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4. 已知 $ A=2x^2+3xy-5x+1 $，$ B=-x^2+xy+2 $。
(1) 当 $ x=-2, y=1 $ 时，求 $ A+2B $ 的值；
(2) 若 $ A+2B $ 的值与 $ x $ 的值无关，求 $ y $ 的值。
(1) 当 $ x=-2, y=1 $ 时，求 $ A+2B $ 的值；
(2) 若 $ A+2B $ 的值与 $ x $ 的值无关，求 $ y $ 的值。
答案
解:(1)$A+2B=2x^2+3xy-5x+1+2(-x^2+xy+2)$
$ =2x^2+3xy-5x+1-2x^2+2xy+4 $
$ =5xy-5x+5 $。
当 $ x=-2,y=1 $ 时,
$ A+2B=5×(-2)×1-5×(-2)+5=5 $。
(2)因为 $ A+2B=5(y-1)x+5 $ 的值与 $ x $ 的值无关,
所以 $ y-1=0 $,所以 $ y=1 $。
$ =2x^2+3xy-5x+1-2x^2+2xy+4 $
$ =5xy-5x+5 $。
当 $ x=-2,y=1 $ 时,
$ A+2B=5×(-2)×1-5×(-2)+5=5 $。
(2)因为 $ A+2B=5(y-1)x+5 $ 的值与 $ x $ 的值无关,
所以 $ y-1=0 $,所以 $ y=1 $。
解析
【分析】
（1）求A+2B的值时，首先将A、B的代数式代入A+2B中，先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再代入x=-2、y=1计算，可简化计算过程，降低出错概率；（2）若A+2B的值与x无关，说明化简后的式子中所有含x的项的系数之和为0，据此列关于y的方程求解即可。
【解析】
(1) 先计算A+2B的化简结果：
$A+2B=2x^2+3xy-5x+1+2(-x^2+xy+2)$
$ =2x^2+3xy-5x+1-2x^2+2xy+4 $
$ =5xy-5x+5 $
将 $ x=-2,y=1 $ 代入化简后的式子：
$ A+2B=5×(-2)×1-5×(-2)+5=-10+10+5=5 $
(2) 将$A+2B=5xy-5x+5$整理为关于x的式子：$A+2B=5(y-1)x+5$
因为$A+2B$的值与$x$的值无关，所以x的系数为0，即：
$y-1=0$
解得$y=1$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{y=1}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整式与字母无关的性质
【点评】
本题是整式章节的常规基础题型，核心是掌握整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，理解整式的值与某个字母无关时，该字母对应项的系数为0这一核心结论。
【难度系数】
0.8
（1）求A+2B的值时，首先将A、B的代数式代入A+2B中，先通过去括号、合并同类项对整式进行化简，再代入x=-2、y=1计算，可简化计算过程，降低出错概率；（2）若A+2B的值与x无关，说明化简后的式子中所有含x的项的系数之和为0，据此列关于y的方程求解即可。
【解析】
(1) 先计算A+2B的化简结果：
$A+2B=2x^2+3xy-5x+1+2(-x^2+xy+2)$
$ =2x^2+3xy-5x+1-2x^2+2xy+4 $
$ =5xy-5x+5 $
将 $ x=-2,y=1 $ 代入化简后的式子：
$ A+2B=5×(-2)×1-5×(-2)+5=-10+10+5=5 $
(2) 将$A+2B=5xy-5x+5$整理为关于x的式子：$A+2B=5(y-1)x+5$
因为$A+2B$的值与$x$的值无关，所以x的系数为0，即：
$y-1=0$
解得$y=1$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{y=1}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整式与字母无关的性质
【点评】
本题是整式章节的常规基础题型，核心是掌握整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，理解整式的值与某个字母无关时，该字母对应项的系数为0这一核心结论。
【难度系数】
0.8
5.我们在学习代数式求值时,遇到这样一类题:代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值。
通常的解题思路是:把$x,y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项。因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0。具体解题过程如下:
原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,
因为代数式的值与$x$的取值无关,
所以$a + 3 = 0$,解得$a = -3$。
【理解应用】
(1)若关于$x$的多项式$m(2x - 3) + 2m^2 - 4x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值。
(2)已知$A = -2x^2 - 2(2x + 1) - x(1 - 3m) + x$,$B = -x^2 - mx + 1$,且$A - 2B$的值与$x$的取值无关,求$m$的值。
【实践探究】
(3)现有7张如图①所示的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图②方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两部分都是长方形。设右上角长方形的面积为$S_1$,左下角长方形的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的等量关系。
通常的解题思路是:把$x,y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项。因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0。具体解题过程如下:
原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,
因为代数式的值与$x$的取值无关,
所以$a + 3 = 0$,解得$a = -3$。
【理解应用】
(1)若关于$x$的多项式$m(2x - 3) + 2m^2 - 4x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值。
(2)已知$A = -2x^2 - 2(2x + 1) - x(1 - 3m) + x$,$B = -x^2 - mx + 1$,且$A - 2B$的值与$x$的取值无关,求$m$的值。
【实践探究】
(3)现有7张如图①所示的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图②方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两部分都是长方形。设右上角长方形的面积为$S_1$,左下角长方形的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的等量关系。
答案
解:(1)$m=2$
(2)$m=\frac{4}{5}$
(3)设 $AB=x$,
由题图可知 $S_1=a(x-3b),S_2=2b(x-2a)$,
所以 $S_1-S_2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab$。
因为当 $AB$ 的长变化时,$S_1-S_2$ 的值始终保持不变,
所以 $S_1-S_2$ 的值与 $x$ 的取值无关,
所以 $a-2b=0$,
所以 $a=2b$。
(2)$m=\frac{4}{5}$
(3)设 $AB=x$,
由题图可知 $S_1=a(x-3b),S_2=2b(x-2a)$,
所以 $S_1-S_2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab$。
因为当 $AB$ 的长变化时,$S_1-S_2$ 的值始终保持不变,
所以 $S_1-S_2$ 的值与 $x$ 的取值无关,
所以 $a-2b=0$,
所以 $a=2b$。
解析
【分析】
本题核心解题规律是：若代数式的值与某个字母的取值无关，则该代数式中含这个字母的所有项的系数均为0。
(1) 先将关于x的多项式展开、合并同类项，整理为“含x的项+常数项”的形式，令x项的系数为0，列方程求解m即可。
(2) 先将A、B代入A-2B，通过去括号、合并同类项化简式子，再令化简结果中所有含x的项的系数为0，列方程求解m。
(3) 设AB的长度为x，结合图形分别用x、a、b表示出S₁和S₂，再计算S₁-S₂并整理为“含x的项+常数项”的形式，根据S₁-S₂的值与x无关，令x项的系数为0，即可得到a、b的等量关系。
【解析】
(1) 先展开并合并多项式：
原式$=2mx - 3m + 2m^2 - 4x = (2m - 4)x + 2m^2 - 3m$
∵多项式的值与x的取值无关，
∴含x项的系数为0，即：
$2m - 4 = 0$
解得$m=2$。
(2) 先计算$A-2B$，代入A、B的表达式：
$\begin{aligned}A-2B&= [-2x^2 - 2(2x+1) - x(1-3m) + x] - 2(-x^2 - mx + 1)\\&=-2x^2 -4x -2 -x + 3mx + x + 2x^2 + 2mx - 2\\&=(-2x^2 + 2x^2) + (-4x -x +x + 3mx + 2mx) + (-2 -2)\\&=(5m - 4)x -4\end{aligned}$
∵$A-2B$的值与x的取值无关，
∴含x项的系数为0，即：
$5m - 4 = 0$
解得$m=\frac{4}{5}$。
(3) 设$AB=x$，结合图形可得：
右上角长方形$S_1$的长为$x-3b$，宽为$a$，故$S_1=a(x-3b)$；
左下角长方形$S_2$的长为$x-2a$，宽为$2b$，故$S_2=2b(x-2a)$。
计算$S_1-S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2&=a(x-3b) - 2b(x-2a)\\&=ax - 3ab - 2bx + 4ab\\&=(a - 2b)x + ab\end{aligned}$
∵AB的长变化时$S_1-S_2$的值不变，即$S_1-S_2$与x的取值无关，
∴含x项的系数为0：
$a - 2b = 0$
即$a=2b$。
【答案】
(1)$m=2$；(2)$m=\frac{4}{5}$；(3)$a=2b$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；代数式取值无关问题
【点评】
本题从基础运算到几何应用层层递进，重点考察“代数式取值与某字母无关时对应项系数为0”的核心规律，既锻炼了整式化简的运算能力，也考察了结合几何图形表示面积的应用能力，解题的关键是准确合并同类项，正确判断对应项的系数。
【难度系数】
0.6
本题核心解题规律是：若代数式的值与某个字母的取值无关，则该代数式中含这个字母的所有项的系数均为0。
(1) 先将关于x的多项式展开、合并同类项，整理为“含x的项+常数项”的形式，令x项的系数为0，列方程求解m即可。
(2) 先将A、B代入A-2B，通过去括号、合并同类项化简式子，再令化简结果中所有含x的项的系数为0，列方程求解m。
(3) 设AB的长度为x，结合图形分别用x、a、b表示出S₁和S₂，再计算S₁-S₂并整理为“含x的项+常数项”的形式，根据S₁-S₂的值与x无关，令x项的系数为0，即可得到a、b的等量关系。
【解析】
(1) 先展开并合并多项式：
原式$=2mx - 3m + 2m^2 - 4x = (2m - 4)x + 2m^2 - 3m$
∵多项式的值与x的取值无关，
∴含x项的系数为0，即：
$2m - 4 = 0$
解得$m=2$。
(2) 先计算$A-2B$，代入A、B的表达式：
$\begin{aligned}A-2B&= [-2x^2 - 2(2x+1) - x(1-3m) + x] - 2(-x^2 - mx + 1)\\&=-2x^2 -4x -2 -x + 3mx + x + 2x^2 + 2mx - 2\\&=(-2x^2 + 2x^2) + (-4x -x +x + 3mx + 2mx) + (-2 -2)\\&=(5m - 4)x -4\end{aligned}$
∵$A-2B$的值与x的取值无关，
∴含x项的系数为0，即：
$5m - 4 = 0$
解得$m=\frac{4}{5}$。
(3) 设$AB=x$，结合图形可得：
右上角长方形$S_1$的长为$x-3b$，宽为$a$，故$S_1=a(x-3b)$；
左下角长方形$S_2$的长为$x-2a$，宽为$2b$，故$S_2=2b(x-2a)$。
计算$S_1-S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2&=a(x-3b) - 2b(x-2a)\\&=ax - 3ab - 2bx + 4ab\\&=(a - 2b)x + ab\end{aligned}$
∵AB的长变化时$S_1-S_2$的值不变，即$S_1-S_2$与x的取值无关，
∴含x项的系数为0：
$a - 2b = 0$
即$a=2b$。
【答案】
(1)$m=2$；(2)$m=\frac{4}{5}$；(3)$a=2b$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；代数式取值无关问题
【点评】
本题从基础运算到几何应用层层递进，重点考察“代数式取值与某字母无关时对应项系数为0”的核心规律，既锻炼了整式化简的运算能力，也考察了结合几何图形表示面积的应用能力，解题的关键是准确合并同类项，正确判断对应项的系数。
【难度系数】
0.6
