登录
例1 已知多项式$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式，且单项式$3x^{2n}y^{3-m}$与该多项式的次数相同。
(1)求$m,n$的值；
(2)把这个多项式按$x$的降幂排列；
(3)当$x=-1,y=1$时，求该多项式的值。
思路导引
(1)根据单项式的“次数”等相关知识，得出与$m,n$有关的等式；
(2)按$x$的指数从大到小排列即可；
(3)直接代入求值即可。
(1)求$m,n$的值；
(2)把这个多项式按$x$的降幂排列；
(3)当$x=-1,y=1$时，求该多项式的值。
思路导引
(1)根据单项式的“次数”等相关知识，得出与$m,n$有关的等式；
(2)按$x$的指数从大到小排列即可；
(3)直接代入求值即可。
答案
解:(1)由题意知 $2+m+1=5,2n+3-m=5$,
解得 $m=2,n=2$。
(2)由(1)可知多项式为$-3x^{2}y^{3}+x^{3}y-3x^{4}-1$,
按 $x$ 的降幂排列为$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$。
(3)当 $x=-1,y=1$ 时,
原式$=-3×1×1+(-1)×1-3×1-1=-8$。
解得 $m=2,n=2$。
(2)由(1)可知多项式为$-3x^{2}y^{3}+x^{3}y-3x^{4}-1$,
按 $x$ 的降幂排列为$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$。
(3)当 $x=-1,y=1$ 时,
原式$=-3×1×1+(-1)×1-3×1-1=-8$。
解析
【分析】
解决本题分三步思考：
1. 求解m、n：首先明确多项式的次数是最高次项的次数，已知多项式是五次四项式，因此最高次项$-3x^{2}y^{m+1}$的次数为5，列等式即可求出m；再根据单项式次数是所有字母指数和，且单项式和多项式次数相同，代入m的值即可求出n。
2. 按x降幂排列：只需将多项式所有项按照x的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要携带项前的符号。
3. 代入求值：将x=-1、y=1直接代入多项式，按照有理数运算法则计算即可，注意负数乘方的符号问题。
【解析】
(1)
∵ 多项式$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式
∴ 最高次项$-3x^{2}y^{m+1}$的次数为5，可得方程：
$2+m+1=5$，解得$m=2$
又
∵ 单项式$3x^{2n}y^{3-m}$与多项式次数相同，即次数为5
∴ 单项式的次数满足：$2n+3-m=5$
将$m=2$代入得$2n+3-2=5$，解得$n=2$
(2) 将$m=2$代入原多项式，得：$-3x^{2}y^{3}+x^{3}y-3x^{4}-1$
按x的指数从大到小排列（降幂排列）为：$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$
(3) 当$x=-1,y=1$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-1)^4×1^3 + (-1)^3×1 - 3×(-1)^2×1^3 -1\\&=-3×1×1 + (-1)×1 -3×1×1 -1\\&=-3-1-3-1\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2,n=2$
(2) $-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$
(3) $-8$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题是整式部分的基础综合题，核心考察整式的基本概念，解题的关键是准确掌握多项式、单项式次数的定义，以及降幂排列规则和代入求值的运算方法，是巩固整式基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
解决本题分三步思考：
1. 求解m、n：首先明确多项式的次数是最高次项的次数，已知多项式是五次四项式，因此最高次项$-3x^{2}y^{m+1}$的次数为5，列等式即可求出m；再根据单项式次数是所有字母指数和，且单项式和多项式次数相同，代入m的值即可求出n。
2. 按x降幂排列：只需将多项式所有项按照x的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要携带项前的符号。
3. 代入求值：将x=-1、y=1直接代入多项式，按照有理数运算法则计算即可，注意负数乘方的符号问题。
【解析】
(1)
∵ 多项式$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式
∴ 最高次项$-3x^{2}y^{m+1}$的次数为5，可得方程：
$2+m+1=5$，解得$m=2$
又
∵ 单项式$3x^{2n}y^{3-m}$与多项式次数相同，即次数为5
∴ 单项式的次数满足：$2n+3-m=5$
将$m=2$代入得$2n+3-2=5$，解得$n=2$
(2) 将$m=2$代入原多项式，得：$-3x^{2}y^{3}+x^{3}y-3x^{4}-1$
按x的指数从大到小排列（降幂排列）为：$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$
(3) 当$x=-1,y=1$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-1)^4×1^3 + (-1)^3×1 - 3×(-1)^2×1^3 -1\\&=-3×1×1 + (-1)×1 -3×1×1 -1\\&=-3-1-3-1\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=2,n=2$
(2) $-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$
(3) $-8$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，代数式求值
【点评】
本题是整式部分的基础综合题，核心考察整式的基本概念，解题的关键是准确掌握多项式、单项式次数的定义，以及降幂排列规则和代入求值的运算方法，是巩固整式基础的典型习题。
【难度系数】
0.85
1. 下列说法正确的是(
A.$-2a^2b$与$3ab^2$是同类项
B.单项式$2^2x^2y^3$的次数是7
C.多项式$3ab^3 -5a^3 +1$是四次三项式
D.单项式$-3π x^3y^2$的系数是$-3$
C
)。A.$-2a^2b$与$3ab^2$是同类项
B.单项式$2^2x^2y^3$的次数是7
C.多项式$3ab^3 -5a^3 +1$是四次三项式
D.单项式$-3π x^3y^2$的系数是$-3$
答案
C
解析
【分析】
本题考查整式相关的基础概念，解题思路如下：首先回忆同类项、单项式的系数与次数、多项式的项与次数的定义，再依次对每个选项进行判断，排除错误选项即可得到正确答案。注意易错点：判断单项式次数时不要把系数的指数计入，π属于常数不是字母。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同。$-2a^2b$中$a$的指数为2、$b$的指数为1，$3ab^2$中$a$的指数为1、$b$的指数为2，相同字母指数不同，不是同类项，故A错误；
B. 单项式的次数是所有字母的指数和，与系数的指数无关。单项式$2^2x^2y^3$的次数为$2+3=5$，不是7，故B错误；
C. 多项式的次数是次数最高的项的次数，项数是所含单项式的个数。多项式$3ab^3 -5a^3 +1$共有3项，最高次项为$3ab^3$，次数为$1+3=4$，因此是四次三项式，故C正确；
D. 单项式的系数是数字因数，$π$是常数，因此单项式$-3π x^3y^2$的系数是$-3π$，不是$-3$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握整式相关的定义，尤其要注意$π$是常数而非字母、单项式次数仅统计字母的指数这两个易错点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查整式相关的基础概念，解题思路如下：首先回忆同类项、单项式的系数与次数、多项式的项与次数的定义，再依次对每个选项进行判断，排除错误选项即可得到正确答案。注意易错点：判断单项式次数时不要把系数的指数计入，π属于常数不是字母。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同。$-2a^2b$中$a$的指数为2、$b$的指数为1，$3ab^2$中$a$的指数为1、$b$的指数为2，相同字母指数不同，不是同类项，故A错误；
B. 单项式的次数是所有字母的指数和，与系数的指数无关。单项式$2^2x^2y^3$的次数为$2+3=5$，不是7，故B错误；
C. 多项式的次数是次数最高的项的次数，项数是所含单项式的个数。多项式$3ab^3 -5a^3 +1$共有3项，最高次项为$3ab^3$，次数为$1+3=4$，因此是四次三项式，故C正确；
D. 单项式的系数是数字因数，$π$是常数，因此单项式$-3π x^3y^2$的系数是$-3π$，不是$-3$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握整式相关的定义，尤其要注意$π$是常数而非字母、单项式次数仅统计字母的指数这两个易错点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2.已知小莹的年龄是m岁，小亮的年龄比小莹的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小亮的年龄的$\frac{1}{2}$多1岁。
(1)用含m的代数式表示这三名同学的年龄和；
(2)当m=12时，这三名同学的年龄和是多少？
(1)用含m的代数式表示这三名同学的年龄和；
(2)当m=12时，这三名同学的年龄和是多少？
答案
解:(1)由题意可知,小亮的年龄为$(2m-4)$岁,小华的年龄为$[\frac{1}{2}(2m-4)+1]$岁,
则这三名同学的年龄的和为:
$m+(2m-4)+[\frac{1}{2}(2m-4)+1]$
$=m+2m-4+(m-2+1)=(4m-5)$岁。
故这三名同学的年龄和是$(4m-5)$岁。
(2)43岁
则这三名同学的年龄的和为:
$m+(2m-4)+[\frac{1}{2}(2m-4)+1]$
$=m+2m-4+(m-2+1)=(4m-5)$岁。
故这三名同学的年龄和是$(4m-5)$岁。
(2)43岁
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先要根据题目描述的年龄关系，分别用含m的代数式表示出小亮、小华的年龄，再将三人的年龄相加，通过合并同类项化简得到年龄和的代数式。解决第(2)问时，直接将m=12代入第(1)问得到的化简后的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 由题意可知：
小莹的年龄为m岁，
小亮的年龄比小莹年龄的2倍少4岁，故小亮的年龄为$\boldsymbol{(2m-4)}$岁，
小华的年龄比小亮年龄的$\frac{1}{2}$多1岁，故小华的年龄为$\boldsymbol{[\frac{1}{2}(2m-4)+1]}$岁。
三名同学的年龄和为：
$\begin{aligned}&m+(2m-4)+[\frac{1}{2}(2m-4)+1]\\=&m+2m-4+(m-2+1)\\=&m+2m-4+m-1\\=&4m-5\end{aligned}$
(2) 当$m=12$时，将其代入$4m-5$中计算：
$4×12-5=48-5=43$
【答案】
(1) 这三名同学的年龄和是$\boldsymbol{(4m-5)}$岁；
(2) 这三名同学的年龄和是$\boldsymbol{43}$岁。
【知识点】
列代数式；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题是代数基础应用题，核心是准确理解题干中倍数、多少的数量关系，正确列出对应代数式后按照整式运算法则化简、代入计算即可，解题时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问时，首先要根据题目描述的年龄关系，分别用含m的代数式表示出小亮、小华的年龄，再将三人的年龄相加，通过合并同类项化简得到年龄和的代数式。解决第(2)问时，直接将m=12代入第(1)问得到的化简后的代数式中，计算出结果即可。
【解析】
(1) 由题意可知：
小莹的年龄为m岁，
小亮的年龄比小莹年龄的2倍少4岁，故小亮的年龄为$\boldsymbol{(2m-4)}$岁，
小华的年龄比小亮年龄的$\frac{1}{2}$多1岁，故小华的年龄为$\boldsymbol{[\frac{1}{2}(2m-4)+1]}$岁。
三名同学的年龄和为：
$\begin{aligned}&m+(2m-4)+[\frac{1}{2}(2m-4)+1]\\=&m+2m-4+(m-2+1)\\=&m+2m-4+m-1\\=&4m-5\end{aligned}$
(2) 当$m=12$时，将其代入$4m-5$中计算：
$4×12-5=48-5=43$
【答案】
(1) 这三名同学的年龄和是$\boldsymbol{(4m-5)}$岁；
(2) 这三名同学的年龄和是$\boldsymbol{43}$岁。
【知识点】
列代数式；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题是代数基础应用题，核心是准确理解题干中倍数、多少的数量关系，正确列出对应代数式后按照整式运算法则化简、代入计算即可，解题时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.85
例2 已知多项式 $ A = ax^2 + 3xy + 2|a|x $，$ B = 2x^2 + 6xy + 4x + y + 1 $。
(1)若 $ 2A - B $ 为关于 $ x,y $ 的二次三项式，求 $ a $ 的值；
(2)在(1)的条件下，将多项式 $ 3(-3a^2 - 2a) - [a^2 - 2(5a - 4a^2 + 1) - 2a] $ 化简并求值。
思路导引
(1)把A与B表示的代数式代入2A－B，再结合去括号法则、合并同类项的相关知识计算出a的值；
(2)把原式按照去括号、合并同类项进行化简，得到最简结果，再把a的值代入计算即可求出值。
归纳总结
解决整式的加减运算问题时，其基本思路为先去括号，再找同类项，最后合并同类项。
(1)若 $ 2A - B $ 为关于 $ x,y $ 的二次三项式，求 $ a $ 的值；
(2)在(1)的条件下，将多项式 $ 3(-3a^2 - 2a) - [a^2 - 2(5a - 4a^2 + 1) - 2a] $ 化简并求值。
思路导引
(1)把A与B表示的代数式代入2A－B，再结合去括号法则、合并同类项的相关知识计算出a的值；
(2)把原式按照去括号、合并同类项进行化简，得到最简结果，再把a的值代入计算即可求出值。
归纳总结
解决整式的加减运算问题时，其基本思路为先去括号，再找同类项，最后合并同类项。
答案
解:(1)因为 $ A=ax^2+3xy+2|a|x,B=2x^2+6xy+4x+y+1 $,
所以 $ 2A-B $
$ =2ax^2+6xy+4|a|x-2x^2-6xy-4x-y-1 $
$ =(2a-2)x^2+4(|a|-1)x-y-1 $。
因为 $ 2A-B $ 为关于 $ x,y $ 的二次三项式,
所以 $ 4(|a|-1)=0 $,且 $ 2a-2≠0 $,解得 $ a=-1 $。
(2)原式$=-9a^2-6a-a^2+2(5a-4a^2+1)+2a$
$ =-9a^2-6a-a^2+10a-8a^2+2+2a $
$ =-18a^2+6a+2 $。
当 $ a=-1 $ 时,原式$=-18-6+2=-22 $。
所以 $ 2A-B $
$ =2ax^2+6xy+4|a|x-2x^2-6xy-4x-y-1 $
$ =(2a-2)x^2+4(|a|-1)x-y-1 $。
因为 $ 2A-B $ 为关于 $ x,y $ 的二次三项式,
所以 $ 4(|a|-1)=0 $,且 $ 2a-2≠0 $,解得 $ a=-1 $。
(2)原式$=-9a^2-6a-a^2+2(5a-4a^2+1)+2a$
$ =-9a^2-6a-a^2+10a-8a^2+2+2a $
$ =-18a^2+6a+2 $。
当 $ a=-1 $ 时,原式$=-18-6+2=-22 $。
解析
【分析】
(1) 首先将A、B代入$2A-B$的表达式，按照整式加减规则先去括号、再合并同类项得到化简后的整式。结合“关于x,y的二次三项式”的定义分析：二次项系数不能为0才能保证最高次数为2；要满足总共有3项，需让化简后多余项的系数为0，观察式子可知x的一次项系数为0时可满足三项要求，据此列方程和不等式求解a的值。
(2) 先按照去括号法则逐层去掉所求整式的括号，再合并同类项得到最简式，最后将(1)中求出的a的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$A = ax^2 + 3xy + 2|a|x$，$B = 2x^2 + 6xy + 4x + y + 1$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(ax^2 + 3xy + 2|a|x)-(2x^2 + 6xy + 4x + y + 1)\\&=2ax^2 + 6xy + 4|a|x - 2x^2 - 6xy - 4x - y - 1\\&=(2a-2)x^2 + 4(|a|-1)x - y - 1\end{aligned}$
因为$2A-B$是关于x,y的二次三项式，所以一次项系数为0且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}4(|a|-1)=0\\2a-2≠0\end{cases}$
解$4(|a|-1)=0$得$|a|=1$，即$a=\pm1$；解$2a-2≠0$得$a≠1$，因此$a=-1$。
(2) 化简多项式$3(-3a^2 - 2a) - [a^2 - 2(5a - 4a^2 + 1) - 2a]$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-9a^2 -6a - (a^2 -10a +8a^2 -2 -2a)\\&=-9a^2 -6a -a^2 +10a -8a^2 +2 +2a\\&=-18a^2 +6a +2\end{aligned}$
将$a=-1$代入上式：
原式$=-18×(-1)^2 +6×(-1)+2=-18-6+2=-22$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)化简结果为$-18a^2+6a+2$，求值结果为$-22$
【知识点】
整式的加减运算，多项式的概念，绝对值的性质
【点评】
本题考查整式加减运算及多项式相关定义的应用，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的规则，同时注意结合多项式的次数、项数限制条件求解参数，代入求值时要注意负数乘方的运算规范。
【难度系数】
0.7
(1) 首先将A、B代入$2A-B$的表达式，按照整式加减规则先去括号、再合并同类项得到化简后的整式。结合“关于x,y的二次三项式”的定义分析：二次项系数不能为0才能保证最高次数为2；要满足总共有3项，需让化简后多余项的系数为0，观察式子可知x的一次项系数为0时可满足三项要求，据此列方程和不等式求解a的值。
(2) 先按照去括号法则逐层去掉所求整式的括号，再合并同类项得到最简式，最后将(1)中求出的a的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$A = ax^2 + 3xy + 2|a|x$，$B = 2x^2 + 6xy + 4x + y + 1$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(ax^2 + 3xy + 2|a|x)-(2x^2 + 6xy + 4x + y + 1)\\&=2ax^2 + 6xy + 4|a|x - 2x^2 - 6xy - 4x - y - 1\\&=(2a-2)x^2 + 4(|a|-1)x - y - 1\end{aligned}$
因为$2A-B$是关于x,y的二次三项式，所以一次项系数为0且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}4(|a|-1)=0\\2a-2≠0\end{cases}$
解$4(|a|-1)=0$得$|a|=1$，即$a=\pm1$；解$2a-2≠0$得$a≠1$，因此$a=-1$。
(2) 化简多项式$3(-3a^2 - 2a) - [a^2 - 2(5a - 4a^2 + 1) - 2a]$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-9a^2 -6a - (a^2 -10a +8a^2 -2 -2a)\\&=-9a^2 -6a -a^2 +10a -8a^2 +2 +2a\\&=-18a^2 +6a +2\end{aligned}$
将$a=-1$代入上式：
原式$=-18×(-1)^2 +6×(-1)+2=-18-6+2=-22$
【答案】
(1)$a=-1$；(2)化简结果为$-18a^2+6a+2$，求值结果为$-22$
【知识点】
整式的加减运算，多项式的概念，绝对值的性质
【点评】
本题考查整式加减运算及多项式相关定义的应用，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的规则，同时注意结合多项式的次数、项数限制条件求解参数，代入求值时要注意负数乘方的运算规范。
【难度系数】
0.7
3.一台整式转化器原理如图所示，开始时输入关于x的整式M，当$M=2x+1$时，第1次输出$4x+1$，继续下去，则第3次
答案
B
例3答案：$m=\frac{1}{5}$
例3答案：$m=\frac{1}{5}$
