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1. 数学课外活动小组购买签字笔和涂卡笔共50支,其中签字笔的数量比涂卡笔数量的2倍多5支.则购买涂卡笔和签字笔分别是多少支?
(1)上述问题涉及的等量关系有:
①签字笔和涂卡笔的总数=+涂卡笔的数量.
②签字笔的数量=涂卡笔数量的倍+.
(2)设购买涂卡笔x支,签字笔y支,则签字笔和涂卡笔的总数可以用含x,y的代数式表示为;签字笔的数量可以用含x的代数式表示为.由此得到方程组:.
(1)上述问题涉及的等量关系有:
①签字笔和涂卡笔的总数=+涂卡笔的数量.
②签字笔的数量=涂卡笔数量的倍+.
(2)设购买涂卡笔x支,签字笔y支,则签字笔和涂卡笔的总数可以用含x,y的代数式表示为;签字笔的数量可以用含x的代数式表示为.由此得到方程组:.
答案
1.(1)①签字笔的数量 ②2 5 (2)$x+y$ $2x+5$ $\begin{cases} x+y=50, \\ y=2x+5 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先从题干提取已知条件：两种笔共50支，签字笔数量比涂卡笔的2倍多5支。首先处理第(1)问，结合题干描述直接对应等量关系的空缺部分；再处理第(2)问，根据设出的未知数，结合等量关系分别写出表示总数、签字笔数量的代数式，最终将两个等量关系转化为方程组即可。
【解析】
(1)① 两种笔的总数是签字笔和涂卡笔的数量之和，因此总数=签字笔的数量+涂卡笔的数量，对应填签字笔的数量；
② 题干明确说明“签字笔的数量比涂卡笔数量的2倍多5支”，因此签字笔的数量=涂卡笔数量的2倍+5，依次填2、5。
(2) 设涂卡笔x支，签字笔y支，两种笔的总数为两者数量相加，即$x+y$；根据(1)的第二个等量关系，签字笔数量用x表示为$2x+5$；结合总数为50、签字笔数量为y，可列方程组为$\begin{cases} x+y=50, \\ y=2x+5 \end{cases}$。
【答案】
(1)①签字笔的数量 ②2 5 (2)$x+y$ $2x+5$ $\begin{cases} x+y=50, \\ y=2x+5 \end{cases}$
【知识点】
等量关系梳理、列代数式、列二元一次方程组
【点评】
本题是方程组实际应用的基础题型，核心考查从题干信息中提取有效等量关系的能力，掌握根据等量关系列代数式与方程组的方法，是解决后续更复杂实际应用题的基础。
【难度系数】
0.85
解题时先从题干提取已知条件：两种笔共50支，签字笔数量比涂卡笔的2倍多5支。首先处理第(1)问，结合题干描述直接对应等量关系的空缺部分；再处理第(2)问，根据设出的未知数，结合等量关系分别写出表示总数、签字笔数量的代数式，最终将两个等量关系转化为方程组即可。
【解析】
(1)① 两种笔的总数是签字笔和涂卡笔的数量之和，因此总数=签字笔的数量+涂卡笔的数量，对应填签字笔的数量；
② 题干明确说明“签字笔的数量比涂卡笔数量的2倍多5支”，因此签字笔的数量=涂卡笔数量的2倍+5，依次填2、5。
(2) 设涂卡笔x支，签字笔y支，两种笔的总数为两者数量相加，即$x+y$；根据(1)的第二个等量关系，签字笔数量用x表示为$2x+5$；结合总数为50、签字笔数量为y，可列方程组为$\begin{cases} x+y=50, \\ y=2x+5 \end{cases}$。
【答案】
(1)①签字笔的数量 ②2 5 (2)$x+y$ $2x+5$ $\begin{cases} x+y=50, \\ y=2x+5 \end{cases}$
【知识点】
等量关系梳理、列代数式、列二元一次方程组
【点评】
本题是方程组实际应用的基础题型，核心考查从题干信息中提取有效等量关系的能力，掌握根据等量关系列代数式与方程组的方法，是解决后续更复杂实际应用题的基础。
【难度系数】
0.85
2. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有16头,下有44足,问鸡兔各几何?”设鸡有$ x $只,兔有$ y $只,根据题意可列方程组为（
A.$\begin{cases}x+y=16, \\2x+4y=44\end{cases}$
B.$\begin{cases}x+y=16, \\2x+2y=44\end{cases}$
C.$\begin{cases}x+y=16, \\4x+4y=44\end{cases}$
D.$\begin{cases}x+y=16, \\4x+2y=44\end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}x+y=16, \\2x+4y=44\end{cases}$
B.$\begin{cases}x+y=16, \\2x+2y=44\end{cases}$
C.$\begin{cases}x+y=16, \\4x+4y=44\end{cases}$
D.$\begin{cases}x+y=16, \\4x+2y=44\end{cases}$
答案
2.A
解析
【分析】
解这道题的核心是从题目中提取两个等量关系：一是总头数等于鸡和兔的数量之和，二是总脚数等于鸡的总脚数加兔的总脚数。首先明确每只鸡和每只兔都只有1个头，所以鸡的数量x加兔的数量y等于总头数16，得到第一个方程；再明确每只鸡有2只脚、每只兔有4只脚，所以x只鸡的总脚数是2x，y只兔的总脚数是4y，两者相加等于总脚数44，得到第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步，根据“上有16头”列方程：每只鸡和兔各有1个头，因此鸡的数量+兔的数量=总头数，即$x+y=16$。
第二步，根据“下有44足”列方程：每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，因此鸡的总脚数+兔的总脚数=总脚数，即$2x+4y=44$。
第三步，联立两个方程可得方程组$\begin{cases}x+y=16 \\2x+4y=44\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题抽象二元一次方程组
2. 等量关系梳理
【点评】
本题是鸡兔同笼类的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取有效信息、梳理等量关系的能力，只要明确鸡和兔的头、脚的数量特征，就能快速列出正确的方程组。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是从题目中提取两个等量关系：一是总头数等于鸡和兔的数量之和，二是总脚数等于鸡的总脚数加兔的总脚数。首先明确每只鸡和每只兔都只有1个头，所以鸡的数量x加兔的数量y等于总头数16，得到第一个方程；再明确每只鸡有2只脚、每只兔有4只脚，所以x只鸡的总脚数是2x，y只兔的总脚数是4y，两者相加等于总脚数44，得到第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步，根据“上有16头”列方程：每只鸡和兔各有1个头，因此鸡的数量+兔的数量=总头数，即$x+y=16$。
第二步，根据“下有44足”列方程：每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，因此鸡的总脚数+兔的总脚数=总脚数，即$2x+4y=44$。
第三步，联立两个方程可得方程组$\begin{cases}x+y=16 \\2x+4y=44\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 实际问题抽象二元一次方程组
2. 等量关系梳理
【点评】
本题是鸡兔同笼类的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取有效信息、梳理等量关系的能力，只要明确鸡和兔的头、脚的数量特征，就能快速列出正确的方程组。
【难度系数】
0.9
3.(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
答案
3.解:设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.由题意,得
$\begin{cases} x+y=88, \\ x-y=16, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=52, \\ y=36. \end{cases}$答:白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36.
$\begin{cases} x+y=88, \\ x-y=16, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=52, \\ y=36. \end{cases}$答:白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36.
解析
【分析】
这是和差类实际应用题，包含白色琴键个数、黑色琴键个数两个未知量，我们可以通过列二元一次方程组求解：首先从题干提取两个等量关系：①白色琴键个数+黑色琴键个数=总琴键数88；②白色琴键个数-黑色琴键个数=16。设两个未知数对应两个未知量，将等量关系转化为方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设白色琴键的个数为$x$，黑色琴键的个数为$y$。
由题意，得：
$\begin{cases} x+y=88 \quad ① \\ x-y=16 \quad ② \end{cases}$
用①+②，可得$2x=104$，解得$x=52$。
把$x=52$代入②式，得$52-y=16$，解得$y=36$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=52 \\ y=36 \end{cases}$
答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36。
【答案】
白色琴键52个，黑色琴键36个
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列式计算，掌握二元一次方程组的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.9
这是和差类实际应用题，包含白色琴键个数、黑色琴键个数两个未知量，我们可以通过列二元一次方程组求解：首先从题干提取两个等量关系：①白色琴键个数+黑色琴键个数=总琴键数88；②白色琴键个数-黑色琴键个数=16。设两个未知数对应两个未知量，将等量关系转化为方程组，解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设白色琴键的个数为$x$，黑色琴键的个数为$y$。
由题意，得：
$\begin{cases} x+y=88 \quad ① \\ x-y=16 \quad ② \end{cases}$
用①+②，可得$2x=104$，解得$x=52$。
把$x=52$代入②式，得$52-y=16$，解得$y=36$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=52 \\ y=36 \end{cases}$
答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36。
【答案】
白色琴键52个，黑色琴键36个
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列式计算，掌握二元一次方程组的基本解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.9
4. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品，每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还差4钱。问人数、物品价格各为多少？请求出以上问题中的人数和物品价格。
(1)写出上述问题中的等量关系：
(2)设有$ x $个人，物品的价格为$ y $钱，根据(1)中的等量关系列方程组解决问题。
(1)写出上述问题中的等量关系：
物品价格=人数×8−3
物品价格=人数×7+4
.(2)设有$ x $个人，物品的价格为$ y $钱，根据(1)中的等量关系列方程组解决问题。
答案
4.解:(1)物品价格=人数×8−3,物品价格=人数×7+4
(2)由题意,得$\begin{cases} y=8x-3, \\ y=7x+4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=7, \\ y=53. \end{cases}$答:有7个人,物品的价格为53钱.
(2)由题意,得$\begin{cases} y=8x-3, \\ y=7x+4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=7, \\ y=53. \end{cases}$答:有7个人,物品的价格为53钱.
解析
【分析】
(1) 找等量关系的思考路径：题目中物品的价格是固定不变的，可结合两种出钱方案分别表示物价。第一种方案：每人出8钱时，所有人出的总钱数比物价多3钱，因此物价=总出钱数-多余的3钱；第二种方案：每人出7钱时，所有人出的总钱数比物价少4钱，因此物价=总出钱数+还差的4钱，即可得到两个等量关系。
(2) 列方程组解题的思考路径：已经设人数为x，物价为y，将(1)得到的等量关系替换为含x、y的代数式，就能得到二元一次方程组，再用代入消元法联立两个方程，先求出x的值，再代入任一方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 根据两种出钱方案下物价固定不变，可得等量关系：
物品价格 = 人数×8 - 3
物品价格 = 人数×7 + 4
(2) 设有x个人，物品的价格为y钱，结合上述等量关系列方程组得：
$\begin{cases} y=8x-3 \\ y=7x+4 \end{cases}$
联立两个方程可得$8x-3=7x+4$，
移项计算得$x=7$，
将$x=7$代入$y=8x-3$，得$y=8×7-3=53$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=53 \end{cases}$。
答：有7个人，物品的价格为53钱。
【答案】
(1) 物品价格=人数×8−3；物品价格=人数×7+4
(2) 人数为7，物品价格为53钱
【知识点】
找等量关系；二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查从实际问题中提取不变量建立数学模型的能力，解题核心是抓住物价不变的条件列方程组求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
(1) 找等量关系的思考路径：题目中物品的价格是固定不变的，可结合两种出钱方案分别表示物价。第一种方案：每人出8钱时，所有人出的总钱数比物价多3钱，因此物价=总出钱数-多余的3钱；第二种方案：每人出7钱时，所有人出的总钱数比物价少4钱，因此物价=总出钱数+还差的4钱，即可得到两个等量关系。
(2) 列方程组解题的思考路径：已经设人数为x，物价为y，将(1)得到的等量关系替换为含x、y的代数式，就能得到二元一次方程组，再用代入消元法联立两个方程，先求出x的值，再代入任一方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 根据两种出钱方案下物价固定不变，可得等量关系：
物品价格 = 人数×8 - 3
物品价格 = 人数×7 + 4
(2) 设有x个人，物品的价格为y钱，结合上述等量关系列方程组得：
$\begin{cases} y=8x-3 \\ y=7x+4 \end{cases}$
联立两个方程可得$8x-3=7x+4$，
移项计算得$x=7$，
将$x=7$代入$y=8x-3$，得$y=8×7-3=53$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=53 \end{cases}$。
答：有7个人，物品的价格为53钱。
【答案】
(1) 物品价格=人数×8−3；物品价格=人数×7+4
(2) 人数为7，物品价格为53钱
【知识点】
找等量关系；二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查从实际问题中提取不变量建立数学模型的能力，解题核心是抓住物价不变的条件列方程组求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
5.(2024·海南)端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽.
请依据以上对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.
请依据以上对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价.
答案
5.解:设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元.由题意,得$\begin{cases} 0.8(10x+5y)=160, \\ x-y=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=15, \\ y=10. \end{cases}$答:促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元.
解析
【分析】
这是典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示促销前瘦肉粽、五花肉粽的单价；再从对话中提取两个等量关系：①促销前每个瘦肉粽比五花肉粽贵5元，即瘦肉粽单价-五花肉粽单价=5；②所有粽子打八折后，买10个瘦肉粽和5个五花肉粽共花费160元，八折即原价的0.8倍，因此折后总价=0.8×（10个瘦肉粽原价总和+5个五花肉粽原价总和）；最后联立两个方程得到方程组，求解即可得到两个粽子的原价。
【解析】
解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，每个五花肉粽的售价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x-y=5 \\ 0.8(10x+5y)=160 \end{cases}$
先化简第二个方程：
$10x+5y=160÷0.8=200$，两边同时除以5得$2x+y=40$
将第一个方程变形为$x=y+5$，代入$2x+y=40$得：
$2(y+5)+y=40$
$2y+10+y=40$
$3y=30$，解得$y=10$
把$y=10$代入$x=y+5$，得$x=10+5=15$
经检验，所得解符合题意。
答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元。
【答案】
促销活动前每个瘦肉粽售价15元，每个五花肉粽售价10元。
【知识点】
二元一次方程组应用；打折销售计算；等量关系梳理
【点评】
本题结合端午传统节日的生活场景命题，贴近日常消费实际，核心考查从题干信息中提取等量关系、建立方程模型求解实际问题的能力，解题时要注意打折是在原价基础上计算，不要混淆折前价和折后价。
【难度系数】
0.8
这是典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路如下：首先设两个未知数分别表示促销前瘦肉粽、五花肉粽的单价；再从对话中提取两个等量关系：①促销前每个瘦肉粽比五花肉粽贵5元，即瘦肉粽单价-五花肉粽单价=5；②所有粽子打八折后，买10个瘦肉粽和5个五花肉粽共花费160元，八折即原价的0.8倍，因此折后总价=0.8×（10个瘦肉粽原价总和+5个五花肉粽原价总和）；最后联立两个方程得到方程组，求解即可得到两个粽子的原价。
【解析】
解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为x元，每个五花肉粽的售价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x-y=5 \\ 0.8(10x+5y)=160 \end{cases}$
先化简第二个方程：
$10x+5y=160÷0.8=200$，两边同时除以5得$2x+y=40$
将第一个方程变形为$x=y+5$，代入$2x+y=40$得：
$2(y+5)+y=40$
$2y+10+y=40$
$3y=30$，解得$y=10$
把$y=10$代入$x=y+5$，得$x=10+5=15$
经检验，所得解符合题意。
答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元。
【答案】
促销活动前每个瘦肉粽售价15元，每个五花肉粽售价10元。
【知识点】
二元一次方程组应用；打折销售计算；等量关系梳理
【点评】
本题结合端午传统节日的生活场景命题，贴近日常消费实际，核心考查从题干信息中提取等量关系、建立方程模型求解实际问题的能力，解题时要注意打折是在原价基础上计算，不要混淆折前价和折后价。
【难度系数】
0.8
