北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中,某运动员比赛过程的空中剪影可近似看作一条抛物线,跳台高度OA为4 m,以起跳点正下方跳台底端O为原点,水平方向为横轴,竖直方向为纵轴,建立如图所示的平面直角坐标系.已知抛物线最高点B的坐标为(4,12).
(1)求点A的坐标.
(2)求该抛物线对应的函数解析式,并化成$y=ax^2+bx+c$的形式.

解：
(1) 由题意，点A在y轴上，跳台高度OA为4 m，
因此点A的横坐标为0，纵坐标为4，
即点A的坐标为$(0,4)$。
(2) 已知抛物线最高点B的坐标为$(4,12)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+12\ (a≠0)$，
将点$A(0,4)$代入解析式：
$4=a·(0-4)^2+12$
$16a+12=4$
解得$a=-\dfrac{1}{2}$，
因此抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+12$，
展开化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}(x^2-8x+16)+12\\&=-\dfrac{1}{2}x^2+4x-8+12\\&=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+4\end{aligned}$
综上，(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$；(2) 抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+4}$。

【分析】
(1) 求点A坐标：已知点A在y轴上，OA长度为4m，y轴上的点横坐标为0，结合OA的高度即可得到A的纵坐标，进而写出坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线的最高点（即顶点）坐标为(4,12)，优先选择顶点式设解析式，可简化计算；再将已知的点A坐标代入顶点式，求解出参数a的值，最后将顶点式展开整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式即可。
【解析】
(1) 由题意可知，点A在y轴上，跳台高度OA=4m，因此点A的横坐标为0，纵坐标为4，即点A的坐标为(0,4)。
(2) 已知抛物线的顶点B坐标为(4,12)，设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+12\ (a≠0)$。
将点A(0,4)代入上述解析式，得：
$4=a·(0-4)^2+12$
整理得$16a+12=4$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
因此抛物线的顶点式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+12$，展开化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}(x^2-8x+16)+12\\&=-\dfrac{1}{2}x^2+4x-8+12\\&=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,4)}$；(2) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^2+4x+4}$
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
3. 二次函数顶点式转一般式
【点评】
本题结合实际体育赛事场景考查二次函数的基础应用，解题的关键是根据已知的顶点坐标灵活选择顶点式设解析式，有效降低计算量，同时代入计算和展开化简时要注意运算符号，避免出错。
【难度系数】
0.8

1. 顶点式化成一般式
由函数解析式$y=a(x-h)^2 +k$我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称$y=a(x-h)^2 +k$为顶点式，将顶点式$y=a(x-h)^2 +k$去括号、合并同类项就可化成一般式。

1. 顶点坐标为$(h,k)$，一般式为$y=ax^2+bx+c$

【分析】
解题首先回忆二次函数顶点式的基本性质：顶点式的命名依据就是可以直接读取抛物线的顶点坐标，因此第一空直接根据顶点式的定义推导即可；第二空需要将顶点式展开化简，先利用完全平方公式展开括号，再合并同类项，最终整理成二次函数一般式的标准形式即可。
【解析】
1. 求顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2 +k$，当$x=h$时，$(x-h)^2=0$，此时$y=k$为函数的最值，因此抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(h,k)}$。
2. 顶点式转一般式：先利用完全平方公式展开$(x-h)^2$得：
$y=a(x^2-2hx+h^2)+k$
去括号得：
$y=ax^2-2ahx+ah^2+k$
令一次项系数$-2ah=b$，常数项$ah^2+k=c$，即可整理为二次函数一般式$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a\ne0$）。
【答案】
$(h,k)$；$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数一般式；整式化简
【点评】
本题属于二次函数的基础概念题，既考查了对顶点式核心性质的记忆，也考查了两种解析式之间转化的运算能力，是后续学习二次函数图像与性质的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 一般式化成顶点式
$y=ax^2+bx+c=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$. 对照 $y=a(x-h)^2+k$，可知 $h=-\dfrac{b}{2a},k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.
抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .

抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴是直线 $x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$

【分析】
本题考查二次函数一般式对应的对称轴与顶点坐标，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：顶点式中对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合题目给出的一般式转顶点式的结果，以及对应参数$h=-\frac{b}{2a}$、$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，将参数代入性质的对应位置即可得到结果。
【解析】
已知二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
题目已将一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式：$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=a[x-(-\frac{b}{2a})]^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，对应可得$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
将$h、k$代入顶点式的性质对应位置，即可得到一般式对应的对称轴和顶点坐标。
【答案】
抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数式的转化；二次函数的对称轴；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础考点，重点考查二次函数一般式与顶点式的参数对应关系，只需牢记顶点式中参数和对称轴、顶点坐标的对应规律即可快速求解，是二次函数图像性质的核心基础内容。
【难度系数】
0.9

知识点2）二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质

解：
当$a＞0$时：
图形：开口向上的抛物线
开口方向：向上
顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
对称轴：直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
---
当$a＜0$时：
图形：开口向下的抛物线
开口方向：向下
顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
对称轴：直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
解决本题需要分情况梳理二次函数$y=ax^2+bx+c$的各项性质，思考路径如下：
1. 先判断开口方向：二次项系数$a$的符号决定抛物线开口，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，对应图形就是对应开口方向的抛物线；
2. 推导顶点坐标和对称轴：可以通过将一般式配方为顶点式$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，直接得到顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，这两个性质和$a$的符号无关；
3. 分析增减性：结合开口方向和对称轴判断，开口向上时，对称轴左侧函数呈下降趋势，右侧呈上升趋势；开口向下时，对称轴左侧函数呈上升趋势，右侧呈下降趋势；
4. 确定最值：抛物线顶点为函数的极值点，开口向上时顶点是最低点，对应最小值；开口向下时顶点是最高点，对应最大值，最值就是顶点的纵坐标。
【解析】
我们分$a＞0$和$a＜0$两种情况分别整理性质：
当$a＞0$时：
图形：开口向上的抛物线
开口方向：向上
顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
对称轴：直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最小值，最小值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
当$a＜0$时：
图形：开口向下的抛物线
开口方向：向下
顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
对称轴：直线$x=-\dfrac{b}{2a}$
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最大值，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
【答案】
|$y=ax^2+bx+c$|图形|开口方向|顶点坐标|对称轴|增减性|最值|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$a＞0$|开口向上的抛物线|向上|$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$|直线$x=-\dfrac{b}{2a}$|当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大|当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最小值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$|
|$a＜0$|开口向下的抛物线|向下|$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$|直线$x=-\dfrac{b}{2a}$|当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小|当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$有最大值$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$|
【知识点】
1. 二次函数图象特征
2. 二次函数增减性
3. 二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基础性质，是二次函数模块的核心基础内容，熟练掌握这些性质是解决二次函数相关综合题的前提，建议大家结合函数图象理解记忆，避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.8

1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a$的作用
(1)当$a$0时，抛物线开口向.
(2)当$a$0时，抛物线开口向.
(3)$|a|$越大，开口越；$|a|$越小，开口越.

(1)当$a＞0$时，抛物线开口向上；(2)当$a＜0$时，抛物线开口向下；(3)$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大

【分析】
本题考查二次函数中二次项系数$a$对抛物线图象的影响，解题时可结合常见二次函数的图象辅助记忆规律：①先判断$a$的符号与开口方向的对应关系，可通过$y=x^2$（$a=1＞0$）、$y=-x^2$（$a=-1＜0$）的图象特征记忆；②再判断$|a|$与开口大小的关系，可对比$y=x^2$、$y=2x^2$、$y=\frac{1}{2}x^2$的图象宽窄，总结出$|a|$和开口大小的变化规律。
【解析】
(1) 根据二次函数图象性质，当$a＞0$时，抛物线开口向上，例如函数$y=x^2$的图象开口朝上；
(2) 当$a＜0$时，抛物线开口向下，例如函数$y=-x^2$的图象开口朝下；
(3) 对比不同$|a|$的二次函数图象可知，$|a|$越大，抛物线的开口越窄即开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越宽即开口越大。
【答案】
(1)当$a＞0$时，抛物线开口向上；(2)当$a＜0$时，抛物线开口向下；(3)$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大
【知识点】
二次函数图象性质，二次项系数的作用
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，主要考查二次项系数$a$对抛物线开口方向、开口大小的影响，是学习二次函数相关知识的核心基础，需牢记规律灵活运用。
【难度系数】
0.9