{21}) + (-\dfrac{7}{16})×(-\dfrac{32}{21}) = -\dfrac{12}{21} + \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{21}$
(5) 先计算括号内的减法，再计算除法：
括号内：$\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{15} - \dfrac{5}{15} = -\dfrac{2}{15}$
原式$=15 ÷ (-\dfrac{2}{15}) = 15 × (-\dfrac{15}{2}) = -\dfrac{225}{2}$
(6) 0除以任何非0数都得0，后续乘除运算结果仍为0：
原式$=0 × (-1) ÷ (-2) = 0$
【答案】
(1)4 (2)2 (3)$\dfrac{2}{3}$ (4)$\dfrac{2}{21}$ (5)$-\dfrac{225}{2}$ (6)0
【知识点】
有理数除法法则、有理数乘除混合运算、有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数乘除运算的基础练习题，解题的关键是先确定运算结果的符号，再将除法转化为乘法后约分计算，有括号时优先计算括号内的部分，注意不要对除法误用分配律，牢记0的特殊运算性质可快速得出相关题目的结果。
【难度系数】
0.75
7.已知$a$，$b$为非零有理数。
(1)当$a＞0$时，求$\frac{a}{|a|}$的值；
(2)当$ab＜0$时，求$\frac{ab}{|ab|}$的值。
(1)当$a＞0$时，求$\frac{a}{|a|}$的值；
(2)当$ab＜0$时，求$\frac{ab}{|ab|}$的值。
答案
(1)1 (2)$-1$
解析
【分析】
解题的核心是先判断绝对值符号内代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算：
(1) 求$\frac{a}{|a|}$的值，需要先化简$|a|$，已知$a＞0$，根据绝对值的性质可直接得出$|a|=a$，代入分式计算即可；
(2) 求$\frac{ab}{|ab|}$的值，先根据$ab＜0$判断$ab$是负数，结合绝对值性质得$|ab|=-ab$，代入分式约分即可得到结果，题目已说明a、b是非零有理数，因此分母均不为0，分式有意义。
【解析】
(1) $\because a＞0$，根据正数的绝对值等于它本身，可得$|a|=a$，
又$\because a$是非零有理数，即$a≠0$，
$\therefore \frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1$；
(2) $\because ab＜0$，说明$ab$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|ab|=-ab$，
又$\because a、b$为非零有理数，$\therefore ab≠0$，
$\therefore \frac{ab}{|ab|}=\frac{ab}{-ab}=-1$。
【答案】
(1) $1$；(2) $-1$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握绝对值的化简规则和有理数乘积的符号判断方法，只要准确判断出绝对值内式子的正负，代入化简即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先判断绝对值符号内代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算：
(1) 求$\frac{a}{|a|}$的值，需要先化简$|a|$，已知$a＞0$，根据绝对值的性质可直接得出$|a|=a$，代入分式计算即可；
(2) 求$\frac{ab}{|ab|}$的值，先根据$ab＜0$判断$ab$是负数，结合绝对值性质得$|ab|=-ab$，代入分式约分即可得到结果，题目已说明a、b是非零有理数，因此分母均不为0，分式有意义。
【解析】
(1) $\because a＞0$，根据正数的绝对值等于它本身，可得$|a|=a$，
又$\because a$是非零有理数，即$a≠0$，
$\therefore \frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1$；
(2) $\because ab＜0$，说明$ab$是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|ab|=-ab$，
又$\because a、b$为非零有理数，$\therefore ab≠0$，
$\therefore \frac{ab}{|ab|}=\frac{ab}{-ab}=-1$。
【答案】
(1) $1$；(2) $-1$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握绝对值的化简规则和有理数乘积的符号判断方法，只要准确判断出绝对值内式子的正负，代入化简即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.【阅读材料】
当有理数 $ x $ 不等于0时，
把2个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(2,x)=x÷ x $；
把3个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(3,x)=x÷ x÷ x $；
把4个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(4,x)=x÷ x÷ x÷ x $；
……
特别地，规定 $ f(1,x)=x $。
【解决问题】
(1)若 $ f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2) $，则 $ n= $
(2)求 $ f(5,\frac{1}{3}) $；
(3)计算：$ f(2,\frac{1}{4})× f(4,\frac{1}{2})× f(1,-1) $。
当有理数 $ x $ 不等于0时，
把2个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(2,x)=x÷ x $；
把3个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(3,x)=x÷ x÷ x $；
把4个相同的有理数 $ x $ 的除法运算，记作 $ f(4,x)=x÷ x÷ x÷ x $；
……
特别地，规定 $ f(1,x)=x $。
【解决问题】
(1)若 $ f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2) $，则 $ n= $
4
；(2)求 $ f(5,\frac{1}{3}) $；
(3)计算：$ f(2,\frac{1}{4})× f(4,\frac{1}{2})× f(1,-1) $。
答案
解:(1)4
(2)$f(5,\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{1}{3}×3×3×3×3=27$。
(3)原式$=(\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2})×(-1)$
$=1×4×(-1)=-4$。
(2)$f(5,\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{1}{3}×3×3×3×3=27$。
(3)原式$=(\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2})×(-1)$
$=1×4×(-1)=-4$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，首先要准确理解$f(n,x)$的含义：$f(n,x)$表示$n$个相同的有理数$x$连续做除法运算，且规定$f(1,x)=x$，解题时只需将新运算转化为常规的有理数乘除运算即可。
(1) 观察等式右侧共有4个$-2$连续相除，$n$代表参与运算的数的个数，直接对应得到$n$的值；
(2) 按定义写出5个$\frac{1}{3}$连续相除的式子，再根据有理数除法法则将除法转化为乘法计算即可；
(3) 先分别根据定义算出每个$f$运算的结果，再按有理数乘法规则计算乘积即可，注意$f(1,-1)$直接等于$-1$。
【解析】
(1) 因为$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$，等式右侧共4个$-2$连续相除，根据$f(n,x)$的定义可得$n=4$。
(2) 根据定义：
$f(5,\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}$
将除法转化为乘法计算：
$=\dfrac{1}{3}×3×3×3×3=27$
(3) 分别计算每个运算的值：
$f(2,\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4}=1$
$f(4,\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×2×2×2=4$
$f(1,-1)=-1$
再计算乘积：
原式$=1×4×(-1)=-4$
【答案】
(1)$4$；(2)$27$；(3)$-4$
【知识点】
新定义运算、有理数除法法则、有理数乘法运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心是读懂新运算的规则，将陌生运算转化为已学的有理数乘除运算，解题时注意运算顺序和符号，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，首先要准确理解$f(n,x)$的含义：$f(n,x)$表示$n$个相同的有理数$x$连续做除法运算，且规定$f(1,x)=x$，解题时只需将新运算转化为常规的有理数乘除运算即可。
(1) 观察等式右侧共有4个$-2$连续相除，$n$代表参与运算的数的个数，直接对应得到$n$的值；
(2) 按定义写出5个$\frac{1}{3}$连续相除的式子，再根据有理数除法法则将除法转化为乘法计算即可；
(3) 先分别根据定义算出每个$f$运算的结果，再按有理数乘法规则计算乘积即可，注意$f(1,-1)$直接等于$-1$。
【解析】
(1) 因为$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$，等式右侧共4个$-2$连续相除，根据$f(n,x)$的定义可得$n=4$。
(2) 根据定义：
$f(5,\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}$
将除法转化为乘法计算：
$=\dfrac{1}{3}×3×3×3×3=27$
(3) 分别计算每个运算的值：
$f(2,\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4}=1$
$f(4,\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×2×2×2=4$
$f(1,-1)=-1$
再计算乘积：
原式$=1×4×(-1)=-4$
【答案】
(1)$4$；(2)$27$；(3)$-4$
【知识点】
新定义运算、有理数除法法则、有理数乘法运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心是读懂新运算的规则，将陌生运算转化为已学的有理数乘除运算，解题时注意运算顺序和符号，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
9.【阅读材料】我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以
这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”。例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10，所以10的“完美指标”是$[(1+5)-(2+10)]÷10=-\dfrac{3}{5}$。我们规定：若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”。例如，6的“完美指标”是$[(1+3)-(2+6)]÷6=-\dfrac{2}{3}$；7没有正偶数因数，7的“完美指标”是$(1+7)÷7=\dfrac{8}{7}$。因为$\left|-\dfrac{2}{3}\right|＜\left|\dfrac{8}{7}\right|$，所以6比7更“完美”。
【问题探究】根据上述材料，求出18，19，21这三个自然数中最“完美”的数。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”。例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10，所以10的“完美指标”是$[(1+5)-(2+10)]÷10=-\dfrac{3}{5}$。我们规定：若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”。例如，6的“完美指标”是$[(1+3)-(2+6)]÷6=-\dfrac{2}{3}$；7没有正偶数因数，7的“完美指标”是$(1+7)÷7=\dfrac{8}{7}$。因为$\left|-\dfrac{2}{3}\right|＜\left|\dfrac{8}{7}\right|$，所以6比7更“完美”。
【问题探究】根据上述材料，求出18，19，21这三个自然数中最“完美”的数。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
解:18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9,正偶数因数有2,6,18,18的“完美指标”是$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\dfrac{13}{18}$；
19的正因数有1,19,正奇数因数有1,19,无正偶数因数,19的“完美指标”是$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$；
21的正因数有1,3,7,21,正奇数因数有1,3,7,21,无正偶数因数,21的“完美指标”是$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$。
因为$\left|-\dfrac{13}{18}\right|＜\dfrac{20}{19}＜\dfrac{32}{21}$,
所以18是18,19,21这三个自然数中最“完美”的数。
19的正因数有1,19,正奇数因数有1,19,无正偶数因数,19的“完美指标”是$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$；
21的正因数有1,3,7,21,正奇数因数有1,3,7,21,无正偶数因数,21的“完美指标”是$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$。
因为$\left|-\dfrac{13}{18}\right|＜\dfrac{20}{19}＜\dfrac{32}{21}$,
所以18是18,19,21这三个自然数中最“完美”的数。
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目的两个核心规则：一是“完美指标”的计算方法，即（自然数所有正奇数因数的和 - 所有正偶数因数的和）÷这个自然数；二是“完美”的判断标准，即“完美指标”的绝对值越小，数越“完美”。我们可以分三步解题：第一步分别找出18、19、21的所有正因数，区分奇偶类别并分别求和；第二步按照公式计算三个数的“完美指标”；第三步比较三个“完美指标”的绝对值大小，绝对值最小的就是最“完美”的数。
【解析】
1. 计算18的“完美指标”：
18的正因数有1,2,3,6,9,18，其中正奇数因数为1,3,9，和为$1+3+9=13$；正偶数因数为2,6,18，和为$2+6+18=26$。
因此18的“完美指标”为$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\dfrac{13}{18}$。
2. 计算19的“完美指标”：
19是质数，正因数有1,19，均为正奇数，无正偶数因数，正奇数因数和为$1+19=20$。
因此19的“完美指标”为$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$。
3. 计算21的“完美指标”：
21的正因数有1,3,7,21，均为正奇数，无正偶数因数，正奇数因数和为$1+3+7+21=32$。
因此21的“完美指标”为$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$。
4. 比较“完美指标”的绝对值：
$\left|-\dfrac{13}{18}\right|=\dfrac{13}{18}$，显然$\dfrac{13}{18}＜\dfrac{20}{19}＜\dfrac{32}{21}$，即18的“完美指标”绝对值最小。
【答案】
18是18，19，21这三个自然数中最“完美”的数。
【知识点】
新定义运算，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题干给出的运算规则，将新定义转化为已学的因数分类、有理数运算、绝对值比较等知识求解，能有效考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目的两个核心规则：一是“完美指标”的计算方法，即（自然数所有正奇数因数的和 - 所有正偶数因数的和）÷这个自然数；二是“完美”的判断标准，即“完美指标”的绝对值越小，数越“完美”。我们可以分三步解题：第一步分别找出18、19、21的所有正因数，区分奇偶类别并分别求和；第二步按照公式计算三个数的“完美指标”；第三步比较三个“完美指标”的绝对值大小，绝对值最小的就是最“完美”的数。
【解析】
1. 计算18的“完美指标”：
18的正因数有1,2,3,6,9,18，其中正奇数因数为1,3,9，和为$1+3+9=13$；正偶数因数为2,6,18，和为$2+6+18=26$。
因此18的“完美指标”为$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\dfrac{13}{18}$。
2. 计算19的“完美指标”：
19是质数，正因数有1,19，均为正奇数，无正偶数因数，正奇数因数和为$1+19=20$。
因此19的“完美指标”为$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$。
3. 计算21的“完美指标”：
21的正因数有1,3,7,21，均为正奇数，无正偶数因数，正奇数因数和为$1+3+7+21=32$。
因此21的“完美指标”为$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$。
4. 比较“完美指标”的绝对值：
$\left|-\dfrac{13}{18}\right|=\dfrac{13}{18}$，显然$\dfrac{13}{18}＜\dfrac{20}{19}＜\dfrac{32}{21}$，即18的“完美指标”绝对值最小。
【答案】
18是18，19，21这三个自然数中最“完美”的数。
【知识点】
新定义运算，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题干给出的运算规则，将新定义转化为已学的因数分类、有理数运算、绝对值比较等知识求解，能有效考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
