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6.（教材P120例1变式）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同.请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组正确的为（
A.$\begin{cases}2x+9=y-9, \\x-9=2y+9 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x+9=2y-9, \\2x-9=y+9 \end{cases}$
C.$\begin{cases}2(x+9)=y-9, \\x-9=y+9 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x+9=2(y-9), \\x-9=y+9 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}2x+9=y-9, \\x-9=2y+9 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x+9=2y-9, \\2x-9=y+9 \end{cases}$
C.$\begin{cases}2(x+9)=y-9, \\x-9=y+9 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x+9=2(y-9), \\x-9=y+9 \end{cases}$
答案
6.D
解析
【分析】
本题为根据实际问题列二元一次方程组的题型，解题思路如下：第一步先提取题目中的两个等量关系场景，第一个场景是乙给甲9只羊后甲的羊数是乙的2倍，第二个场景是甲给乙9只羊后两人羊数相等。第二步分别推导两个场景下甲乙羊数的变化：当发生羊的转移时，给出羊的一方数量减少相应数量，得到羊的一方数量增加相应数量。第三步根据等量关系分别列方程，联立后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析第一个等量关系：乙给甲9只羊后，甲的羊数为乙的2倍
乙给甲9只后，甲的羊数变为$x + 9$，乙的羊数变为$y - 9$，根据“甲的羊数=2×乙的羊数”，列方程：$x + 9 = 2(y - 9)$
2. 分析第二个等量关系：甲给乙9只羊后，两人羊数相等
甲给乙9只后，甲的羊数变为$x - 9$，乙的羊数变为$y + 9$，根据“两者羊数相等”，列方程：$x - 9 = y + 9$
联立两个方程，可得方程组：$\begin{cases}x+9=2(y-9) \\x-9=y+9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题取材于古代数学文献，趣味性较强，核心考查对数量变化关系的梳理能力，解题时需注意羊转移后双方的数量增减不要混淆，是方程组应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题为根据实际问题列二元一次方程组的题型，解题思路如下：第一步先提取题目中的两个等量关系场景，第一个场景是乙给甲9只羊后甲的羊数是乙的2倍，第二个场景是甲给乙9只羊后两人羊数相等。第二步分别推导两个场景下甲乙羊数的变化：当发生羊的转移时，给出羊的一方数量减少相应数量，得到羊的一方数量增加相应数量。第三步根据等量关系分别列方程，联立后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析第一个等量关系：乙给甲9只羊后，甲的羊数为乙的2倍
乙给甲9只后，甲的羊数变为$x + 9$，乙的羊数变为$y - 9$，根据“甲的羊数=2×乙的羊数”，列方程：$x + 9 = 2(y - 9)$
2. 分析第二个等量关系：甲给乙9只羊后，两人羊数相等
甲给乙9只后，甲的羊数变为$x - 9$，乙的羊数变为$y + 9$，根据“两者羊数相等”，列方程：$x - 9 = y + 9$
联立两个方程，可得方程组：$\begin{cases}x+9=2(y-9) \\x-9=y+9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题取材于古代数学文献，趣味性较强，核心考查对数量变化关系的梳理能力，解题时需注意羊转移后双方的数量增减不要混淆，是方程组应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
7.如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，向桶中加水，其中一根铁棒露出水面的长度是它的$\frac{1}{3}$，另一根铁棒露出水面的长度是它的$\frac{1}{5}$，两根铁棒的长度之和为55 cm，则较长铁棒的长度为
30
cm，较短铁棒的长度为25
cm。答案
7.30 25
解析
【分析】
解题首先要找到题中的隐含等量关系：两根铁棒浸入水中的长度相等，都等于桶内水深。结合已知条件：①第一根铁棒露出水面长度为自身的$\frac{1}{3}$，因此浸水长度为自身长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；②第二根铁棒露出水面长度为自身的$\frac{1}{5}$，因此浸水长度为自身长度的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$；③两根铁棒总长度为55cm。我们可以设其中一根铁棒的长度为未知数，根据浸水长度相等列方程求解。
【解析】
设较长铁棒的长度为$x$ cm，则较短铁棒的长度为$(55 - x)$ cm。
由两根铁棒浸水长度相等，可列方程：
$(1-\frac{1}{3})x = (1-\frac{1}{5})(55-x)$
化简得：$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}(55-x)$
两边同时乘15消去分母：
$10x = 12×(55-x)$
展开计算：$10x = 660 - 12x$
移项合并同类项：$22x = 660$
解得：$x = 30$
则较短铁棒长度为$55 - 30 = 25$ cm。
【答案】
30；25
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系梳理
【点评】
本题是典型的实际应用问题，解题的核心是挖掘出“两根铁棒浸水长度均等于水深”这一隐藏等量关系，结合总长度条件即可列式求解，解题时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题首先要找到题中的隐含等量关系：两根铁棒浸入水中的长度相等，都等于桶内水深。结合已知条件：①第一根铁棒露出水面长度为自身的$\frac{1}{3}$，因此浸水长度为自身长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；②第二根铁棒露出水面长度为自身的$\frac{1}{5}$，因此浸水长度为自身长度的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$；③两根铁棒总长度为55cm。我们可以设其中一根铁棒的长度为未知数，根据浸水长度相等列方程求解。
【解析】
设较长铁棒的长度为$x$ cm，则较短铁棒的长度为$(55 - x)$ cm。
由两根铁棒浸水长度相等，可列方程：
$(1-\frac{1}{3})x = (1-\frac{1}{5})(55-x)$
化简得：$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}(55-x)$
两边同时乘15消去分母：
$10x = 12×(55-x)$
展开计算：$10x = 660 - 12x$
移项合并同类项：$22x = 660$
解得：$x = 30$
则较短铁棒长度为$55 - 30 = 25$ cm。
【答案】
30；25
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系梳理
【点评】
本题是典型的实际应用问题，解题的核心是挖掘出“两根铁棒浸水长度均等于水深”这一隐藏等量关系，结合总长度条件即可列式求解，解题时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
8.《九章算术》是我国古代经典的数学著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十二两.问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子质量相同）.问黄金、白银每枚各重多少两？
答案
8.解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两.根据题意,得
$\begin{cases} 9x=11y, \\ (10y+x)-(8x+y)=12, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=33, \\ y=27. \end{cases}$答:每枚黄金重33两,每枚白银重27两.
$\begin{cases} 9x=11y, \\ (10y+x)-(8x+y)=12, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=33, \\ y=27. \end{cases}$答:每枚黄金重33两,每枚白银重27两.
解析
【分析】
这是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路可分为三步：第一步，确定未知量，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两；第二步，提取题干中的两个等量关系：①9枚黄金的总质量和11枚白银的总质量相等；②交换1枚后，乙袋的质量比甲袋重12两，交换后甲袋有8枚黄金、1枚白银，总质量为8x+y，乙袋有10枚白银、1枚黄金，总质量为10y+x，根据质量差即可列出第二个方程；第三步，解方程组得到未知量的取值，检验后作答即可。
【解析】
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 9x=11y \quad \mathrm{①} \\ (10y+x)-(8x+y)=12 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
先化简方程②：去括号、合并同类项得$9y-7x=12 \quad \mathrm{③}$
由方程①变形得$y=\frac{9}{11}x$，将其代入方程③：
$9×\frac{9}{11}x -7x=12$
计算得$\frac{81x}{11}-\frac{77x}{11}=12$，即$\frac{4x}{11}=12$，解得$x=33$
将$x=33$代入$y=\frac{9}{11}x$，得$y=\frac{9}{11}×33=27$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=33 \\ y=27 \end{cases}$
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两。
【答案】
每枚黄金重33两，每枚白银重27两
【知识点】
二元一次方程组的应用、解二元一次方程组
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查学生从文字信息中提取等量关系、建立数学模型解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理交换一枚后两袋内金、银的数量构成，避免列错等式。
【难度系数】
0.7
这是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路可分为三步：第一步，确定未知量，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两；第二步，提取题干中的两个等量关系：①9枚黄金的总质量和11枚白银的总质量相等；②交换1枚后，乙袋的质量比甲袋重12两，交换后甲袋有8枚黄金、1枚白银，总质量为8x+y，乙袋有10枚白银、1枚黄金，总质量为10y+x，根据质量差即可列出第二个方程；第三步，解方程组得到未知量的取值，检验后作答即可。
【解析】
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 9x=11y \quad \mathrm{①} \\ (10y+x)-(8x+y)=12 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
先化简方程②：去括号、合并同类项得$9y-7x=12 \quad \mathrm{③}$
由方程①变形得$y=\frac{9}{11}x$，将其代入方程③：
$9×\frac{9}{11}x -7x=12$
计算得$\frac{81x}{11}-\frac{77x}{11}=12$，即$\frac{4x}{11}=12$，解得$x=33$
将$x=33$代入$y=\frac{9}{11}x$，得$y=\frac{9}{11}×33=27$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=33 \\ y=27 \end{cases}$
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两。
【答案】
每枚黄金重33两，每枚白银重27两
【知识点】
二元一次方程组的应用、解二元一次方程组
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查学生从文字信息中提取等量关系、建立数学模型解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理交换一枚后两袋内金、银的数量构成，避免列错等式。
【难度系数】
0.7
9. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元.
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元.
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请帮助该公司设计购买方案.
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在(2)的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元.
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请帮助该公司设计购买方案.
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在(2)的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案
9.解:(1)设A型汽车每辆的进价为x万元,B型汽车每辆的进价为y万元.依题意,得$\begin{cases} 2x+3y=80, \\ 3x+2y=95, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=25, \\ y=10. \end{cases}$答:A型汽车每辆的进价为25万元,B型汽车每辆的进价为10万元.
(2)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆.依题意,得25m+10n=200,解得$m=8-\frac{2}{5}n$.
∵m,n均为正整数,
∴$\begin{cases} m_1=6, \\ n_1=5, \end{cases}$$\begin{cases} m_2=4, \\ n_2=10, \end{cases}$$\begin{cases} m_3=2, \\ n_3=15. \end{cases}$
∴共有3种购买方案,方案1:购进A型汽车6辆,B型汽车5辆;方案2:购进A型汽车4辆,B型汽车10辆;方案3:购进A型汽车2辆,B型汽车15辆.
(3)方案1获得利润:8 000×6+5 000×5=73 000(元);方案2获得利润:8 000×4+5 000×10=82 000(元);方案3获得利润:8 000×2+5 000×15=91 000(元).
∵73 000＜82 000＜91 000,
∴购进A型汽车2辆,B型汽车15辆获利最大,最大利润是91 000元.
(2)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆.依题意,得25m+10n=200,解得$m=8-\frac{2}{5}n$.
∵m,n均为正整数,
∴$\begin{cases} m_1=6, \\ n_1=5, \end{cases}$$\begin{cases} m_2=4, \\ n_2=10, \end{cases}$$\begin{cases} m_3=2, \\ n_3=15. \end{cases}$
∴共有3种购买方案,方案1:购进A型汽车6辆,B型汽车5辆;方案2:购进A型汽车4辆,B型汽车10辆;方案3:购进A型汽车2辆,B型汽车15辆.
(3)方案1获得利润:8 000×6+5 000×5=73 000(元);方案2获得利润:8 000×4+5 000×10=82 000(元);方案3获得利润:8 000×2+5 000×15=91 000(元).
∵73 000＜82 000＜91 000,
∴购进A型汽车2辆,B型汽车15辆获利最大,最大利润是91 000元.
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路逐层递进：(1)第一问有两个未知量（A、B型车进价），题干给出两组总进价的等量关系，可通过设立二元一次方程组求解；(2)第二问已知总购车费用，列出二元一次不定方程，结合“两种型号均购买”即变量均为正整数的限制，筛选出符合条件的整数解，即可得到所有购买方案；(3)第三问根据“总利润=单辆利润×购买数量”，分别计算各方案的总利润，比较大小即可得出获利最大的方案。
【解析】
(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=80 \\ 3x+2y=95 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=25 \\ y=10 \end{cases}$
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元。
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆（m、n均为正整数）。
根据总费用为200万元可列方程：$25m+10n=200$，整理得$m=8-\frac{2}{5}n$。
由于m、n均为正整数，因此n为5的正整数倍且$m＞0$，筛选可得三组正整数解：
$\begin{cases} m_1=6 \\ n_1=5 \end{cases}$，$\begin{cases} m_2=4 \\ n_2=10 \end{cases}$，$\begin{cases} m_3=2 \\ n_3=15 \end{cases}$
因此共有3种购买方案：
方案1：购进A型汽车6辆，B型汽车5辆；
方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；
方案3：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆。
(3)分别计算三种方案的总利润：
方案1利润：$8000×6 + 5000×5 = 73000$（元）
方案2利润：$8000×4 + 5000×10 = 82000$（元）
方案3利润：$8000×2 + 5000×15 = 91000$（元）
因为$73000 ＜ 82000 ＜ 91000$，所以方案3获利最大。
【答案】
(1)A型汽车每辆进价25万元，B型汽车每辆进价10万元；
(2)共3种购买方案：①购进A型6辆，B型5辆；②购进A型4辆，B型10辆；③购进A型2辆，B型15辆；
(3)购进A型2辆、B型15辆的方案获利最大，最大利润是91000元。
【知识点】
二元一次方程组应用、不定方程整数解、方案最优选择
【点评】
本题结合生活实际考察方程的实际应用，解题核心是准确从题干中提取等量关系列方程，重点需要掌握不定方程正整数解的筛选方法，整体逻辑清晰，计算量较小，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路逐层递进：(1)第一问有两个未知量（A、B型车进价），题干给出两组总进价的等量关系，可通过设立二元一次方程组求解；(2)第二问已知总购车费用，列出二元一次不定方程，结合“两种型号均购买”即变量均为正整数的限制，筛选出符合条件的整数解，即可得到所有购买方案；(3)第三问根据“总利润=单辆利润×购买数量”，分别计算各方案的总利润，比较大小即可得出获利最大的方案。
【解析】
(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=80 \\ 3x+2y=95 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=25 \\ y=10 \end{cases}$
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元。
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆（m、n均为正整数）。
根据总费用为200万元可列方程：$25m+10n=200$，整理得$m=8-\frac{2}{5}n$。
由于m、n均为正整数，因此n为5的正整数倍且$m＞0$，筛选可得三组正整数解：
$\begin{cases} m_1=6 \\ n_1=5 \end{cases}$，$\begin{cases} m_2=4 \\ n_2=10 \end{cases}$，$\begin{cases} m_3=2 \\ n_3=15 \end{cases}$
因此共有3种购买方案：
方案1：购进A型汽车6辆，B型汽车5辆；
方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；
方案3：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆。
(3)分别计算三种方案的总利润：
方案1利润：$8000×6 + 5000×5 = 73000$（元）
方案2利润：$8000×4 + 5000×10 = 82000$（元）
方案3利润：$8000×2 + 5000×15 = 91000$（元）
因为$73000 ＜ 82000 ＜ 91000$，所以方案3获利最大。
【答案】
(1)A型汽车每辆进价25万元，B型汽车每辆进价10万元；
(2)共3种购买方案：①购进A型6辆，B型5辆；②购进A型4辆，B型10辆；③购进A型2辆，B型15辆；
(3)购进A型2辆、B型15辆的方案获利最大，最大利润是91000元。
【知识点】
二元一次方程组应用、不定方程整数解、方案最优选择
【点评】
本题结合生活实际考察方程的实际应用，解题核心是准确从题干中提取等量关系列方程，重点需要掌握不定方程正整数解的筛选方法，整体逻辑清晰，计算量较小，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.7
